KemQue

Bài 1:

Bổ đề: Cho hai dãy số $({{a}_{n}}),({{b}_{n}})$ không âm và số thực $q\in (-1;1)$ thỏa mãn: ${{a}_{n+1}}\le q{{a}_{n}}+{{b}_{n}}$. Khi đó nếu $\lim {{b}_{n}}=0$ thì $\lim {{a}_{n}}=0$.

Quay lại bài toán:

Ta có: \[{{u}_{n+1}}=1+{{\left( {{u}_{n}}-1 \right)}^{2}}+\frac{1}{n+2499}>1\,\,\,,n\ge 1\].

Ta chứng minh bằng quy nạp ${{u}_{n}}<\frac{3}{2}\,\,\,,\forall n\ge 1$.

Thật vậy, $1<{{u}_{1}}<\frac{3}{2}$.

Ta giả sử $1<{{u}_{k}}<\frac{3}{2}$ với $k\ge 1$, ta có: \[{{u}_{k+1}}=1+{{\left( {{u}_{k}}-1 \right)}^{2}}+\frac{1}{k+2499}<\frac{5}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}\]

Vậy, $1<{{u}_{n}}<\frac{3}{2}\,\,\,,\forall n\ge 1$. Do đó: $0<{{u}_{n}}-1<\frac{1}{2}\,\,\,,\forall n\ge 1$

Mặt khác: \[{{u}_{n+1}}-1=\left( {{u}_{n}}-1 \right).\left( {{u}_{n}}-1 \right)+\frac{1}{n+2499}\le \frac{1}{2}\left( {{u}_{n}}-1 \right)+\frac{1}{n+2499}\].

Áp dụng bổ đề trên ta suy ra: $\lim {{u}_{n}}=1$.

Cho $x,y,z \in \mathbb{Z}^+$ và $x+y+z=999$. Tìm GTNN của: $P=x^4+y^3+z^2$.

Đặt các số được chọn là $a_1,a_2,...,a_{n+1}$.

Trong đó: $a_i=2^{m_i}.b_i$ với $b_i$ là số lẻ.

Trong $2n$ số nguyên dương đầu tiên có $n$ số lẻ mà ta lại có $n+1$ số $b_i$ lẻ do đó theo nguyên lí Dirichlet sẽ tồn tại 2 số $b_h,b_k$ bằng nhau. Khi đó dĩ nhiên trong 2 số $a_h, a_k$ sẽ có số này chia hết cho số kia.

Có 2 cuốn sách văn, 4 cuốn sách toán và 6 cuốn sách anh văn được xếp vào một kệ nằm ngang.

Có bao nhiêu cách sắp xếp để các cuốn cùng môn không đứng cạnh nhau.

Mọi người giúp e giải đáp thắc mắc này với.

Trong cách giải bài toán Bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 chiếc phong bì đã ghi địa chỉ, tính xác suất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng địa chỉ. https://diendantoanh...da-ghi-dịa-chỉ/

Có bạn sử dụng nguyên lí bù trừ.

Theo đó thì $N_{m} = C^{m}_{4}(4 - m)! = \frac{4!}{m!}$ Nhưng e thấy với $m=3$ và $m=4$ thì cách bỏ thư là như nhau vì bỏ đúng 3 lá thì tất nhiên bỏ đúng 4 lá sao $N_3 \ne N_4$ ở trong bài giải v ạ?

Cho tập $S=\{1,2,...,999\}$. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho mọi tập con A của S gồm n phần tử luôn tồn tại 4 phần tử phân biệt a, b, c, d thuộc A sao cho: $a+2b+3c=d$.

