devilloveangel

Bài 3

áp dụng bđt Cauchy - Schwarz có : 

 $\sum \frac{1}{\sqrt{x(3y+5z)}} \geqslant \frac{9}{\sqrt{x(3y+5z)} + \sqrt{y(3z+5x)} + \sqrt{z(3x+5y)}}$ 

lại áp dụng bđt Bunhiacopski có $[ \sqrt{x(3y+5z)} + \sqrt{y(3z+5x)} + \sqrt{z(3x+5y)}]^2 \leqslant 8(x+y+z)^2 = 144$ 

<=> $\sqrt{x(3y+5z)} + \sqrt{y(3z+5x)} + \sqrt{z(3x+5y)} \leqslant 12$ vậy <=> $\sum \frac{1}{\sqrt{x(3y+5z)}} \geqslant \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ (đpcm) 

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{2}$ 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                                                   KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 

           BÌNH THUẬN                                                                                                        TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO

                                                                                                                                                       NĂM HỌC : 2015 - 2016

                                                                                                                                                    MÔN THI : TOÁN CHUYÊN

                                                                                                                               Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian phát đề )

Bài 1 : (2 điểm) : 

Giải phương trình : $\sqrt{x-8+2\sqrt{x-9}} = x - 20$

Bài 2 : (2 điểm): 

Một bác nông dân đem trứng ra chợ bán . Tổng số trứng bán ra được tính như sau : 

- Ngày thứ nhất bán được 8 trứng và $\frac{1}{8}$ số trứng còn lại.

- Ngày thứ hai bán được 16 trứng và $\frac{1}{8}$ số trứng còn lại.

- Ngày thứ ba bán được 24 trứng và $\frac{1}{8}$ số trứng còn lại.

... 

Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán hết trứng . Nhưng thật thú vị , số trứng bán được trong mỗi ngày đều bằng nhau . Hỏi tổng số trứng bán được là bao nhiêu và bán hết trong mấy ngày ? 

Bài 3 : (2 điểm):

Cho các số thực dương x,y,z thõa $ x+y+z = 3\sqrt{2}$ , CMR : 

$\frac{1}{\sqrt{x(3y+5z)}} + \frac{1}{\sqrt{y(3z+5x)}} + \frac{1}{\sqrt{z(3x+5y)}}\geqslant \frac{3}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi nào ? 

Bài 4 : (3 điểm): 

Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R , điểm C di động sao cho $\angle ACB$ = 60 và các đoạn thẳng AC , BC lần lượt cắt đường tròn (O) tại 2 điểm D,E .

a) Chứng minh rằng khi điểm C di động thì đường thẳng DE luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định .

b) Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B lên đường thẳng DE. Xác định vị trí điểm C để tích AM.BN đạt giá trị lớn nhất 

Bài 5 : (1 điểm):

Trên bảng viết các số$\frac{1}{2015} ; \frac{2}{2015} ; .. ; \frac{2014}{2015} ;\frac{2015}{2015} ;$ . Mỗi lần biến đổi , xóa đi hai số a,b bất kì và thay bằng $a+b-5ab$ . Hỏi sau 2014 lần thực hiện phép biến đổi , trên bảng còn lại số nào ?

--- Hết ---

 

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÊ KHIẾT QUẢNG NGÃI

NĂM HỌC 2014-2015

Môn: Toán (Chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 2:   a) Tìm các cặp số nguyên dương (a, b) sao cho $\frac{a^{2}-2}{ab+2}$ là số nguyên

             b) Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn $2^{a}=b^{c}+1$ và a > 1. Tìm tất cả các giá trị của c thỏa mãn điều kiện đã cho

 

Bài 2a) : 

Xét 1 : nếu b=0 thì a = 2k thõa mãn ( với k thuộc N ) 

Xét 2 : nếu $b \neq 0$ thì có $a^2 - 2$ chia hết cho $ab+2$ <=> $-2(a+b)$ chia hết cho $ab+2$ =>

TH1 : -2 chia hết cho $ab+2$ => ab=0 => Xét 1 ; ab= -1 => loại 

TH2 : $a+b$ chia hết cho $ab+2$ => không tồn tại a , b do a+b =< ab + 2 với a , b nguyên dương . 

