Giải hệ PT:
$\left\{\begin{matrix} \frac{2xy}{x+y} +\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}=\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{2} \\ \sqrt[3]{9xy+3x+6y+9}+2\sqrt[3]{6xy+2}=3x+4 \end{matrix}\right.$
p/s: đây là bài trong đề thi HSG lớp 12 môn Toán tỉnh Thanh Hóa
dk: x,y>0 hoặc x,y<0
$(1)<=>\frac{(x-y)^2}{2(\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy})}=\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}$
<=>x=y (*)
hoặc $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}=x+y,(**)$
xét (**), có : $+ x,y<0=>\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}>0>x+y,(loai)$
+ x,y>0=> $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}=x+y=> x+y\geq 2\sqrt{xy}=>(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq 0$
DTXR khi và chỉ khi : $\left\{\begin{matrix} & x=y\\ & (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=0 \end{matrix}\right.=>x=y$
thay x=y vào (2), có :