Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


KemQue

Đăng ký: 29-01-2015
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 21:37
-----

#739747 Cực trị tổ hợp

Gửi bởi KemQue trong 16-09-2020 - 20:15

Cho tập $A=\left\{ 1,2,...,101 \right\}$. Tô màu ít nhất 50 phần tử của $A$ sao cho nếu $a,b\in A$ được tô màu (không nhất thiết khác nhau) và $a+b\in A$ thì $a+b$ cũng được tô màu. Gọi $S$ là tổng tất cả các số không được tô màu của $A$. Tìm $MaxS$ 




#739733 $\sum \frac{1+x}{y+z} \le 2 \sum...

Gửi bởi KemQue trong 16-09-2020 - 11:02

Cho các số dương $x,y,z$ thỏa $x+y+z=1$. CMR:

$\frac{1+x}{y+z}+\frac{1+y}{z+x}+\frac{1+z}{x+y}\le 2\left( \frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x} \right)$           

 




#739708 $f(x+f(y))-f(f(x)-x)=f(y)-f(x)+2x+2y$

Gửi bởi KemQue trong 15-09-2020 - 15:06

Giải phương trình hàm

\[f(x+f(y))-f(f(x)-x)=f(y)-f(x)+2x+2y,\forall x,y\in \mathbb{R}\]




#738018 Tìm tất cả các số nguyên x,y,z thỏa mãn

Gửi bởi KemQue trong 06-08-2020 - 08:46

Tìm tất cả các số nguyên x,y,z thỏa mãn 

x^3+x^2+x=4y^2+4y

$x$ chẵn.

$PT \Leftrightarrow (x^2+1)(x+1)=(2y+1)^2$

Mà: $gcd(x^2+1,x+1)=gcd(x(x+1)-x+1,x+1)=gcd(1-x,x+1)=gcd(-(x+1)+2,x+1)=gcd(2,x+1)=1$ (vì $x$ chẵn)

Nên: $\left [ \begin{matrix} x^2+1=a^2 \\ x+1=b^2 \end{matrix} \right. (a,b \in \mathbb{Z})$

Suy ra: $(a-x)(a+x)=1 \Rightarrow \left [ \begin{matrix} a-x=1 \\ a+x=1 \end{matrix} \right.$ hoặc $\left [ \begin{matrix} a-x=-1 \\ a+x=-1 \end{matrix} \right. \Rightarrow x=0$.

Khi đó: $4y^2+4y=0 \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} y=0 \\ y=-1 \end{matrix} \right.$




#737975 Cmr: nếu $(a;240)=1$ thì $a^4 -1\vdots 240$.

Gửi bởi KemQue trong 05-08-2020 - 11:30

Em xin giải bài này như sau 

                                               $240=2^{4}.3.5$

                 Ta có : $(a,240)=1=>(a,2)=1;(a,3)=1;(a,5)=1$ và a lẻ

+) Có: $a^{4}-1=(a-1)(a+1)(a^{2}+1)(a^{4}+1)$ mà a lẻ nên suy ra $(a-1)(a+1)(a^{2}+1)(a^{4}+1)$ chia hết cho 2.2.2.2=16  (1)

+)         Vì $a^{4}$ là số chính phương => $a^{4}$ chia 3 dư 0 hoặc 1 mà $(a,3)=1$ => $a^{4}\equiv 1(mod3)=> a^{4}-1\vdots 3$  (2)

+)  Theo định lí Fermat nhỏ => $a^{4}\equiv 1(mod5)=> a^{4}-1\vdots 5$ (3)

                  Từ (1),(2),(3) => đfcm

$a^{4}-1=(a-1)(a+1)(a^{2}+1)$ thôi.

$a-1$ và $a+1$ là 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 cùng với $a^2+1$ chẵn nên $a^4-1 \vdots 16$




#737964 Đề thi chuyên toán thái bình 2020

Gửi bởi KemQue trong 05-08-2020 - 09:47

Ai có sol câu 2a không ạ?

$\frac{x}{\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+1}=\sqrt{3 x+1}$ (ĐKXĐ: $x \ge -\frac13$)

$\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x+2}} = \frac{2x}{\sqrt{3x+1} + \sqrt{x+1}}$

$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $\frac{1}{\sqrt{x+2}} = \frac{2}{\sqrt{3x+1} + \sqrt{x+1}}$   $(*)$

$(*) \Rightarrow \sqrt{3x+1} + \sqrt{x+1}=2\sqrt{x+2}$

$\Rightarrow 4x+2 +2\sqrt{3x+1}  \sqrt{x+1}=4({x+2})$

$\Leftrightarrow \sqrt{3x^2+4x+1}=3$

$\Rightarrow 3x^2+4x-8=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\frac{-2+2\sqrt{7}}{3} \text{(nhận)} \\  x=\frac{-2-2\sqrt{7}}{3} \text{(loại)}  \end{matrix}\right.$

Vậy, phương trình có hai nghiệm: $x=0$ và $x=\frac{-2+2\sqrt{7}}{3}$.




