robot3d

Giải hệ PT:

$\left\{\begin{matrix} \frac{2xy}{x+y} +\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}=\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{2} \\ \sqrt[3]{9xy+3x+6y+9}+2\sqrt[3]{6xy+2}=3x+4 \end{matrix}\right.$

p/s: đây là bài trong đề thi HSG lớp 12 môn Toán tỉnh Thanh Hóa

dk: x,y>0 hoặc x,y<0 

$(1)<=>\frac{(x-y)^2}{2(\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy})}=\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}$

<=>x=y (*)

hoặc $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}=x+y,(**)$

xét (**), có : $+ x,y<0=>\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}>0>x+y,(loai)$

                  + x,y>0=> $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}=x+y=> x+y\geq 2\sqrt{xy}=>(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq 0$

DTXR khi và chỉ khi : $\left\{\begin{matrix} & x=y\\ & (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=0 \end{matrix}\right.=>x=y$

   thay x=y vào (2), có :

     

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c+abc=4. Tìm GTNN của P=$\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2-1}$

xét dk a+b+c+abc=4 như trên suy ra a+b+c>=3.

$P\geq \frac{(a+b+c)^2}{3(a+b+c)^2-3}$

tới đây xét hàm là ra      

Giải pt: $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}+4\sqrt{5-x}=12$...(1)

dk:........

ta có:

$VT(1)\leq \frac{x+7}{4}+\frac{3x+5}{4}+9-x=12=VP(1)$

đẳng thức xảy ra khi :

$\begin{cases} & x+3=4 & 3x+1=4; & 5-x=4 \end{cases}=>x=1(n)$

Hì, cảm ơn bạn nhiều. Chỉ cần thêm dấu âm vào chỗ 2x, thế mà mình nghĩ không ra

Bạn ơi mình làm được $f(2x)=f(\sqrt{2y+1})$ như bạn nói với điều kiện $(y-1)\sqrt{2y+1}$ phải nằm bên vế phải, còn như đề chuyển vế thì nó cấn dấu "âm". Không biết mình có nhầm lẫn ở đâu không?

sr bạn nha . f(-2x)=f(căn 2y+1) bạn nha

88: giải hệ : 

 $\begin{cases} & (7x+y-2)\sqrt{xy+9}=3x(x+y)+11x+y+10 \\ & 2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}y-6 \end{cases}$

75) $2\sqrt{-2x^2+5x+7}=x^3-3x^2-x+12$ (1)
 

dk:  $x\epsilon \left [ -1;3,5 \right ]$

(1) tương đương : $6\sqrt{-2x^2+5x+7}=3(x^3-3x^2-x+12)$

ta có $-2x^2+5x+16\geq 6\sqrt{-2x^2+5x+7}=>-2x^2+5x+16\geq 3(x^3-3x^2-x+12)=>(x-2)^2(3x+5)\leq 0$ 

do dk nên 3x+5>0

dtxr khi -2x^2+5x+7=9 và $(x-2)^2=0$=>x=2

thử lại nhận nghiệm.      

đóng góp :

18/ giải hệ :

$(x^2+x)y^2-4y^2+y+1=0$

$x^2y^3+x^2y^2-4y^2+xy+1=0$

19/ giải hệ :

$(x^2+y^2)(x+y+1)=25y+25$

$x^2+xy+2y^2+x-8y=9$

 

\[x^2+y^2\geq 2xy\\ \Rightarrow x^2+y^2+2x^2y^2\geq 2xy+2x^2y^2\\ \Leftrightarrow 4\sqrt{xy}\geq 2xy+2x^2y^2(*)\\ dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x=y\\ (*) 4x=2x^2+2x^4\\ \Leftrightarrow x=0\, \vee\, x=1\] (thử nhiệm).

như vầy phải không?

 

với gtr x,y tìm dc thay vào ptr (2) nếu VT=VP thì nhận nghiệm bạn nha      

Bài này cũng khá đơn giản thôi, nhìn qua hệ ta có thể suy ra từ phương trình $(1)$ để đưa ra mối quan hệ của $x$ và $y$ rồi thế vào hệ $(2)$

ĐKXĐ: $x\geq 0,y\geqslant 0$

Ta có: $\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}\Leftrightarrow \sqrt{x^2-xy+y^2}-y=\sqrt{y}-\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}-xy+y^{2}-y^{2}}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}+y}=\sqrt{y}-\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}+y}=-(\sqrt{x}-\sqrt{y})$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}\sqrt{x}=\sqrt{y} &  & \\ \dfrac{x(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+1=0(*) &  & \end{bmatrix}$

Hệ $(*)$ vô nghiệm vì $x,y$ luôn dương, từ đó suy ra $x=y$ rồi chỉ việc thế vào $(2)$

Công việc đến đây đã nghẹ hơn hẳn 

 

 

đúng là rất dễ dàng cho ta tìm ra mối quan hệ x=y ngay ở ptr đầu. nhưng hãy làm nốt vế sau khi đã thay x=y vào ptr sau, điều quan trọng là đây,1 nghiệm thực và 1 nghiệm vô tỉ. và làm sao để bài giải dc đẹp,gọn. thân       

đóng góp:

3/ giải hệ :
$\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}$
$\sqrt{5x^2+4x}-\sqrt{x^2-3x-18}=5\sqrt{y}$

$\left\{\begin{matrix}(x^{2}+x)\sqrt{x-y+3}=2x^{2}+x+y+1\\(x+1)\sqrt{y^{2}+y+2}+(y-1)\sqrt{x^{2}+x+1}=x+y\end{matrix}\right.$

DK:........

(1) tương đương: 

$(x^2+x)(\sqrt{x-y+3}-2)=y+1-x=>\frac{(x^2+x)(x-y-1)}{\sqrt{x-y+3}+2}=y+1-x =>x=y+1$ và A>0 với mọi x,y

thay vào ptr (2):..........      

cho các số thực k âm x+y+z=1. tìm max, min:

$2\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}$

 

 

 

ĐK: $y \not = 0$

 

(2) $\iff (y+2)(x^2+y^2-1)=0$

 

$\iff y=-2$   v   $x^2+y^2=1$

 

Với $y=-2$ thay vào (1) ta có: 

 

$\iff 4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2+4)$

 

$\iff 4(x^2+1)-4=(\sqrt{x^2+1}=1)(x^2+1+3)$

 

Đặt $\sqrt{x^2+1}=a$

 

$\iff 4a^2-4=(a+1)(a^2+3)$

 

=> ptr vô nghiệm với a>=0

 

 

 

p/s: mình gõ latex nhưng coppy vào k hiện được, bạn nào sữa latex giúp mình với. hóng       

Giải hệ: $\left\{\begin{matrix} 4x^3-3x+(y-1)\sqrt{2y+1}=0\\2x^2+x+\sqrt{-2y^2-y} =0\end{matrix}\right.$

(1) nhân 2=> f(2x)=f(căn (2y+1))