Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hieutran2000

Đăng ký: 09-02-2015
Offline Đăng nhập: 10-10-2019 - 13:01
***--

#694925 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia tỉnh Nam Định năm 2017- 2018

Gửi bởi Hieutran2000 trong 16-10-2017 - 18:43

Ngày 1
Bài 1: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 2y^{3}+7y+2x\sqrt{1-x}= 3\sqrt{1-x}+3(2y^{2}+1)
& \\ \sqrt{2y^{2}-4y+3} =5-y+\sqrt{x+4}
&
\end{matrix}\right.$
Bài 2: Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định bởi $x_{1}= 4; x_{n+1}= \frac{x_{n}^{4}+9}{x_{n}^{3}-x_{n}+6} \forall n \in \mathbb{N^{*}}$.
1. Chứng minh rằng $lim x_{n}= +\infty$.
2. Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $y_{n}= \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^{3}+3}$. Tìm $lim y_{n}$.
Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(J)$ qua $B, C$ cắt cạnh $AB$ và $AC$ tại $F$ và $E$ tương ứng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ 2 là $D$.
1. Gọi $P$ và $Q$ là giao điểm thứ 2 của $DE$ và $DF$ với $(O)$. Chứng minh các đường thẳng $PC, BQ$ và $AO$ đồng quy.
2. Giả sử $EF$ cắt $BC$ ở $K$. Gọi $O_{1}, O_{2}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AEF$ và tam giác $KFB$. Chứng minh trực tâm tam giác $O_{1}O_{2}O$ nằm trên $AB$.
Bài 4: Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R^{+}}\rightarrow \mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn:
$f(y)f(x+f(y))= f(x)f(xy), \forall x,y \in \mathbb{R^{+}}$.
Bài 5:
1. Cho đa giác đều $A_{1}A_{2}...A_{2017}$. Có bao nhiêu tam giác nhọn có đỉnh là đỉnh của đa giác trên?
2. Cho $2n+3$ điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kì không thẳng hàng và 4 điểm bất kì không cùng nằm trên một đường tròn.
a. Chứng minh tồn tại đường tròn $(C)$ đi qua 3 trong số các điểm trên sao cho trong các điểm còn lại có $n$ điểm nằm trong và $n$ điểm nằm ngoài đường tròn.
b. Xét $2n$ điểm đã cho và không thuộc đường tròn $(C)$, nối tất cả các đoạn thẳng có đầu mút là 2 trong số các điểm này. Các đoạn thẳng này và đường tròn $(C)$ có thể có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung?


Ngày 2
Bài 1: Xét các số thực $a, b, c \in [0; 1]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P= \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$
Bài 2: Cho dãy đa thức $(P_{n})_{n=0}^{+ \infty }$ được xác định $P_{0}(x)= x$ và
$P_{n+1}(x)= -2xP_{n}(x)+ P_{n}^{'}(x), \forall n \in \mathbb{N^{*}}$
1. Chứng minh $P_{n}^{'}(x)= -2(n+1)P_{n-1}(x)$ với mọi số nguyên dương $n$;
2. Tính $P_{2017}(0)$.
Bài 3: Cho hai điểm cố định $B, C$ trên đường tròn $(O)$. Một điểm $A$ thay đổi trên đường tròn $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ luôn là tam giác nhọn và không cân tại $A$. Đường phân giác trong góc $\widehat{BAC}$ cắt đường thẳng $BC$ tại $D$ và cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $E$. Điểm $F$ nằm trên $BC$ sao cho $FD= FE$.
1. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $EF$. Chứng minh rằng $A, O, H$ thẳng hàng, từ đó suy ra $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định.
2. Một đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với các tia $AB, AC$ và tiếp xúc với đường thằng $EF$ tương ứng tại $M, N, P$ ($I$ và $A$ nằm về cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $EF$). Gọi $Q$ là điểm trên đường thẳng $MN$ sao cho $PQ$ vuông góc với $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $AQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di động trên đường tròn $(O)$.
Bài 4: Cho $a, b$ là hai số thực thỏa mãn $a^{p}- b^{p}$ là số nguyên dương với mỗi số nguyên tố $p$. Chứng minh rằng $a, b$ là các số nguyên.
Bài 5:
1. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho 101 điểm $A_{k}(k;100), k= 0,1,...,100$. Tìm số đoạn thẳng $OA_{k}$ không đi qua điểm nào có tọa độ nguyên (cả hoành độ và tung độ đều nguyên) trừ 2 đầu mút của nó.
2. Cho đa giác lồi có lẻ đỉnh. Mỗi cạnh được tô bởi 1 trong 3 màu: đỏ, xanh, vàng. Giả sử ban đầu các màu được tô cho các cạnh theo chiều kim đồng hồ là đỏ, xanh, đỏ,..., đỏ, xanh, vàng. Mỗi bước có thể đổi màu 1 cạnh sao cho không có 2 cạnh kề nhau (chung đỉnh) được tô cùng màu. Hỏi sau hữu hạn bước có thể nhận được trạng thái mà màu được tô cho các cạnh theo chiều kim đồng hồ là đỏ, xanh, đỏ, xanh,..., đỏ, vàng, xanh hay không?