#737952 Chứng minh a,b nguyên tố cùng nhau và 2b^2-1 chia hết cho a^2-b^2

Gửi bởi KemQue trong 04-08-2020 - 23:05

Bài 1: +) Đặt $gcd(a,b)=d$. Khi đó ta có: $d | a+b | ab+1$ và $d | ab$ nên $d | 1 \Rightarrow d=1$.

+) Ta có: $a+b | ab+1 \Leftrightarrow a+b | a^2-b^2+ab+1 =a(a+b)-(b^2-1) \Rightarrow a+b | (b^2-1)$.

$a-b | ab-1 \Leftrightarrow a-b | b^2-a^2+ab-1 =-a(a-b)+(b^2-1) \Rightarrow a-b | (b^2-1)$.

Mà: $gcd (a+b,a-b) = gcd (a+b,2b) = gcd(a,b) . gcd(a+b,2)|2$.

Nên: $a^2-b^2 | 2(b^2-1)$.

Bài 2: Không mất tính tổng quát ta giả sử: $1 < a_1 < a_2 < ... <a_{2019}$.

Khi đó ta có: $a_i \ge i+1$

$\Rightarrow  \frac{a_{i}^{2}+1}{a_{i}^{2}} \le  \frac{(i+1)^2+1}{(i+1)^2}$.

Ta đặt: $A= \frac{(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)(a_{3}^{2}+1)...(a_{2019}^{2}+1)}{(a_{1}a_{2}a_{3}...a_{2019})^{2}}$.

Rõ ràng: $A>1$.

Mặt khác: $A= \frac{a_1^2+1}{a_1^2}.\frac{a_2^2+1}{a_2^2}...\frac{a_{2019}^2+1}{a_{2019}^2} \le \frac{2^2+1}{2^2}.\frac{3^2+1}{3^2}...\frac{2020^2+1}{2020^2} < \frac{2^2}{2^2-1}.\frac{3^2}{3^2-1}...\frac{2020^2}{2020^2-1}=2.\frac{2020}{2021} < 2$.

Do đó: $A \notin \mathbb{N} \Rightarrow đpcm$.




#737910 Chứng minh rằng : y(x+1)>=-1

Gửi bởi KemQue trong 03-08-2020 - 12:12

Ta có: $x^2+y^2 \le x \Rightarrow 0 \le y^2 \le x-x^2 \Leftrightarrow 0\le x \le 1 \Leftrightarrow  1 \le x+1 \le 2$.

Mặt khác: $ x^2+y^2 \le x \Rightarrow 0\le (x+y)^2 \le x(2y+1) \Rightarrow 2y+1 \ge 0 \Rightarrow y \ge -\frac 12$.

Suy ra: $y(x+1) \ge -\frac 12 (x+1) \ge -1$ (vì $x+1 \le 2$).




#737866 Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^2+5y^2+6z^2+2xy-4xz=10$.

Gửi bởi KemQue trong 01-08-2020 - 21:54

Ta có: $x^2+5y^2+6z^2+2xy-4xz=10 \Leftrightarrow (x+y-2z)^2+(2y+z)^2+z^2=0^2+1^2+3^2$   $(1)$

Trường hợp 1: $z=0$

$(1) \Rightarrow (x+y)^2+(2y)^2=1^2+3^2$. Vô nghiệm vì $2y$ chẵn.

Trường hợp 2: $2y+z=0 \Leftrightarrow z=-2y$

$(1) \Rightarrow (x+5y)^2+(-2y)^2=1^2+3^2$. Vô nghiệm vì $-2y$ chẵn.

Trường hợp 3: $x+y-2z=0 \Leftrightarrow x=2z-y$

$(1) \Rightarrow (2y+z)^2+z^2=1^2+3^2$

Tới đây quất thôi  :icon10:  :ukliam2:




#737862 Tìm số nguyên không âm

Gửi bởi KemQue trong 01-08-2020 - 21:09

Nếu $a=0$ thì ta có: $ 2^b+2 | 2^b+1$ (vô lí). Do đó $a,b \ne 0$.

Vì vai trò $a,b$ như nhau nên ta giả sử $a\ge b \ge 1$.

Ta có: $ 2^a+2^b+1 | 2^{a+b}+1 \Leftrightarrow 2^a+2^b+1 | 2^{a+b}+1 -(2^a+2^b+1)=2^b(2^a-2^{a-b}-1)$

$\Leftrightarrow 2^a+2^b+1 | 2^a-2^{a-b}-1$

Mà $a \ge b \ge 1$ nên $ 2^a-2^{a-b}=2^{a-b}(2^b-1) \ge 1$

Suy ra: $0 \le 2^a-2^{a-b}-1 < 2^a+2^b+1$.

Do đó: $2^a-2^{a-b}-1=0 \Leftrightarrow 2^{a-b}(2^b-1) = 1 \Rightarrow a=b=1$.