Vậy nghiệm của phương trình là b=0 , a=2k 

Khi đi thi có được áp dụng định lý Bezout không anh?

anh nghĩ là được , lúc thi lên lớp 10 anh vẫn dùng mà 

Câu 2 :

1) : 

Vế đầu pt viết lại :

(y-x)(y-4) - x(y-x) = x(x-4) <=> (y-x)(y-4) = x(x-4+y-x) = x(y-4) <=> (y-4)(y - 2x) = 0 => y = 2x hoặc y = 4 

Với y =4 => x =7,375

Với y = 2x thế vào phương trình dưới giải ra x => y 

2) 

đặt x+1 = a , $\sqrt{x^2 + x + 3}$ = b có phương trình : $3ab - a^2 - 2b^2$ = 0 hay $(a-2b)(a-b)=0$ => a = 2b hoặc a = b => x

Câu 1a) 

vì P(x) chia cho x + 1 dư 3 , chia cho x dư 1 và chia cho x - 1 dư 5 hay

P(x) - 3 chia hết cho x + 1 

P(x) - 1 chia hết cho x 

P(x) - 5 chia hết cho x -1 

Ta có hệ phương trình : 

$ax^2 + bx + c$ - 3 = 0 với x = -1 

$ax^2 + bx + c$ - 1 = 0 với x = 0

$ax^2 + bx + c$ - 5 = 0 với x = 1 

hay : 

a - b + c - 3 = 0 

c = 1 

a + b + c - 5 = 0  

hay 

a - b = 2

a + b = 4 => a = 3 , b = 1 , c = 1 thõa mãn điều kiện => P(x) = $3x^2 + x + 1$ = 0

             Sở GD-ĐT Nam Định                                                                        ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN

Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong                                                                           NĂM HỌC : 2015 - 2016

                                                                                                                                       MÔN THI : TOÁN CHUYÊN

Câu 1: ( 2.0 điểm ) 

1)  Cho đa thức $P(x) = ax^{2} + bx + c$ . biết $P(x)$ chia cho $x + 1$ dư $3$ , chia cho $x$ dư $1$ và chia cho $x - 1$ dư $5$ , hãy tìm các hệ số $a,b,c$ 

2) Cho các số $a,b,x,y$ thỏa mãn $ab\neq 0$ , $a+b\neq 0$ , $\frac{x^{4}}{a} + \frac{y^{4}}{b} = \frac{1}{a+b}$ , $x^2+y^2=1$ , Chứng minh rằng : 

a) $ay^2=bx^2$

b) $\frac{x^{200}}{a^{100}} + \frac{y^{200}}{b^{100}} = \frac{2}{(a+b)^{100}}$ 

Câu 2: ( 2.5 điểm ) 

1) Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} ( y -x)(y-x-4) = x^{2} - 4x \\ x(y-4) + 4\sqrt[3]{x-y} = 6 \end{matrix}\right.$

2) Giải phương trình : $3(x+1)\sqrt{x^{2} + x +3} - 3x^2 - 4x -7 = 0$

Câu 3: ( 3.0 điểm ) 

Cho hai đường tròn (O₁) và (O₂) tiếp xúc ngoài với nhau tại M , Một đường thẳng cắt đường tròn (O₁) tại 2 điểm phân biệt A và B và tiếp xúc đường tròn (O₂) tại E ( B nằm giữa A và E ) , Đường thẳng EM cắt đường tròn (O₁) tại điểm J khác M , gọi C là điểm thuộc cung MJ không chứa A,B của đường tròn (O₁) ( C khác M và J ) , Kẻ tiếp tuyến CF với đường tròn (O₂) ( F là tiếp điểm ) sao cho các đoạn thẳng CF , MJ không cắt nhau , Gọi I là giao điểm các đường thẳng JC và EF , K là giao điểm khác A của AI và đường tròn (O₁) Chứng minh rằng : 

1) Tứ giác $MCFI$ là tứ giác nội tiếp và $JA = JI  = \sqrt{JE.JM}$

2) $CI$ là phân giác góc ngoài tại  $C$ của tam giác $ABC$.