Hình gửi kèm

  • 20171016_184247-1.jpg
  • 20171017_182046-min.jpg



#683984 C/m: $max (n)\leq [k!e]-1$

Gửi bởi Hieutran2000 trong 10-06-2017 - 22:19

Phân hoạch tập $\left \{ 1,2,...n \right \}$ thành $k$ tập con ( có thể =$\varnothing$) sao cho: trong mỗi tập con không tồn tại 3 số mà có 1 số bằng tổng 2 số còn lại. Chứng minh: $max (n)\leq [k!e]-1$.




#682028 Đề thi Olympic chuyên KHTN 2017

Gửi bởi Hieutran2000 trong 26-05-2017 - 18:38

kết quả lên mạng chưa


Rồi đó bạn: https://drive.google...ew?usp=drivesdk


#680837 Đề thi APMO 2017

Gửi bởi Hieutran2000 trong 15-05-2017 - 23:09

Bài 1: Ta gọi 1 bộ 5 số nguyên $a,b,c,d,e$ là "sắp xếp được" nếu chúng được sắp xếp theo thứ tự nào đó sao cho $a-b+c-d+e=29$. Xác định mọi bộ 2017 số nguyên $n_1, n_2, . . . , n_{2017}$ sao cho nếu sắp xếp chúng trên vòng tròn theo chiều kim đồng hồ thì bất kì bộ 5 số nguyên nào theo thứ tự đó trên vòng tròn đều "sắp xếp được".
Bài 2: Cho tam giác $ABC$ với $AB<AC$. $D$ là giao điểm của đường phân giác trong góc $BAC$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. $Z$ là giao điểm của trung trực $AC$ và đường phân giác ngoài góc $BAC$. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADZ$.
Bài 3: Kí hiệu $A(n)$ là số các dãy các số nguyên dương $a_1\ge a_2\ge\cdots{}\ge a_k$ với $a_1+\cdots{}+a_k = n$ và mỗi số $a_i +1$ là một lũy thừa của 2 $(i = 1,2,\cdots{},k)$. Kí hiệu $B(n)$ là dãy các số nguyên dương $b_1\ge b_2\ge \cdots{}\ge b_m$ mà $b_1+\cdots{}+b_m =n$ và $b_j\ge 2b_{j+1}$ $(j=1,2,\cdots{}, m-1)$. Chứng minh với mọi số nguyên dương $n$ thì $A(n)=B(n)$.
Bài 4: Gọi một số hữu tỉ $r$ là "mạnh" nếu $r$ có thể biểu diễn được dưới dạng $\dfrac{p^k}{q}$ với các số nguyên dương $p,q$ nguyên tố cùng nhau và số nguyên dương $k>1$ nào đó. Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ dương thỏa mãn $abc=1$. Giả sử tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $a^x + b^y + c^z$ là một số nguyên. Chứng minh $a,b,c$ đều "mạnh".
Bài 5: Cho số nguyên dương $n$. Một cặp gồm các bộ $n$ số nguyên $(a_1,\cdots{}, a_n)$ và $(b_1,\cdots{}, b_n)$ được gọi là "cặp tinh tế" nếu $$|a_1b_1+\cdots{}+a_nb_n|\le 1.$$ Xác định số lớn nhất các bộ $n$ số nguyên, khác nhau mà bất kì 2 bộ nào trong chúng cũng tạo thành một "cặp tinh tế".

Nguồn: https://artofproblem...51627_2017_apmo


#678960 $DT$ đi qua điểm Lemoine của tam giác $ABC$.

