Khongnhogi

Bài 1. \ Tính định thức

$$ D=\left| \begin{matrix} 1&n&n&\ldots &n\cr n&2&n&\ldots & n\cr n&n&3&\ldots &n\cr \vdots &\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr n& n& n&\ldots &n\cr\end{matrix}\right|$$

 

Bài 2. \ 

Cho ma trận vuông $A=\left(\begin{matrix} 2015 & - 2014 \cr 2014 & -2013 \cr\end{matrix}\right)$. Hãy xác định số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại ma trận vuông cấp hai $X$ với các phần tử nguyên  để

$$ X^{2015}+X^n=2A. $$

 

Bài 3. Cho $A$ là ma trận thực cỡ $6\times 2$ và $B$ là ma trận thực cỡ $2\times 6$ sao cho 

$$ AB= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&0&1&4&3\\ 1&2&-3&-1&5&3\\ 2&-1&4&3&0&1\\1&-2&5&3&-3&-1\\ -1&2&-5&-3&3&1\\ 6&0&6&6&6&6\end{array}} \right). $$

Hãy chứng minh rằng 

$$ BA=  \left(\begin{matrix} 10 & 0 \cr 0 & 10 \cr\end{matrix}\right)$$

 

 

 

Bài 4. \ Trên bảng đen ban đầu người ta cho sẵn ma trận $A_0=\left(\begin{matrix} 2 & -1 \cr 1 &0 \cr\end{matrix}\right)$. Sau đó một sinh viên được yêu cầu viết thêm lên bảng $10$ ma trận $A_1, A_2,\ldots , A_{10}$ đều có các phần tử nguyên sao cho $A_kA_0=A_0A_k, A_k^2\ne 0$ với mọi $k=1, 2,\ldots, 10$.

\sn

a)  Hãy chỉ ra rằng sinh viên đó có thể lựa chọn các ma trận theo đúng yêu cầu trên sao cho chúng cũng thỏa mãn đẳng thức:

$$ A_0^2+A_1^2+\ldots+A_{10}^2= \left(\begin{matrix} 125 & -100 \cr 100 & -75 \cr\end{matrix}\right).$$

b) Sinh viên đó có thể lựa chọn được  các ma trận như thế để đẳng thức sau

$$ A_0^2+A_1^2+\ldots+A_{10}^2= \left(\begin{matrix} 115 & -100 \cr 100 & -85 \cr\end{matrix}\right)$$

cũng xảy ra hay không?

 

Bài 5. Hãy cho biết tồn tại hay không đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên sao cho $P(1)=P(2)=P(3)=2015$ và $P(2015)=123$.