#737789 Giải phương trình

Gửi bởi KemQue trong 30-07-2020 - 21:08

Ta có: $x(2022-x^{2021})=2021 \Leftrightarrow 2022(x-1)=x^{2022}-1 \Leftrightarrow 2022(x-1)=(x-1)(x^{2021}+x^{2020}+...+x+1)$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x^{2021}+x^{2020}+...+x=2021$   $(1)$

Xét phương trình $(1)$:

Nếu $|x|<1$ thì: $|VT| < 2021$.
Nếu $x>1$ thì: $VT>2021$.
Nếu $x \le -1$ thì: $VT=(x^{2021}+x^{2020})+(x^{2019}+x^{2018})+...+(x^3+x^2)+x$
                                   $=x^{2020}(x+1)+x^{2018}(x+1)+...+x^2(x+1)+x < 0<2021$.
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$.



#737760 Tìm tất cả các số nguyên dương x,y thỏa mãn x^3+y và y^3 + x đều chia hết cho...

Gửi bởi KemQue trong 30-07-2020 - 08:59

$d(k^2+h^2) | h(khd^2-1) \Rightarrow d  | h(khd^2-1)$ mà $gcd(d, khd^2-1)=1$ nên $d|h$

 

 

 

 

 

 




#737740 Tìm tất cả các số nguyên dương x,y thỏa mãn x^3+y và y^3 + x đều chia hết cho...

Gửi bởi KemQue trong 29-07-2020 - 19:44

Ta có: $x^2+y^2 | x(x^2+y^2)=x^3+y+xy^2-y$.

Mà: $x^2+y^2 | x^3+y$.

Nên: $x^2+y^2 | xy^2-y=y(xy-1)$   $(1)$

Tương tự: $x^2+y^2 | x(xy-1)$   $(2)$

Ta đặt: $gcd(x,y)=d$. Khi đó: $x=kd, y=hd, gcd(h,k)=1$.

Nếu $d>1$ thì từ $(1)$ và $(2)$ ta có:

$d^2(k^2+h^2) | hd(khd^2-1) \Rightarrow d(k^2+h^2) | h(khd^2-1) \Rightarrow d|h$

$d^2(k^2+h^2) | kd(khd^2-1) \Rightarrow d(k^2+h^2) | k(khd^2-1) \Rightarrow d|k$

Vô lí.

Do đó: $d=1$ hay $gcd(x,y)=1$.

$\Rightarrow gcd(y,x^2+y^2)=gcd(y,x^2)=1$

Từ $(1) \Rightarrow x^2+y^2 | xy-1$   $(3)$

Mặt khác: $xy \ge 1$.

Nếu $xy>1$ thì  $(3) \Rightarrow x^2+y^2 \le xy-1 \Rightarrow x^2+y^2 -xy \le -1$ (vô lí)

Nên $xy=1 \Rightarrow x=y=1$.




#737587 Cmr: $x^{3}+1 \vdots y+1$.

Gửi bởi KemQue trong 23-07-2020 - 23:35

a) Đặt $\dfrac{x^3+1}{y+1}=\dfrac ab; \dfrac{y^3+1}{x+1}=\dfrac cd$ với $a, b, c, d \in \mathbb{Z}; b, d \ne 0; gcd(a,b)=gcd(c,d)=1$.

Ta có: $\dfrac ab+\dfrac cd \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \dfrac{ad+bc}{bd} \in \mathbb{Z}$.

Suy ra: $b|(ad+bc) \Rightarrow b|ad$.

Mà: $gcd(a,b)=1$ nên $b|d$ $(1)$

Mặt khác: $\dfrac ab.\dfrac cd=\dfrac{x^3+1}{y+1}.\dfrac{y^3+1}{x+1}=(x^2-x+1)(y^2-y+1) \in \mathbb{Z}$.

$\Rightarrow d|ac$.

Mà: $gcd(c,d)=1$ nên $d|a$ $(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $b|a$.

Hơn nữa: $gcd(a,b)=1$. Do đó: $b=1$.

Hay: $\dfrac{x^3+1}{y+1}=a \Rightarrow (y+1)|(x^3+1)$.

b) Theo câu a ta có: $x^3 \equiv -1 (mod \ y+1)$.

Mà: $y \equiv -1 (mod \ y+1) \Rightarrow y^3 \equiv -1 (mod \ y+1)$.

Suy ra: $x^3y^3 \equiv 1 (mod \ y+1)$ hay $y+1|x^3y^3-1$.




#737549 Chứng minh rằng: $(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{3}\geq 9(a + b+ c)$.

Gửi bởi KemQue trong 22-07-2020 - 21:26

Ta có: $(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2 \ge 0 \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge 2(a+b+c) -3$.

Và: $a+b+c=a+b+ \dfrac 1{ab} \ge 3$

Khi đó ta cần chứng minh: $[2(a+b+c) -3]^3 \ge 9(a+b+c)$.

Đặt: $t=a+b+c, t \ge 3$. Ta xét:

$(2t-3)^3-9t=(t-3)(8t^2-12t+9)=(t-3) [8(x- \dfrac 34)^2+ \dfrac 92] \ge 0$.

Từ đây ta có đpcm.