Hieutran2000

Cho k>0 và a,b,c$\in \mathbb{R}$(>0).Chứng minh BĐT:
$(a^{2}+k)(b^{2}+k)(c^{2}+k)\geq \frac{3k^{2}}{4}(a+b+c)^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}-\frac{k^{2}}{2}abc+\frac{k^{3}-k^{2}}{4}$

Trong 53 số nguyên dương bất kì, chứng minh rằng luôn tồn tại 27 số có tổng chia hết cho 27.

Đây

Cho $a,b,c> 0$.Tìm GTNN của: P=$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}+\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$.

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho (n-1)! chia hết cho $n^{2}$

 Mặt khác $x + y$ nhỏ nhất nên $e + y \ge x + y \iff e \ge x$. Từ đó $2ky \ge 2x \iff k \ge \frac{x}{y}$.
$$\implies k = \frac{x^2 + y^2 - 1}{2xy - 1} = \frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - \frac{1}{xy}}{2 - \frac{1}{xy}} \le \frac{k + 1}{2 - \frac{1}{2}} \implies k \le 2$$
Với $k = 2$, pt tương đương $x^2 + y^2 = 4xy - 1$. Pt này vô nghiệm (bài toán cũ)
Với $k = 1$ ta có $x = y$. Xong.

+)x-y=0 thỏa mãn.

+)x-y$\neq$0:

$e\geq x,x\geq y\Rightarrow xy\leq y^{2}+k-1\Rightarrow \left ( x-y \right )\left ( y-\frac{x-y}{2xy-1} \right )\leq 0\Rightarrow y\leq \frac{x-y}{2xy-1}\Rightarrow 2y^{2}\leq 1$(vô lí do $y\in \mathbb{Z}^{+}$)

 

                                  

Cho (O,R) và dây AB cố định (AB<2R).Gọi M là điểm thay đổi thỏa mãn:$\frac{\overline{MA}}{\overline{MA'}}+\frac{\overline{MB}}{\overline{MB'}}=2$ với A',B' là giao của MA và MB với (O).C/m:$S_{AMB}$ ko đổi.

Cho các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $(x^{2}+y^{2}-1)\vdots (2xy-1)$. C/m:x=y.

Giả sử S là tập hợp chứa 2011 điểm trên mặt phẳng, 2 điểm bất kì của S cách nhau ít nhất 1cm.Chứng minh S có chứa tập con T gồm 250 điểm mà 2 điểm bất kì cách nhau ít nhất 1 đoạn bằng $\sqrt{3}$

Cho p là số nguyên tố và a,b,c là các số nguyên sao cho:

                                            $a^{n}+pb=b^{n}+pc=c^{n}+pa$ (n nguyên dương)

Chứng minh:a=b=c

Cho tam giác ABC, M nằm trong tam giác sao cho $\widehat{MAB}= \widehat{MBC}= \widehat{MCA}= \alpha$ . $l_{a},l_{b},l_{c}$,$h_{a},h_{b},h_{c}$ lần lượt là độ dài phân giác và đường cao kẻ từ A,B,C.Chứng minh rằng:

             $\frac{1}{3}(\frac{l_{a}^{2}}{h_{a}^{2}}+\frac{l_{b}^{2}}{h_{b}^{2}}+\frac{l_{c}^{2}}{h_{c}^{2}})\geq 1+\frac{(\sin A+\sin B+\sin C)\cot \alpha }{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\left [ (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \right ]$

 

Cho a,b,c $\geq$ 0 , ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng:
\[{\left( {\frac{{{a^2}}}{{a + c}} + \frac{{{b^2}}}{{a + b}} + \frac{{{c^2}}}{{c + b}}} \right)^2} + \frac{{4abc({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} \ge \frac{9}{4}\]

    Từ đó: Với gt như cũ

 Tìm điều kiện của k để BĐT sau đúng:

 \[{\left( {\frac{{{a^2}}}{{a + c}} + \frac{{{b^2}}}{{a + b}} + \frac{{{c^2}}}{{c + b}}} \right)^2} + \frac{{kabc({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} \ge \frac{3k+6}{8}\]