KemQue

Bài 3:

Ta có:

${{u}_{1}}=2019$

${{u}_{2}}=\frac{1}{4-3{{u}_{1}}}=\frac{1}{4-3.2019}$

${{u}_{3}}=\frac{1}{4-3{{u}_{2}}}=\frac{1}{4+\frac{3}{3.2019-4}}\Rightarrow 0<{{u}_{3}}<\frac{1}{3}$

Từ đây dùng quy nạp ta chứng minh được: $0<{{u}_{n}}<\frac{1}{3}\,\,\,,\forall n\ge 3$.

Do đó: ${{u}_{n+1}}=\frac{1}{4-3{{u}_{n}}}\,\,\,,n\ge 1$.

Ta có:  ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{1}{4-3{{u}_{n}}}-{{u}_{n}}=\frac{\left( 3{{u}_{n}}-1 \right)\left( {{u}_{n}}-1 \right)}{4-3{{u}_{n}}}>0$ (vì $0<{{u}_{n}}<\frac{1}{3}\,\,\,,\forall n\ge 3$)

Suy ra: dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ tăng bắt đầu từ số hạng thứ 3 trở về sau.

Vậy, dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ hội tụ. Giả sử $\lim {{u}_{n}}=a$.

Khi đó: \[a\left( 4-3a \right)=1\Leftrightarrow a=1 \text{ hoặc } a=\frac{1}{3} \Rightarrow a=\frac{1}{3}\].

Vậy, $\lim {{u}_{n}}=\frac{1}{3}$

Bài 1:

Bổ đề: Cho hai dãy số $({{a}_{n}}),({{b}_{n}})$ không âm và số thực $q\in (-1;1)$ thỏa mãn: ${{a}_{n+1}}\le q{{a}_{n}}+{{b}_{n}}$. Khi đó nếu $\lim {{b}_{n}}=0$ thì $\lim {{a}_{n}}=0$.

Quay lại bài toán:

Ta có: \[{{u}_{n+1}}=1+{{\left( {{u}_{n}}-1 \right)}^{2}}+\frac{1}{n+2499}>1\,\,\,,n\ge 1\].

Ta chứng minh bằng quy nạp ${{u}_{n}}<\frac{3}{2}\,\,\,,\forall n\ge 1$.

Thật vậy, $1<{{u}_{1}}<\frac{3}{2}$.

Ta giả sử $1<{{u}_{k}}<\frac{3}{2}$ với $k\ge 1$, ta có: \[{{u}_{k+1}}=1+{{\left( {{u}_{k}}-1 \right)}^{2}}+\frac{1}{k+2499}<\frac{5}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}\]

Vậy, $1<{{u}_{n}}<\frac{3}{2}\,\,\,,\forall n\ge 1$. Do đó: $0<{{u}_{n}}-1<\frac{1}{2}\,\,\,,\forall n\ge 1$

Mặt khác: \[{{u}_{n+1}}-1=\left( {{u}_{n}}-1 \right).\left( {{u}_{n}}-1 \right)+\frac{1}{n+2499}\le \frac{1}{2}\left( {{u}_{n}}-1 \right)+\frac{1}{n+2499}\].

Áp dụng bổ đề trên ta suy ra: $\lim {{u}_{n}}=1$.

hình như bạn nhầm chứ điểm rơi xấu quá. thôi bỏ đi

https://www.wolframa...0,z>0,x+y+z=999

bạn xem ở đây nè

$x,y,z \in \mathbb{Z}^+$ mà.

Cố gắng đánh giá đưa về $x+y+z$ kiểu như

$x^4+1+1+1\geq 4x$ rồi đưa còn lại về $4y$ và $4z$

min nó lại nằm ở $x=8, y=24, z=967$.

Mình cũng thử r mà tạch. haiz

may be Am-Gm

cụ thể ntn nhỉ?