manutdlong

$\textbf{Viết lại đê bài:}$
Tìm hạng ma trận $A$ theo $x$ với $$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & x & 1 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ x & x & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
$\textbf{Nhận xét bài làm của bạn}$

1) Cần phân biệt hai ma trận bằng nhau (các phần tử ở vị trí tương ứng là bằng nhau) với hai ma trận tương đương hàng (ma trận này là kết quả của ma trân kia qua một phép biến đổi sơ cấp) để viết dấu "bằng" $(=)$ và "dấu mũi tên" $(\to)$ cho chính xác.

2) Phải phân biệt ma trận (là một bảng số) với định thức (là một số) để không viết sai dấu bằng như trong bài làm. Một ma trận không bằng một số.

3) Về phương pháp thì bạn cũng chưa có con đường rõ ràng.

Giữa hạng và định thức của ma trận vuông có quan hệ như sau: "Với ma trận $A$ vuông cấp $n$, nếu $\det A \neq 0$ thì $r(A)=n$, ngược lại nếu $\det A=0$ thì $r(A)<n$"

Như vậy, khi $\det A=0$ ta không thể xác định hạng của ma trận $A$. Phương pháp tính định thức chỉ nên áp dụng để xét tính khả nghịch.

Với bài toán xác định hạng của ma trận (vuông hay không vuông, có hay không có tham số) thì ta sử dụng phương pháp chung là biến dổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận $A$ về ma trận bậc thang.

Tôi xin viết lại lời giải của mình như sau:

Với $x=0$, dễ dàng tìm được $r(A)=4$

Với $x\neq 0$, thực hiện các phép biến đổi $L_2-L_1\to L_2$, $L_3-L_1\to L_3$, $L_4-xL_1\to L_4$ ta có $$A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & x-1 & x-1 & 0 \\ 0 & x-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1-x & 1-x \end{pmatrix}$$Với $x=1$ thì $r(A)=1$

Với $x\neq 0$, $x\neq 1$, thực hiện phép biến đổi $L_3-L_2\to L_3$ có $$A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & x-1 & x-1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-x & 0 \\ 0 & 0 & 1-x & 1-x \end{pmatrix}$$biến đổi $L_4-L_3\to L_3$ ta được $$A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & x-1 & x-1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x-1 \end{pmatrix}$$suy ra $r(A)=4$

Kết luận: với $x=1$ thì r(A)=1, với $x\neq 1$ thì $r(A)=4$
..........................
Ps: Ký hiệu $L_1$ nghĩa là dòng (hàng) 1, tôi viết vậy để đồng nhất với ký hiệu của bạn.

lời cảm ơn tuy muộn nhưng vẫn phải cảm ơn  anh ạ, bài viết thực sự rất chi tiết ạ