3) $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCI$.

Câu 4: ( 1.0 điểm ) 

Tìm các số tự nhiên $x,y$ thỏa mãn : 

$(2^x + 1)(2^x + 2)(2^x + 3)(2^x + 4) - 5^y = 11879$ 

Câu 5: ( 1.5 điểm ) 

1) Trong mặt phẳng cho tập $S$ gồm $8065$ điểm đôi một phân biệt mà diện tích của mỗi tam giác có $3$ đỉnh thuộc tập $S$ đều không lớn hơn $1$ ( quy ước nếu $3$ điểm thẳng hàng thì diện tích của tam giác tạo bởi $3$ điểm này bằng $0$) . CMR tồn tại $1$ tam giác $T$ có diện tích không lớn hơn $1$ chứa ít nhất $2017$ điểm thuộc tập $S$ ( mỗi điểm trong số $2017$ điểm đó nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác $T$).

2) Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{4a^2 + (b-c)^2}{2a^2 + b^2 + c^2} + \frac{4b^2 + (c-a)^2}{2b^2 + c^2 + a^2} + \frac{4c^2 + (a-b)^2}{2c^2 + a^2 + b^2} \geqslant 3.$

------ HẾT------
Xóa bớt latex cho bài dễ nhìn

    Đại Học Quốc Gia TP.HCM                                                                                                ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

Trường Phổ Thông Năng Khiếu                                                                                                NĂM HỌC : 2015 - 2016 

        Hội Đồng Tuyển Sinh                                                                                                       MÔN THI : TOÁN CHUYÊN 

Thời gian làm bài 150 phút , không kể thời gian phát đề

Bài 1 ( 2.0đ ) : 

a) Giải phương trình : $\sqrt{2x-1} + \sqrt{1-2x^2} = 2\sqrt{x-x^2}$

b) Cho các số a và b thỏa mãn điều kiện $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{b-\frac{1}{4}}$ , chứng minh rằng $-1 \leqslant a < 0$ . 

Bài 2 ( 2.0đ ) : 

a) Tìm các số nguyên a,b,c sao cho a + b + c = 0 và ab + bc + ca + 3 = 0 

b) Cho m là số nguyên , CMR nếu tồn tại các số nguyên a,b,c khác 0 sao cho a + b + c = 0 và ab + bc + ca + 4m = 0 thì cũng tồn tại các số nguyên a' , b' , c' khác 0 sao cho a' + b' + c' = 0 và a'b' + b'c' + c'a' + m = 0 .

c) Với k là số nguyên dương , CMR không tồn tại các số nguyên a,b,c khác 0 sao cho a + b + c = 0 và ab + bc + ca + $2^{k}$ = 0 .

Bài 3 ( 1.0đ ) :

Giả sử phương trình 2x² + 2ax + 1 - b = 0 có 2 nghiệm nguyên ( với a,b là tham số ) . CMR a² - b² +2 là số nguyên và không chia hết cho 3 . 

Bài 4 ( 3.0đ ) : 

Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có các góc nhọn , nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC , F là điểm đối xứng của E qua M . 

a) CMR : EB² = EF.EO 

b) Gọi D là giao điểm của AE và BC , CMR các điểm A,D,O,F cùng thuộc một đường tròn 

c) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và P là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC sao cho P,O,F không thẳng hàng . CMR tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác POF đi qua 1 điểm cố định . 

Bài 5 ( 2.0đ ) : 

Để khuyến khích phong trào học tập , một trường THCS đã tổ chức 8 đợt thi cho các học sinh , Ở mỗi đợt thi , có đúng 3 học sinh được chọn để trao giải . Sau khi tổ chức xong 8 đợt thi , người ta nhận thấy rằng với 2 đợt thi bất kỳ luôn có đúng 1 học sinh được trao giải ở cả 2 đợt thi đó . CMR : 

a) Có ít nhất 1 học sinh được trao giải ít nhất 4 lần .

b) Có đúng một học sinh được trao giải ở tất cả 8 đợt thi . 

___ Hết ___

Thí sinh không được sử dụng tài liệu . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm . 