Chắc $n$ nguyên dương nhỉ

Có $f(x)=(x+1)^{n}+x^{n}+1=(x^{2}+x+1).Q(x)$

Có $x^{2}+x+1=0$ có 2 nghiệm phức là $x_{1}=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i;x_{2}=\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

suy ra $f(x_{1})=0;f(x_{2})=0$

=> $(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+1=0$

và $(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+1=0$

từ 2 cái này ta có thể dễ dàng suy ra $n$ chẵn (phản chứng $n$ lẻ thì vô lý)

khi $n$ chẵn viết lại được thành $x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+1=0$

mà theo Vi-ét $x_{1}+x_{2}=-1;x_{1}.x_{2}=1$

=> $n=2$

$x_1^n+x_2^n$ chắc gì đã bằng $-1$. Bạn có thể thử với $n=6$ khi đó $x_1^6+x_2^6=2$.

Nếu dùng cách này thì mình làm r. Tới đây ta đưa $x_1,x_2$ về dạng lượng giác $x_1=cos \frac{2\pi}3+i sin\frac{2\pi}3 , \ x_2=cos \frac{-2\pi}3+i sin\frac{-2\pi}3$

Từ đây thế vào $f(x_{1})=0;f(x_{2})=0$ giải pt lượng giác suy ra được là $n=6k+2,\ n=6k+4 ,\ k\in \mathbb{N}$

Mình đang tìm cách không dùng số phức

Mong mọi người giúp đỡ:

1. Biết pt $ax^3+14x^2+2x+2011=0$ có 3 nghiệm phân biệt. Tìm số nghiệm của pt $4(ax^3+14x^2+2x+2011)(3ax+14)=(3ax^2+28x+2)^2$.

2. Tìm n sao cho đa thức $(x+1)^n+x^n+1$ chia hết cho $x^2+x+1$.

3. Cho $m,n \in \mathbb{Z}$ và $m,n \ge 2$. CMR các đa thức:

$$ f(x)=1+x+x^2+...+x^{m-1}$$

$$ g(x)=1+x+x^2+...+x^{n-1}$$

là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi $m,n$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Cho mình hỏi 2 bài sau với:

1. Cho $a,b,c>0, \ abc=1$. CMR: $ \dfrac 1{1+2a}+ \dfrac 1{1+2b}+ \dfrac 1{1+2c} \geq 1$.

2. Cho $a,b,c>0,\ a+b+c=3$. Tìm GTNN của: $P= \dfrac a{\sqrt b}+\dfrac b{\sqrt c}+\dfrac c{\sqrt a}$

Cho $x,y,z>0,\ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=2xyz$. CMR:

$$ \sqrt{x+y+z} \ge \sqrt{x-yz}+\sqrt{y-zx}+\sqrt{z-xy}$$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB \bot AC (gt)\\ AB \bot AA' (gt) \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow AB \bot (AA'C'C)$

$\Rightarrow \widehat{BC';(AA'C'C)}=\widehat{AC'B}=30^\circ$.

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, có:

$AB=AC.tan 60^\circ=a\sqrt 3$

$S_{\triangle ABC}=\dfrac 12 AB.AC=\dfrac {a^2\sqrt 3}2$.

Xét $\triangle AC'B$ vuông tại $A$, có:

$AC'=AB. cot 30^\circ=3a$

Xét $\triangle ACC'$ vuông tại $C$, có:

Vậy cho mình hỏi câu ko liên quan chút. Giả sử trong đề bài họ cho hai hay ba căn thức thì làm sao tìm được ĐKXĐ vậy ạ?

cho từng biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0 sau đó hợp lại.

VD: $f(x)=\sqrt x + \sqrt {1-x^2}$

Khi đó ĐKXĐ là $\left \{ \begin{matrix} x \ge 0 \\ 1-x^2\ge 0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x \ge 0 \\ -1 \ge x \ge 1 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow 0\ge x \ge 1$.

Lưu ý là điều kiện này áp dụng cho căn bậc chẵn còn với căn bậc lẻ như $\sqrt [3] ,\sqrt [5],...$ thì k có điều kiện nha.

Cho mình hỏi làm sai bạn xác định được điều kiện xác định là $[-1;1]$ vậy ạ?

ĐKXĐ là biểu thức dưới dấu căn không âm hay $1-x^2 \ge 0$