yeudiendanlamlam

Cho $\Delta ABC$ có chu vi bằng $2$. Chứng minh $a^2+b^2+c^2+2abc< 2$

Cho $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác.Chứng minh $\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b+c)}\geq \frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$

Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}1\leq a,b,c\leq 3 & \\ a+b+c=6 & \end{matrix}\right.$.Chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2\leq 14$

Chứng minh rằng $2^2+4^2+6^2+...+(2n)^2=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$ với $n\in \mathbb{Z},n\geq 1$

Cho đa thức $P(n)=a^n+bn+c$ trong đó $a,b,c$ là những số nguyên.CMR với $n$ nguyên dương bất kỳ sao cho $P(n)\vdots m$ thì $b^2\vdots m$

Chứng minh với $a,b,c$ không âm thì $abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)$

Ta có:

$P\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2(a^3+b^3+c^3)}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2}\geq \frac{(\sqrt{ab})^3+(\sqrt{bc})^3+(\sqrt{ca})^3}{2}=\frac{1}{2}$

Giải thích thêm dùm mình tại sao lại có $\frac{a^3+b^3+c^3}{2}\geq \frac{(\sqrt{ab})^3+(\sqrt{bc})^3+(\sqrt{ca})^3}{2}$

(1) $\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{3}-3\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=1-3m \end{matrix}\right.$ (pt dưới nhận thấy $x\sqrt{x}=(\sqrt{x})^{3}$ và $y\sqrt{y}=(\sqrt{y})^{3}$)

Đặt $\left\{\begin{matrix} S=\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq 0 \\ P=\sqrt{xy}\geq 0 \end{matrix}\right.$ với $S^{2}\geq 4P$, hệ phương trình trên trở thành: $\left\{\begin{matrix} S=1 \\ S^{3}-3PS=1-3m \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S=1 \\ P=m \end{matrix}\right.$

Đến đây, theo điều kiện $S^{2}\geq 4P$ khi đặt $S$ và $P$, hệ phương trình có nghiệm khi $m\leq \frac{1}{4}$

Tiếp tục giải: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \\ \sqrt{xy}=m \end{matrix}\right.$ với $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là nghiệm của phương trình $X^{2}-X+m=0$ (theo định lý Viét đảo).

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2} \\ \sqrt{y}=\frac{1-\sqrt{1-4m}}{2} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=\frac{1-\sqrt{1-4m}}{2} \\ \sqrt{y}=\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2} \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$ (giải bằng công thức nghiệm, tham số m).

Đến đây thì ta lại có phương trình có nghiệm khi $\left\{\begin{matrix} \frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}\geq 0;\forall m\in R \\ \frac{1-\sqrt{1-4m}}{2}\geq 0 \end{matrix}\right.$

 

Cái trên là luôn đúng nên ta chỉ cần giải cái dưới ra được $m$, kết hợp với $m$ ở điều kiện $S^{2}\geq4P$ là sẽ ra điều kiện có nghiệm của hệ.

cám ơn bạn nhiều lắm