HoangVienDuy

Thời gian cho cả 2 ngày thi đều là 180 phút

Ngày 1 ( 23/3/2016 )

 Câu 1.

        a) Giải phương trình $4\sin^2 x\cos x+2\cos 2x=\cos x+\sqrt{3}\sin 3x$

        b) Giải hệ $\left\{\begin{matrix} (x+y)\left ( 1+\dfrac{1}{xy} \right )=5\\ (x^2+y^2)\left ( 1+\dfrac{1}{x^2y^2} \right )=9 \end{matrix}\right. \ \ \ \ (x,y\in \mathbb{R})$

 Câu 2.

        a) Tìm giới hạn $\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{\sqrt[3]{1+3x}-\sqrt{1+2x}}{x^2}$

        b) Tìm $\lim \dfrac{u_n}{3^n}$ biết $(u_n)$ được xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_1=1\\ u_{n+1}=3u_n+2n-1,n\geq 1\end{matrix}\right.$  

 Câu 3.

        Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Trên $AC$ lấy $M$ sao cho $MA=3MC$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua M và song song $mp(A'BC)$, cắt $AC'$ tại $N$

        a) Xác định thiết diện của hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ khi cắt bởi $(\alpha )$

        b) Chứng minh $N$ trung điểm $AC'$

 Câu 4.

        Cho đa giác đều gồm 2017 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác gồm 2 màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng ắt phải tồn tại 3 đỉnh được sơn cùng màu tạo thành một tam giác cân

 Câu 5.

        Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn đồng thời các điều kiện :

        i) $(x+2)(y+2)=3(x^2+y^2+\sqrt{xy})$

                  Chứng minh rằng $\sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 

 ----------------------------------------------

 Ngày 2 ( 24/3/2016 )

 Câu 1. 

        a) Giải phương trình $(1-\sqrt{1-x})\sqrt[3]{2-x}=x$ với $x\in \mathbb{R}$

        b) Chứng minh rằng phương trình $p(x-a)(x-c)+q(x-b)(x-d)=0)$ (ẩn $x$) luôn có nghiệm, biết $a<b<c<d$ và $p,q$ là hai số thực bất kì

 Câu 2.

        Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_1=5\\ u_{n+1}=(u_n-2)^2,\forall n\geq 1\end{matrix}\right.$. Tìm $\lim \dfrac{u_1u_2...u_n}{u_{n+1}}$

 Câu 3.

        Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, ngoại tiếp $(I)$. Gọi $(J)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$; $IJ$ cắt $O$ tại $M$ khác $A$. Gọi $N$ là điểm chính giữa cung $ABM$; $NI$ và $NJ$ cắt $(O)$ tại $S$ và $T$.

        a) Chứng minh $MI=MJ$

        b) Chứng minh $IJ,\ BC,\ TS$ đồng quy

 Câu 4.

        Xác định số cách chọn bộ 100 số từ tập hợp 2016 số nguyên dương đầu tiên sao cho bất kì cặp 2 trong 100 số được chọn có hiệu số giữa số lớn và số bé lớn hơn hoặc bằng 2.

 Câu 5. 

        Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $2^{2n-1}-2^n+1$ là số chính phương

__________________HẾT______________________

Câu hình năm nay cũng đỡ nhỉ, cái ý tưởng câu b cũng chính là để chứng minh cho câu b của bọn anh, khi chiều chứng minh nội tiếp xong không biết lamg chi nên bỏ

Câu a cộng góc đơn giản, ở đây có thể chú ý $J$ chính là tâm đường tròn bàn tiếp góc $A$ của $\Delta ABC$

Câu b thì lại cộng số đo cung là ra, áp dụng mấy cái cung có đỉnh nằm bên trong đường tròn là OK

 Câu bất khắm thế

 Cho các số thực dương $a,b,c$ có tích $abc=1$. Chứng minh rằng :

$$\left ( \dfrac{a^4}{b^2}+\dfrac{b^4}{c^2}+\dfrac{c^4}{a^2}\right )^5\geq 27\left ( \dfrac{a^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{a^3}\right )^2$$

 Đại khái là ta có một bổ đề như sau 

 Cho các số thực dương $a,b,c$, khi đó $(a^2+b^2+c^2)^5\geq 27(a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2)^2$

 Áp dụng bổ đề trên ta có $\left ( \dfrac{a^4}{b^2}+\dfrac{b^4}{c^2}+\dfrac{c^4}{a^2}\right )^5\geq 27\left ( \dfrac{a^6b}{c^2}+\dfrac{c^6a}{b^2}+\dfrac{b^6c}{a^2}\right )^2=27\left ( \dfrac{a^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{a^3}\right )^2$

