Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Emyeutiengviet

Đăng ký: 13-02-2015
Offline Đăng nhập: 14-02-2016 - 23:23
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: TOPIC ôn luyện VMO 2016

19-12-2015 - 22:05

Bài 11 (Dãy số) : Cho dãy số nguyên $a_{n}$ $n\epsilon N$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix}a_{o}=1 & \\ a_{n}=a_{n-1}+a_{[\frac{n}{3}]} & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p\leq 13$ tồn tại vô số số k nguyên dương thỏa mãn $a_{k}$ chia hết cho p

 

Mình sẽ chứng mình cho TH $p=13$. Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự:

Chứng minh phản chứng. Giả sử dãy đã cho có hữu hạn số nguyên dương chia hết cho 13 và giả sử $k$ là chỉ số lớn nhất sao cho $13 \mid a_k$ 

Từ giả thiết ta suy ra:

$\left\{\begin{matrix} a_3k=a_{3k-1} +a_k & \\ a_{3k+1}=a_3k +a_k & \\ a_{3k+2} =a_{3k+1} +a_k \end{matrix}\right.$

Suy ra $ a_{3k+2} \equiv a_{3k+1} \equiv a_{3k} \equiv a_{3k-1} \equiv b (mod 13)$ .

Và $ b \in \mathbb{Z}$ ; $(b,13)=1$

Ta có hệ với 13 phương trình như sau:

$\left\{\begin{matrix} a_{9k-4} =a_{9k -4} & \\ a_{9k-3} =a_{9k-4} +a_{3k-1} & \\ a_{9k-2}=a_{9k-3} +a_{3k-1} & \\ a_{9k-1} =a_{9k-2} +a_{3k-1} & \\ a_{9k} =a_{9k -1} +a_3k & \\ a_{9k+1}=a_{9k} +a_3k & \\ a_{9k+2}=a_{9k+1} +a_3k & \\ a_{9k+3} =a_{9k+2} +a_{3k+1} & \\ a_{9k+4} =a_{9k +3} +a_{3k+1} & \\ a_{9k+5} =a_{9k+4} +a_{3k+1} & \\ a_{9k+6}=a_{9k+5 }+a_{3k+2} & \\ a_{9k+7} =a_{9k+6} +a_{3k+2} & \\a_{9k+8} = a_{9k+7} +a_{3k+2} & \end{matrix}\right.$

 

Suy ra $\left\{\begin{matrix} a_{9k-4} \equiv a_{9k -4} +0.b (mod 13) & \\ a_{9k-3} \equiv a_{9k-4} +1.b (mod 13) & \\ a_{9k-2} \equiv a_{9k-4} +2.b (mod 13) & \\ a_{9k-1} \equiv a_{9k-4} + 3.b(mod 13) & \\ ............. & \\a_{9k+8} \equiv a_{9k-4} +12.b (mod 13) & \end{matrix}\right.$

Vì $(b,13) =1$ nên tập hợp A $ = \{a_{9k-4} +i.b \mid \forall i \in \{0,1,...,12\} \}$ là 1 HTDĐĐ mod 13.

Suy ra trong tập trên sẽ tồn tại 1 số chia hết cho 13 và số này lớn hơn $a_k$ $\rightarrow$ Mâu thuẫn. (ĐPCM) 


Trong chủ đề: TOPIC ôn luyện VMO 2016

14-12-2015 - 18:24

$g(x+1)=g(x)$ sao suy ra $g(x) \equiv C$

$g(x+1)=g(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ mà bạn. Hay là mình nhầm?


Trong chủ đề: TOPIC ôn luyện VMO 2016

29-11-2015 - 19:08

Bài 7(Phương trình hàm).

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: 

$xf\left (y \right )+f\left (xf\left (y \right ) \right )-xf\left (f\left (y \right ) \right )-f\left (xy \right )=2x+f\left (y \right )-f\left (x+y \right )$

$P(1,x) : f(x+1) = f(x)+2. (1)$

Đặt $g(x) = f(x) - 2x$ Từ (1) suy ra $g(x+1) = g(x) \forall x \in \mathbb{R}$. Suy ra $g(x) \equiv C \forall x \in \mathbb{R}.$

Như vậy $\boxed{f(x) = 2x +C}  \forall x \in \mathbb{R} $ với $C$ là hằng số tùy ý.


Trong chủ đề: Tuần 4 tháng 11/2015

17-11-2015 - 19:06

Lời giải của mình:

 

Gọi $AW$ là đường kính của $(O)$

       $H$ là trung điểm $QN$

       $R = PQ \cap d$

       $I = MO \cap PN. \Longrightarrow \angle MIN = 90^{o}$

Kẻ $AT (T \in (O))$ sao cho $AT \parallel d$. Suy ra $T$ cố định.

Ta có tứ giác $HMIN$ nội tiếp nên $\angle RMN = \angle HMN =\angle HIN =\angle RPN$ (do $HI$ là đường trung bình của tam giác $QPN$)

Suy ra tứ giác $RMPN$ nội tiếp nên $\angle MRN =180^{o} -\angle MPN =\angle ATN$ do tứ giác $ATNP$ nội tiếp.

Và như thế $R,T,N$ thẳng hàng.

Gọi $L$ là giao điểm của $WT$ và $PQ$ thì $L$ chính là điểm đối xứng của $T$ qua $d$ vì $TW \parallel QN$ do cùng vuông góc với $d$ nên $L$ cố định. DPCM


Trong chủ đề: Tuần 3 tháng 11/2015

09-11-2015 - 23:52

Lời giải của mình: 

 

Gọi $R$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa A của (O).

$H$ là hình chiếu của $I$ lên $AB$. 

$D=AI \cap BC.$

$W = LP \cap AI$. Suy ra $W$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ của $\triangle ABC.$ Suy ra tứ giác $BICW$nội tiếp.

Ta có :

$\frac {PB}{PW} =\frac {PB}{PC} .\frac {PC}{PW} =cot \angle PBC . tan \angle BWC =tan \angle B/2 . tan(90^{o} - A/2) = tan \angle B/2 . cot \angle A/2 = \frac {HI}{HB} .\frac {AH}{HI}=\frac {b+c-a}{a+c-b}$

$\frac {RW}{RD} =\frac {RB}{RD}=\frac {b+c}{a}$

Áp dụng định lý Menelaus cho $\triangle ABD$ với $\overline{M,I,N}$

 

$\frac {ND}{NB} = \frac {MA}{MB} .\frac {ID}{IA}= \frac {p-b}{p-a} .\frac {a}{b+c}=\frac {a(a+c-b)}{(b+c-a)(b+c)}$

Suy ra $ \frac {PB}{PW}. \frac {RW}{RD}.\frac {ND}{NB} =1$. Suy ra $P,R,N$ thẳng hàng. ĐPCM.