Gửi bởi Hieutran2000 trong 29-04-2017 - 22:25

Cho tam giác $ABC$. Đường cao $AD,BE,CF$. $I$ là trung điểm $BC$, $T$ là giao điểm của $AI$ và $EF$, Chứng minh $DT$ đi qua điểm Lemoine của tam giác $ABC$.




#674288 đường tròn ngoại tiếp tam giác $I_{1}I_{2}P$ lu...

Gửi bởi Hieutran2000 trong 14-03-2017 - 22:11

Cho tam giác $ABC$ cố định nội tiếp đường tròn $(O)$. Một điểm $P$ bất kì di động trên cung $BC$ không chứa $A$.$I_{1},I_{2}$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $APB,APC$. Chứng minh khi $P$ di động thì đường tròn ngoại tiếp tam giác $I_{1}I_{2}P$ luôn đi qua 1 điểm cố định.


#672970 $\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})...

Gửi bởi Hieutran2000 trong 27-02-2017 - 22:21

Ta chứng minh $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2(a^{2}+c^{2})}{(a+c)^{2}}$

Thật vậy: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2(a^{2}+c^{2})}{(a+c)^{2}} \Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+c)^{2}\geq 2(a^{2}+c^{2})(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+ac+c^{2})\geq (a^{2}+c^{2})(a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow (a^{2}+c^{2}-ab-bc)^{2}\geqslant 0$ (luôn đúng)

Tương tự như vậy ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.




#672916 $P(x)= \prod_{i=1}^{n}(x-a_{i})^...

Gửi bởi Hieutran2000 trong 27-02-2017 - 12:17

Cho $n$ số nguyên $a_{i}$ phân biệt. Chứng minh đa thức $P(x)= \prod_{i=1}^{n}(x-a_{i})^{2^{k}}+1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$ với $k$ là số nguyên dương bất kì.




#672785 $\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})...

Gửi bởi Hieutran2000 trong 25-02-2017 - 22:56

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 

$\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}\geq \frac{2(a^{2}+b^{2})}{(a+b)^{2}}+\frac{2(b^{2}+c^{2})}{(b+c)^{2}}+\frac{2(c^{2}+a^{2})}{(c+a)^{2}}$




#659893 Xác định số tất cả các điểm tốt của tam giác ABC

Gửi bởi Hieutran2000 trong 29-10-2016 - 23:10

Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. Một điểm P nằm trong tam giác được gọi là điểm tốt nếu ta có thể tìm được đúng 27 tia chung gốc P cắt các cạnh của tam giác ABC và chia tam giác này thành 27 tam giác con có diện tích bằng nhau.Xác định số tất cả các điểm tốt của tam giác ABC.

 

Bài này dùng Bài toán chia kẹo Euler




#658977 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA TỈNH NAM ĐỊNH 2016-2017

Gửi bởi Hieutran2000 trong 23-10-2016 - 18:45

Bài 5 câu b có thể dùng bổ đề: Đồ thị $G$ có $n$ đỉnh và $m$ cạnh thì có ít nhất $\frac{4m}{3n}(m-\frac{n^{2}}{4})$ tam giác. (Với $m> \frac{n^{2}}{4}$)

( Câu 5 ngày 2 tham khảo thêm ở đây:

https://ia800203.us....8176-8154-8.pdf , trang 123-124)




#658298 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA TỈNH NAM ĐỊNH 2016-2017

Gửi bởi Hieutran2000 trong 18-10-2016 - 17:29

Ngày 1
Bài 1: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^{3}-y^{3}+3y^{2}+x-4y+2=0 & \\ \sqrt{2x^{2}+x+9}+\sqrt{2y^{2}-5y+4}=2x-y+5. & \end{matrix}\right.$
Bài 2:Cho dãy số {$x_{n}$} được xác định như sau:$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1 & \\ x_{n+1}=1+\frac{n}{x_{n}} & \end{matrix}\right.$
1.Chứng minh rằng:$\sqrt{n}< x_{n}< \sqrt{n}+1 ,\forall n\geq 2.$
2.Với mỗi $n\in \mathbb{N^{*}}$, đặt $y_{n}=\frac{x_{n}}{\sqrt{n}}$.Chứng minh rằng dãy {$y_{n}$} có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 3: Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB< AC$) ngoại tiếp đường tròn $\left ( I \right )$ và nội tiếp đường tròn $\left ( O \right )$. Gọi $P$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$ của đường tròn $\left ( O \right )$; $J$ là điểm đối xứng với $I$ qua $O$. Tiếp tuyến tại $I$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$ cắt $BC$ tại $M$; $H$ là hình chiếu của $M$ trên $OI$. Gọi $D$ là trung điểm cạnh $BC$ và $K$ là giao điểm thứ hai của $ID$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ODH$.
1.Chứng minh rằng tam giác $JPM$ vuông tại $P$.
2.Chứng minh rằng 3 điểm $H$, $A$, $K$ thẳng hàng.
Bài 4: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N^{*}}\rightarrow \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn điều kiện
$(n-1)^{2}< f(n).f(f(n))<n^{2}+n,\forall n \in \mathbb{N^{*}}$.
Bài 5: Cho tập $S$ ={1, 2, 3, 4 ,5} và số nguyên dương $n$.Có bao nhiêu số nguyên dương M thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
a. M có $n$ chữ số được lấy từ $S$;
b.2 chữ số cạnh nhau của M hơn kém nhau nhiều nhất 1?