 Vậy ta có điều cần chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

 Câu 1. Bình phương 2 vế ta được

$2\sum a^2+2\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\leq 1+\sum a^2+2\sum a+2\sum ab$

$\Leftrightarrow \sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\leq \sum a+\sum ab$

 Mặt khác thì $(a^2+b^2)(b^2+c^2)=b^2(a^2+b^2+c^2)+c^2a^2=b^2+c^2a^2\leq (b+ca)^2$ nên dễ dàng suy ra điều cần chứng minh

 Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)$ là một hoán vị of $(0,0,1)$

 HVD

Anh có thể giải thích tại sao có chỗ tách được không ạ?

 Ở đó chẳng qua là tách ghép để triệt tiêu ẩn $y$ thôi em

 Nếu đọc qua về đạo hàm rồi thì em có thể dùng hàm nhân tử để tìm dấu "=", khi đó sẽ dễ dàng hơn trong việc thấu hiểu

Bài toán:Cho các số $a,b,c$ thỏa $1 \leq a,b,c \leq 2$.Chứng minh $a^2+b^2+c^2 \leq 3abc$

----

P/s:Mình không chắc lắm về đề. Nếu ai làm được mà có sai đề thì sửa lại giùm mình 

 Đặt $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-3abc$, việc của ta là chỉ cân chứng minh $f(a,b,c)\leq f(a,b,1)\leq f(a,1,1)\leq 0$

 Thật vậy :

    $f(a,b,c)\leq f(a,b,1)\Leftrightarrow (c-1)(c+1-3ab)\leq 0$ đúng do $2ab\geq 2\geq c$ và $ab\geq 1$

    $f(a,b,1)\leq f(a,1,1)\Leftrightarrow (b-1)(b+1-3a)\leq 0$ đúng do $2a\geq 2\geq b$ và $a\geq 1$

    $f(a,1,1)\leq 0\Leftrightarrow (a-1)(a-2)\leq 0$

 Dấu "=" khi $(a,b,c)=(1,1,1)$ hoặc là hoán vị của bộ $(1,1,2)$

 HVD

Cách khác hay hơn

Ta có: $PT\Leftrightarrow \left [ (x+5)-\frac{5x}{x+5} \right ]^{2}=36$

$\Leftrightarrow x+5=\frac{5x}{x+5}\pm 6$

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2 +y^2} + \sqrt{2xy}= 8 \sqrt {2} & & \\ \sqrt{x} + \sqrt{y}= 4 & & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+2\sqrt{xy}=16 & & \\ x+y+2\sqrt{xy}=16 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{2(x^{2}+y^{2})}=x+y & & \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}=0 & & \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=4$

cách giải tương tự : http://diendantoanho...ị-a-x2yy2x2xy1/

$P=(\sum a^{2})^{2}-2\sum a^{2}b^{2}+3\sum ab= 9+\frac{27}{8}-\frac{1}{2}\sum\left ( ab-\frac{3}{4} \right ) ^{2}$$\Rightarrow P\leq \frac{99}{8}$

dấu bằng xảy ra lúc nào???

$P^{2}=\sum \frac{x^{2}y^{2}}{z^{2}}+2\left ( \sum x^{2} \right )\geq 3\sum x^{2}=6036\Rightarrow P\geq \sqrt{6036}$

Áp dụng AM-GM:

$P=\sum \frac{a^{2}}{b+c}+\sum \frac{b}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}+\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$

1. dễ thấy x=0 không là nghiêm của phương trình. ta có : $(x-\frac{1}{x}-1)(3x-\frac{3}{x}+1)=4\Leftrightarrow (t-1)(3t+1)=4...$

2. Áp dụng AM-GM 4 số ta có: $4x^{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\geq 4\sqrt[4]{\frac{x^{2}}{16}}=2\sqrt{x}$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=1/4

trang LTTK xấu quá. cắt hết những phần liên quan đến vmf(cả phần tác giả)

$\sqrt{x^{2}+15}-4=3\left [ \sqrt[3]{x^{2}}-1 \right ]+\left ( \sqrt{x^{2}+8}-3 \right )\Leftrightarrow (x^{2}-1)\left [ \frac{1}{\sqrt{x^{2}+15}+4}-\frac{3}{x\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^{2}}+1}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+18}+3} \right ]=0$

dễ dàng c/m đc trong ngoặc vuông vô nghiệm. suy ra x=+-1