Họ và tên thí sinh : ..............................................................................................: Số báo danh : .............................................................

      ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM                                                                                     KỲ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU                                                                                            NĂM HỌC 2015 - 2016

                                                                                                                                                   MÔN THI : TOÁN CHUYÊN 

ĐỀ BÀI : 

Bài 1: Giải các phương trình sau : 

a) $\sqrt{u^2-u-1} + \sqrt{u^2+u+3} = \sqrt{2u^2+8}$

b) $x^3 + x + \sqrt[3]{x^3+x-2} = 12$

Bài 2 : Giả sử a,b và x,y là các số thực sao cho : 

$a + b = 23$  ;  $ax + by = 79$

$ax^2 + by^2 = 217$  ;  $ax^3 + by^3 = 691$ 

Hãy tính S = $ax^4 + by^4$

Bài 3 : 

a) Cho 6 điểm bất kì trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng , mỗi đoạn thẳng nối 2 điểm trong đó được tô màu xanh hoặc đỏ , CMR : Tồn tại 1 tam giác có 3 cạnh cùng màu . 

b) Cho 17 điểm bất kì trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng , Mỗi đoạn thẳng nối 2 điểm trong đó được tô màu xanh , đỏ hoặc vàng , CMR : Tồn tại 1 tam giác có 3 cạnh cùng màu .

Bài 4 : 

a) Các số nguyên dương a và b có đúng 99 ước số ( kể cả 1 và chính nó ) , hỏi liệu có thể xảy ra trường hợp số a.b có đúng 1000 ước số hay không ? . 

b) Trên tập hợp các số thực cho phép toán * đặt tương ứng với 2 số a và b thành kết quả , kí hiệu là a*b , biết rằng đẳng thức (a*b)*c = a + b +c đúng với mọi a,b,c ; CMR : a*b = a + b .

Bài 5 :

Giả sử a(n) là số cách biểu diễn số nguyên dương n dưới dạng tổng quát các số 1 và 2 : 
Ví dụ : 5 = 1+1+1+1+1 = 2+1+1+1 = 1+2+1+1 + 1+1+2+1 = 1+1+1+2 = 2 + 2 + 1 = 2+1+2 = 1+2+2 

Nên a(n) = 5 

Giả sử b(n) là số cách biểu diễn số nguyên dương n dưới dạng tổng quát các số nguyên lớn hơn 1 ( bao gồm cả cách biểu diễn là chính số đó ) : 

Ví dụ : 7 = 3+2+2 = 2+3+2 = 2+2+3 = 3+4 = 4+3 = 2+5 = 5+2 

Nên b(n) = 8 

Chứng minh rằng : a(n) = b(n+2) với mọi số n nguyên dương 

Bài 6 : 

Cho tam giác ABC nhọn và AB < AC , Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC , AC , AB lần lượt tại D,E,F , Gọi M,N là trung điểm của EF và DF . Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại P .

a) Chứng minh tứ giác AMNB nội tiếp 

b) Chứng minh IP vuông góc với AD

c) Chứng minh $\frac{PB}{PC} =\frac{DB}{DC}$

HẾT 

                                                       TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VÀ TỰ NHIÊN

                                                             TRƯỜNG THPT KHOA HỌC TỰ NHIÊN

                                                      ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM 2015

                                                                Ngày thi: 28 tháng 3 năm 2015 (Lần 2)

                                                                      MÔN:TOÁN (VÒNG 2)

                                                     Thời gian làm bài 150 phút,không kể thời gian giao đề

Câu I (3 điểm):

1)Cho $a,b,c$ là các nghiệm của phương trình:$x^3-(2+\sqrt{2})x-2=0$.Tính :$M=\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}$

2)Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=1241 & & \\ x^2+y^2=145 & & \end{matrix}\right.$

 

Câu 1.2 
Viết lại hệ : 
$\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^{2} -xy + y^{2}) = 1241 & \\ x^{2} + y^{2} = 145 & \end{matrix}\right.$

=> $(x + y)(145 - xy) = 1241 = 17 . 73$

đến đây giải nghiệm nguyên ra x=9 , y=8