Bài 5. Hãy cho biết tồn tại hay không đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên sao cho $P(1)=P(2)=P(3)=2015$ và $P(2015)=123$.
Lời giải:
Giả sử rằng tồn tại đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên sao cho $P(1)=P(2)=P(3)=2015$ và $P(2015)=123$. Do $P(1)=2015$ nên đa thức $P(x)-2015$ có nghiệm là $x=1$. Suy ra tồn tại đa thức $Q(x)$ sao cho
\begin{equation}\tag{1} P(x)-2015=(x-1)Q(x).\end{equation}
Do $P(x)$ là đa thức có hệ số nguyên nên ta cũng suy ra đa thức $Q(x)$ cũng có hệ số nguyên. Thế $x=2$ vào hai vế của $(1)$ và sử dụng $P(2)=2015$ ta nhận được $ Q(2)=0 $. Suy ra tồn tại đa thức $R(x)$ sao cho
$$ Q(x)=(x-2)R(x), $$
và ta cũng suy ra rằng đa thức $R(x)$ có hệ số nguyên. Thế vào $(1)$ ta nhận được đẳng thức
\begin{equation}\tag{2} P(x)-2015=(x-1)(x-2)R(x).\end{equation}
Tiếp tục sử dụng $P(3)=2015$ và phân tích tương tự ta khẳng định được rằng tồn tại đa thức $S(x)$ có hệ số nguyên sao cho
\begin{equation}\tag{3} P(x)-2015=(x-1)(x-2)(x-3)S(x).\end{equation}
Thế $x=2015$ vào hai vế của $(3)$ và sử dụng $P(2015)=123$ ta nhận được đẳng thức
\begin{equation}\tag{4} -1892=2013.2014.2015.S(2015). \end{equation}
Đẳng thức này không thể xảy ra vì $S(2015)$ là số nguyên và do đó vế phải của $(4)$ là một bội số nguyên của $3$ trong khi vế trái là $-1892$ không chia hết cho $3$. Như vậy không tồn tại đa thức đáp ứng được các điều kiện đã nêu.