Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


KemQue

Đăng ký: 29-01-2015
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 21:37
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Cực trị tổ hợp

16-09-2020 - 21:14

làm sao ạ?

 

Max S=1275


Trong chủ đề: Tìm tất cả các số nguyên x,y,z thỏa mãn

06-08-2020 - 08:46

Tìm tất cả các số nguyên x,y,z thỏa mãn 

x^3+x^2+x=4y^2+4y

$x$ chẵn.

$PT \Leftrightarrow (x^2+1)(x+1)=(2y+1)^2$

Mà: $gcd(x^2+1,x+1)=gcd(x(x+1)-x+1,x+1)=gcd(1-x,x+1)=gcd(-(x+1)+2,x+1)=gcd(2,x+1)=1$ (vì $x$ chẵn)

Nên: $\left [ \begin{matrix} x^2+1=a^2 \\ x+1=b^2 \end{matrix} \right. (a,b \in \mathbb{Z})$

Suy ra: $(a-x)(a+x)=1 \Rightarrow \left [ \begin{matrix} a-x=1 \\ a+x=1 \end{matrix} \right.$ hoặc $\left [ \begin{matrix} a-x=-1 \\ a+x=-1 \end{matrix} \right. \Rightarrow x=0$.

Khi đó: $4y^2+4y=0 \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} y=0 \\ y=-1 \end{matrix} \right.$


Trong chủ đề: Cmr: nếu $(a;240)=1$ thì $a^4 -1\vdots 240$.

05-08-2020 - 11:30

Em xin giải bài này như sau 

                                               $240=2^{4}.3.5$

                 Ta có : $(a,240)=1=>(a,2)=1;(a,3)=1;(a,5)=1$ và a lẻ

+) Có: $a^{4}-1=(a-1)(a+1)(a^{2}+1)(a^{4}+1)$ mà a lẻ nên suy ra $(a-1)(a+1)(a^{2}+1)(a^{4}+1)$ chia hết cho 2.2.2.2=16  (1)

+)         Vì $a^{4}$ là số chính phương => $a^{4}$ chia 3 dư 0 hoặc 1 mà $(a,3)=1$ => $a^{4}\equiv 1(mod3)=> a^{4}-1\vdots 3$  (2)

+)  Theo định lí Fermat nhỏ => $a^{4}\equiv 1(mod5)=> a^{4}-1\vdots 5$ (3)

                  Từ (1),(2),(3) => đfcm

$a^{4}-1=(a-1)(a+1)(a^{2}+1)$ thôi.

$a-1$ và $a+1$ là 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 cùng với $a^2+1$ chẵn nên $a^4-1 \vdots 16$


Trong chủ đề: Đề thi chuyên toán thái bình 2020

05-08-2020 - 09:47

Ai có sol câu 2a không ạ?

$\frac{x}{\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+1}=\sqrt{3 x+1}$ (ĐKXĐ: $x \ge -\frac13$)

$\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x+2}} = \frac{2x}{\sqrt{3x+1} + \sqrt{x+1}}$

$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $\frac{1}{\sqrt{x+2}} = \frac{2}{\sqrt{3x+1} + \sqrt{x+1}}$   $(*)$

$(*) \Rightarrow \sqrt{3x+1} + \sqrt{x+1}=2\sqrt{x+2}$

$\Rightarrow 4x+2 +2\sqrt{3x+1}  \sqrt{x+1}=4({x+2})$

$\Leftrightarrow \sqrt{3x^2+4x+1}=3$

$\Rightarrow 3x^2+4x-8=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{-2+2\sqrt{7}}{3} \text{(nhận)} \\  x=\frac{-2-2\sqrt{7}}{3} \text{(loại)}  \end{matrix}\right.$

Vậy, phương trình có hai nghiệm: $x=0$ và $x=\frac{-2+2\sqrt{7}}{3}$.


Trong chủ đề: Chứng minh a,b nguyên tố cùng nhau và 2b^2-1 chia hết cho a^2-b^2

04-08-2020 - 23:05

Bài 1: +) Đặt $gcd(a,b)=d$. Khi đó ta có: $d | a+b | ab+1$ và $d | ab$ nên $d | 1 \Rightarrow d=1$.

+) Ta có: $a+b | ab+1 \Leftrightarrow a+b | a^2-b^2+ab+1 =a(a+b)-(b^2-1) \Rightarrow a+b | (b^2-1)$.

$a-b | ab-1 \Leftrightarrow a-b | b^2-a^2+ab-1 =-a(a-b)+(b^2-1) \Rightarrow a-b | (b^2-1)$.

Mà: $gcd (a+b,a-b) = gcd (a+b,2b) = gcd(a,b) . gcd(a+b,2)|2$.

Nên: $a^2-b^2 | 2(b^2-1)$.

Bài 2: Không mất tính tổng quát ta giả sử: $1 < a_1 < a_2 < ... <a_{2019}$.

Khi đó ta có: $a_i \ge i+1$

$\Rightarrow  \frac{a_{i}^{2}+1}{a_{i}^{2}} \le  \frac{(i+1)^2+1}{(i+1)^2}$.

Ta đặt: $A= \frac{(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)(a_{3}^{2}+1)...(a_{2019}^{2}+1)}{(a_{1}a_{2}a_{3}...a_{2019})^{2}}$.

Rõ ràng: $A>1$.

Mặt khác: $A= \frac{a_1^2+1}{a_1^2}.\frac{a_2^2+1}{a_2^2}...\frac{a_{2019}^2+1}{a_{2019}^2} \le \frac{2^2+1}{2^2}.\frac{3^2+1}{3^2}...\frac{2020^2+1}{2020^2} < \frac{2^2}{2^2-1}.\frac{3^2}{3^2-1}...\frac{2020^2}{2020^2-1}=2.\frac{2020}{2021} < 2$.

Do đó: $A \notin \mathbb{N} \Rightarrow đpcm$.