robot3d

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:

$y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}-x-\sqrt{4x-{{x}^{2}}}$ 

xét đạo hàm của y trên đoạn 0:4.xét dấu sẽ ra max, min

Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}& {{y}^{2}}+1=x\left( x+y \right) \\ & \left( {{y}^{2}}+1 \right)\left( x+y-2 \right)+x=0 \\ \end{align} \right.$ 

bạn có chép sai đề k? nếu k thì thế ptr trên vào ptr duoi rồi rút x, sau đó đặt t=x+y giải ra chứ gi?    

Bài này nhiều cách,mình sẽ nêu ra hai cách gọn nhất:

 

C2:Áp dụng bđt AM-GM ta có 

$x^{2}+1=x^{2}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9} \geq 10\sqrt[10]{\frac{x^{2}}{9^{9}}}=10\sqrt[5]{\frac{x}{3^{9}}}$

Thiết lập các bđt tương tự ta có 

$\sum \frac{x}{x^{2}+1} \leq \frac{3}{10}.\sum \sqrt[5]{3x^{4}}$

Ta lại có $\sum \sqrt[5]{(3x^{4})}=\sum \sqrt[5]{3x.3x.3x.3x.1} \leq \sum \frac{12x+1}{5}=3 $

$\rightarrow \frac{x}{x^{2}+1} \leq \frac{3}{10}.3=\frac{9}{10}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

chổ màu đỏ này chưa thỏa khi -1<x<0 nha bạn

cho x,y,z>0, CMR: $x^3+Y^3+Z^3\geq x^2y+y^2z+z^2x$

ps: t làm được tới đây: 

$x^3+y^3\geq x^2y+xy^2,y^3+z^3\geq y^2z+z^2y,z^3+x^3\geq z^2x+x^2z$

cộng vế theo vế, ta có:

$2(x^3+y^3+z^3)\geq (x^2y+y^2z+z^2x)+xy^2+yz^2+zx^2$ 

tới đây rồi  tiếp theo mần thao vậy mọi người?

GPT

 

3. $x^4+2x^3+2x^2-2x+1=(x^3+x)\sqrt{\frac{1-x^2}{x}}$

 

chém câu 3:

xét x=0 không thỏa, chia 2 vế cho x^2, ta có:

$(x+\frac{1}{x})^2+2(x-\frac{1}{x})=(x+\frac{1}{x})\sqrt{x-\frac{1}{x}}$

 đây là đẳng cấp rồi ok

Giải bất phương trình:

${{\log }_{\sqrt{3}}}\frac{x+1}{x-2}\ge 0$ 

tương đương $\left ( \frac{x+1}{x-2} \right )^2\geq 1$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^2=y+1 & & \\ y^2=z+1 & & \\ z^2=x+1 & & \end{matrix}\right.$

xét hàm đặc trưng f(t)=t^2-1 trong 2 trg hop: 1 la cung dog bien, 2 la cung nghich biên suy ra     

 

\begin{matrix}x^2+2y^2-xy-x+3y-1=0 \\ 2x^2+5y^2-xy-2x+8y-1=0\end{matrix}

(2)-3.(1), rút gọn có:

$-(x-y)^2+(x-y)+2=0=>x-y=2,or :x-y=-1$

tới đây rút thế, dễ ròy      

ale hấp!!      

$\sqrt{x^{4}y^{4}-\left ( x^{2}+y^{2} \right )+1}=1-xy$

$\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}=\sqrt{2}$

p/s: k phải dạng vừa đâu      

bất chợt nghĩ ra cách này cũng khá hay      

dk: $\left | x \right |,\left | y \right |\leq 1$ 

đặt x=sint,y=cost  thay vào 2 ptr, ta có:

$(1)=>sin^{2}tcos^{2}t=1-sintcost=>\left | sintcost \right |=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},(*)$

$(2)=>\left | cost \right |+\left | sint \right |=\sqrt{2}=>\left | sintcost \right |=\frac{1}{2},(**)$

từ (*),(**) suy ra hệ vô nghiệm      

 

2, $4^x+3^x=4x+2+log_{4}(5x+2-3^x)$

k biết làm thế này có đúng không nhỉ?      

dk: x>-2/5

xét $f(x)=VT-VP$ , $f'(x)=4^{x}ln4+3^xln3-4-\frac{5-3^xln3}{(5x+2-3^x)ln4}$ với x >-2/5

dễ thấy f"(x)>0 với mọi x>-2/5 =>f'(x)=0 có tối đa 1 nghiệm=> f(x)=0 có tối đa 2 nghiệm

mặt khác, ta nhận thấy f(0)=f(1)=0 suy ra ptrinh đã cho có 2 nghiệm là x=0, x=1

 

 

5,$\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{1+\sqrt{x}}$

 

 

liên hợp vs nghiệm x=1

chi tiết ra cho mọi người cùng tham khảo đi bạn!

xl bạn nhiều, tôi thử đánh giá thôi, vì chưa tìm được biểu thức thích hợp nên t không giải cụ thể được, có thể bài này giải bằng đánh giá      

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} &\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{3y+1}=\sqrt{x}+\sqrt{x+2y} \\ & x^{3}-3x+2=2y^{3}-y^{2} \end{cases}$

dk:....

pt đầu tương đương :

$\frac{x-y-1}{\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{x}}-\frac{x-y-1}{\sqrt{3y+1}+\sqrt{x+2y}}=0 <=>x-y-1=0<=>x=y+1$

thay vào ptr sau giải ra ngay      

làm nốt phần phía sau sau khi liên hợp để tìm nghiệm còn lại:

dk: 

$\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}=x+1<=>x^3-2x-x+1=0$ (1)

đặt x=y+2/3, (1) tương đương 

$y^3-\frac{7}{3}y-\frac{7}{27}=0(2)$

đặt $y=\frac{2\sqrt{7}}{3}cos\alpha$ và chia 2 vế cho $\frac{(\frac{2\sqrt{7}}{3})^3}{4}$ , ta có :

$4cos^3\alpha -3cos\alpha =\frac{\sqrt{7}}{14}=>cos3\alpha =\frac{\sqrt{7}}{14}$

suy ra 3 nghiệm thực là 

$y_{i}=\frac{2\sqrt{7}}{3}cos(\frac{1}{3}arccos\frac{\sqrt{7}}{14}-\frac{2_{i}\pi }{3}),i=0,1,2$

suy ra $x=y_{i}+\frac{2}{3}$ 

thử lại, ta nhận nghiệm:

$x=\frac{2\sqrt{7}}{3}cos(\frac{1}{3}arccos\frac{\sqrt{7}}{14}-\frac{4\pi }{3})+\frac{2}{3}$

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh

 

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\sqrt{\dfrac{a}{2b+2c}}+\sqrt{\dfrac{b}{2c+2a}}+\sqrt{\dfrac{c}{2a+2b}}\ge 3$

thử cách này xem sao       

$a+b+c=3 => b+c=3-a => \frac{a}{b+c}=\frac{a}{3-a}\geq \frac{3}{4}a-\frac{3}{4}$

tương tự với 2 cái b,c , cộng vế theo vế được :$\sum \frac{a}{3-a}\geq \frac{3}{2}$ (1)

$2b+2c=6-2a=>\sqrt{\frac{a}{2b+2c}}=\sqrt{\frac{a}{6-2a}}\geq \frac{3}{8}a+\frac{1}{8}$

tương tự với b,c , cộng vế theo vế có : $\sum \sqrt{\frac{a}{6-2a}}\geq \frac{3}{2}$ (2)

cộng (1) với (2) ta có dpcm