Platon

$(a+b+c)(\sum \frac{a}{b})\geq 9$

Let: a,b,c>0, $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$

a,b,c>0.

Hết.

Theo mình chương trình trung học phổ thông nên xài những bất đẳng thức quen thuộc 

Ta có:$(a+b)^{2}\leq 2(a^{2}+b^{2})$ =>$\frac{(a+b)^{2}}{2}\leq a^{2}+b^{2}$

Áp dụng bất đẳng thức này: Ta có: $a^{2}+(1-b)^{2}\geq \frac{(a+1-b)^{2}}{2}$

=>$\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}\geq \frac{a+1-b}{\sqrt{2}}$

Tương tự cộng lại :$\sum \sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}\doteq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\sum \sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

a,b,c>0

$\frac{ab}{c+2}+\frac{bc}{a+2}+\frac{ac}{b+2}\leq \frac{1}{2}$

a+b+c=2

a,b,c>=0

( Không sử dụng phép biến đổi tương đương ).

$y=\frac{x^{2}+4x-2}{x^{2}+3}$

<=>$(1-y)x^{2}+4x-(2+3y)=0$

Xét trường hợp y=0 

Xét trường hợp y khác 0;

Delta=4+(1-y)(2+3y)

Delta$\geq 0$

<=>$-3y^{2}+y+6\geq 0$

<=>$\frac{1-\sqrt{73}}{6}\leq y\leq \frac{1+\sqrt{73}}{6}$

Cho: a,b,c>0

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=1$

$\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{1-a^{2}}}> 2$

Cho a, b, c > 0 và $\sum ab=3$. Chứng minh $\frac{a}{2a^{2}+bc}+\frac{b}{2b^{2}+ca}+\frac{c}{2c^{2}+ab}\geq abc$