the man

 

 

Câu 7. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca+2abc=1$. Chứng minh rằng 

$$\sum \frac{a(a+1)}{(2a+1)^2} \leqslant \frac{9}{16}$$

 

 

Đặt  $t=a+b+c$

Từ giả thiết $1\leq \frac{t^2}{3}+\frac{2t^3}{27}\rightarrow t\geq \frac{3}{2}$

  $\sum \frac{a(a+1)}{(2a+1)^2}$

  $=\frac{1}{4}\sum \left ( 1-\frac{1}{(2a+1)^2} \right )$

  $=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\sum \frac{1}{(2a+1)^2}$

  $\leq \frac{3}{4}-\frac{1}{4}\sum \frac{1}{(2a+1)(2b+1)}$

Ta đi chứng minh   $\sum \frac{1}{(2a+1)(2b+1)}\geq \frac{3}{4}$  

 Bất đẳng thức này tương đương

   $\frac{2\sum a+3}{8abc+4\sum ab+2\sum a+1}\geq \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{2\sum a+3}{4(1-\sum ab)+4\sum ab+2\sum a+1} \geq \frac{3}{4}$

  $\Leftrightarrow \frac{2t+3}{5+2t}\geq \sum \frac{3}{4}\Leftrightarrow t\geq \frac{3}{2}$ (đúng)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1.5$

Lời giải. Như ta đã biết, theo công thức Legendre, $v_{2}(m!) = m - s_{2}(n)$ với $s_{x}(y)$ là tổng các chữ số của $y$ viết trong cơ số $x$.

Cảm ơn bạn đã nhắc lại, mình quên không để ý tới công thức đó.

Về nguồn thì đây là 1 bài thầy giáo cho bọn mình làm thôi.

Gọi $O_1$, $O_2$ lần lượt là tâm (ABD), (ADC). M là trung điểm cung BC không chứa A
Có $\angle O_1BD=90^{\circ}-\angle BAD=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}=\angle MBC$
Tương tự $\angle O_2CD=\angle MCB$
Suy ra $O_1B, O_2C$ cắt nhau tại M.
Từ đó dễ dàng suy ra $MO_1DO_2$ là hình bình hành
Suy ra $O_1B+O_2C=MB=const$ 

Bài 5:Cho tam giác $ABC$ không đều,có các cạnh $BC=a;CA=b;AB=c$.Gọi các điểm $I$ và $G$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác $ABC$.Chứng minh rằng nếu $IG$ vuông góc với $IC$ thì $6ab=(a+b)(a+b+c)$

Gọi T là giao điểm của GI và BC

Ta có $\Delta ITC$ vuông tại I

Gọi H,K,P lần lượt là hình chiếu của A,G,I xuống BC.

Ta tính được AH, IP, GK, PC theo $a,b,c$

Từ đó dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông ITC ta tính được IT

Ta có IP || GK nên sử dụng định lí Ta-lét ta tính được IG

Mặt khác ta cũng tính được GC, IC theo $a,b,c$

Nên áp dụng định lí Py-ta-go ta có $IG^2+IC^2=GC^2$, thay $a,b,c$ vào rồi biến đổi tương đương ta có điều phải chứng minh.

Cách này anh nghĩ không hay cho lắm tại vì biến đổi phức tạp, chắc phải có lời giải khác hay hơn.       

Bài 3:
1)Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix}y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy-x^{2}y^{2}} & & \\ 8xy^{3}+2y^{3}+1\geq 4x^{2}+2\sqrt{1+(2x-y)^{2}} & & \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix}2y^6+2y^3+4x^2=2\sqrt{xy(1-xy)}\leq 1 & & \\ 8xy^3+2y^3+1\geq 4x^2+2 & & \end{matrix}\right.$

Từ đó ta có:

$(2y^6+2y^3+4x^2)-(8xy^3+2y^3+1) \leq -1-4x^2$

$\leftrightarrow 2(y^3-2x)^2 \leq 0$

Đến đây thì ra rồi nhé.