yeudiendanlamlam

$\Leftrightarrow (x^2-x+1)+15(x+1)=8\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}$

cho mình hỏi làm sao bạn biết tách như thế này thế?

 

+y=0 không phải ngiệm của hệ 

+y #0

chia hai vế hai pt cho $y^2$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{6x^2}{y^2}-(x+\frac{1}{y})=0\\ \frac{5x^2}{y^2}-(x+\frac{1}{y})^2-2\frac{x}{y}=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{6x^2}{y^2}=(x+\frac{1}{y})\\ \frac{5x^2}{y^2}-\frac{6x^4}{y^4}-2\frac{x}{y}=0 \end{matrix}\right.$

đến đây đặt $\frac{x}{y}=t$ 

 

cho mình hỏi làm sao bạn biết cách chia hai vế hai pt cho $y^2$ thế. Có phương pháp nào không?   

1) Gọi $G,I$ là giao điểm của $HF,HE$ với đường thẳng qua $A$ song song $BC$

 Vì $A,E,D,H,F$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AD$ nên tứ giác $EFHD$ nội tiếp 

 Ta có: $HA$ là phân giác của $\widehat{FHE}$ và $HA$ vuông $GI$ 

$\Rightarrow \Delta HGI$ cân tại $H$ .Suy ra $AG=AI$

 Đến đây sử dụng $Thales$ và $Ceva$ để chứng minh $AH,BE,CF$ đồng qui

2) Ta có $EFBC.AK$ là tứ giác toàn phần .Nên $(KHBC)=-1$

3)Ta có $AN$ là đường đẳng giác trong góc $A$ ( đối xứng với $AH$ qua $AD$ )

$\Rightarrow \frac{HB.NB}{HC.NC}=\frac{BH}{NC}.\frac{NB}{HC}=\frac{[ABH]}{[ANC]}.\frac{[ABN]}{[AHC]}=\frac{AB.AH}{AN.AC}.\frac{AB.AN}{AH.AC}=(\frac{AB}{AC})^{2}< 1$

bạn giải ra cho mình chỗ này được không ,mình chưa tìm ra

$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} \geq \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2(b^{2}+c^{2})} \Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} \geq $$2(\sum a^{2})(\frac{9}{5\sum a^{2}})-3$$=\frac{3}{5}$

mình chưa hiểu làm sao suy ra được điều này

 Sử dụng AM-GM : $\sum \frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}$

 Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có :

  $\sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}+$$\sum \frac{a^2/25}{a^2}$$\geq \sum \frac{36a^2/25}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{36}{50}$

  $\Rightarrow \sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}\geq \frac{36}{50}-\frac{3}{25}=\frac{3}{5}$

cho mình hỏi làm sao bạn biết thêm phần tử phụ này vào vậy