Ngày 2

Bài 1:Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$.

  Chứng minh rằng: $\frac{(a+\sqrt{b})^{2}}{\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}}+ \frac{(b+\sqrt{c})^{2}}{\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}}+ \frac{(c+\sqrt{a})^{2}}{\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}}}\leq 12$.

Bài 2:Cho 2 đa thức hệ số nguyên $P(x)=a_{n}x^{n}+ a_{n-1}x^{n-1}+ ...+ a_{1}x+ a_{0}$ và $Q(x)=b_{n}x^{n}+ b_{n-1}x^{n-1}+ ...+ b_{1}x+ b_{0}$ thỏa mãn $a_{n}-b_{n}$ là một số nguyên tố và $a_{n-1}=b_{n-1}$. Giả sử 2 đa thức $P(x),Q(x)$ có một nghiệm hữu tỉ chung là $m$ và $m\neq 0$. Chứng minh rằng $m$ là một số nguyên.

Bài 3: Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $\omega$ tâm $O$. Một đường tròn $\omega^{,}$ đi qua $B, C$ cắt các cạnh $AB, AC$ lần lượt ở $E, F$ ($E, F \neq A$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt lại đường tròn $\omega$ tại $K$ ($A \neq K$). $KE, KF$ lần lượt cắt lại đường tròn $\omega$ tại $Q, P$ ($P,Q \neq K$). Gọi $T$ là giao điểm của $BQ$ và $CP$; $M, N$ lần lượt là trung điểm $BF, CE$.

  1. Chứng minh rằng $A, O, T$ thẳng hàng.

  2. Chứng minh rằng $KA$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$.

Bài 4: Tìm tất cả các số nguyên dương $n>1$ có tính chất: nếu $a, b$ là các ước số của $n$ và $(a,b)=1$ thì $a+b-1$ cũng là ước số của $n$.

Bài 5: Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn 1 và $2n$ điểm trong không gian sao cho không có 4 điểm nào trong chúng đồng phẳng. Xét $n^{2}+1$ đoạn thẳng bất kì, mỗi đoạn có 2 đầu mút là 2 trong $2n$ điểm trên. Chứng minh:

  1. Có ít nhất 1 tam giác được tạo thành từ $n^{2}+1$ đoạn trên;

  2. Có ít nhất $n$ tam giác được tạo thành từ $n^{2}+1$ đoạn trên.

File gửi kèm




#658242 C/m: Tâm ($MNH$) nằm trên $OH$.

Gửi bởi Hieutran2000 trong 17-10-2016 - 22:16

Tam giác $ABC$ ($AB,AC>BC$).$O,H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. ($AHC$) cắt $AB$ ở $M$ khác $A$, ($AHB$) cắt $AC$ ở $N$ khác $A$. C/m: Tâm ($MNH$) nằm trên $OH$.




#657364 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BÊN TRE

Gửi bởi Hieutran2000 trong 09-10-2016 - 22:29

đóng góp 1 bài nhé:
cho 2 số dương x,y thỏa mãn đk: x+y=4. Tìm giá trị min của

S= $(1+x+\frac{1}{x})^{3} +(1+y+\frac{1}{y})^{3}$


sử dụng BĐT $4(a^{3}+b^{3})$>=$(a+b)^{3}$ rồi dùng Cauchy-Schwart


#657176 Nghệ An 2016-2017

Gửi bởi Hieutran2000 trong 08-10-2016 - 22:24

Câu 4 ngày 2 là đề TST China 2012: http://artofproblems...h471696p2640838

File gửi kèm