viet nam in my heart

Em nhận xét dưới góc độ một người đã thi thật trong 90 phút. (Mã đề 102 bên trên)

• Đề thi vẫn còn một số lỗi (Tính giới hạn của một biểu thức nhưng không biết n là gì và tiến tới đâu)
• Có câu hỏi bắt học sinh phải ngộ nhận kiến thức. Cụ thể câu 27 với cách biểu diễn biểu thức $aln3+bln5+cln7$ và $a,b,c$ là số hữu tỷ thì phải biết được cách biểu diễn đó có duy nhất hay không. Sẽ chẳng có vấn đề gì nếu đề bài chỉ hỏi tính tích phân đó (Có lẽ người ra đề biết một số học sinh sẽ dùng mánh khoé bấm trực tiếp và thử đáp án nên mới đổi cách hỏi). Ở một mã đề khác ta lại phải dùng kết quả $e$ là số siêu việt
• Đề thi không phù hợp với khoảng thời gian 90 phút
• Chỉ sau 20 câu nhưng đề thi đã có những câu khó mất thời gian Ví dụ như câu 26 học sinh đã phải dùng kiến thức về Bất Đẳng thức chẳng kém gì câu 41 hay 37 phần  vận dụng cao
• Những câu hỏi không phù hợp với kỳ thi trắc nghiệm. Nói là không phù hợp với kỳ thi trắc nghiệm vì nó đòi hỏi thời gian làm khá lâu vừa biến đổi tay vừa bấm máy tính. Vậy thì làm sao học sinh có đủ thời gian làm bài mà vừa làm vừa phải lo xem mình có biến đổi sai gì không. Chưa nói đến không có thời gian để kiểm tra xem mình có tô nhầm hay làm nhầm những câu hỏi dễ phần bên trên hay không
• Điển hình câu số phức số 45 với ý tưởng giống hệt với câu 34 trong đề minh hoạ lần 2 của Bộ năm 2017 nhưng cho dưới dạng vừa xấu vừa phức tạp về biến đổi tay. Kể cả biết ý tưởng thì cũng đã phải mất 10 phút vừa làm vừa kiểm tra biến đổi vừa tính. Câu 47 về đồ thị thì quá phức tạp vừa làm lại phải kết hợp đoán và xem đáp án
• Câu số 40 hỏi về phương trình vi phân, mặc dù đã xuất hiện ở nhiều đề thi thử của các trường hay đề minh hoạ của bộ nhưng có lẽ cũng không nên đưa vào đề thi thật 

Tổng kết:

• Theo em thì đề thi còn lỗi, quá dài, phân bố số lượng các phần cũng không hợp lý. Số câu hỏi phần vận dụng và vận dụng cao nhiều dẫn đến việc có những bài về cùng một chủ đề. Thực sự thì bộ cần phải cân đối được thời gian và cho học sinh thời gian để kiểm tra lại bài chứ mặc dù rất cần thận nhưng em vẫn làm sai những câu hỏi ở mức độ dễ
• Bên cạnh đó đề thi đã khắc phục được một số những câu hỏi mà chỉ cần bấm máy tính nhưng một số khác thì vẫn còn có thể dùng mẹo. 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ cố định với $B, C$ cố định và $A$ di chuyển trên $(O)$. $E,F$ lần lượt đối xứng $B,C$ qua $CA,AB$. $M$ là trung điểm $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $AM$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di chuyển.

 

Screen Shot 2017-11-19 at 10.06.47 PM.png

 geogebra-export.png   18.58K   77 Số lần tải

Kẻ đường cao $BX,CY$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.

Do $\widehat{EAB}=\widehat{FAC}$ nên $2$ đường đẳng giác trong góc $\widehat{EAF}$ cũng đẳng giác góc $\widehat{BAC}$.

Ta sẽ chứng minh đường đối trung góc $A$ của tam giác $EAF$ đi qua giao điểm $2$ tiếp tuyến tại $B,C$ của $(HBC)$ cố định

Nghịch đảo cực $A$ phương tích $\overline{AX}.\overline{AC}$ ta thu được bài toán sau: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và điểm $I$ trên phân giác góc $A$. Giả sử $(IAB),(IAC)$ lần lượt cắt lại $AC,AB$ tại điểm thứ hai lần lượt là $X,Y$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $I$ và trung điểm của $XY$ đi qua giao điểm $2$ tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$

 2.png   39.13K   74 Số lần tải]

Giả sử $(IAB),(IAC)$ cắt lại $BC$ tại $R,S$. Gọi $M,N,K$ lần lượt là trung điểm của $BC,XY,RS$

Gọi $O'$ là tâm của $(AXY)$. $U,V$ là điểm chính giữa cung $BC$ chứa $A$ và không chứa $A$ của $(O)$

Giả sử $NI$ cắt trung trực của $BC$ tại $T$. Ta chứng minh $T$ là giao điểm $2$ tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$

Ta có: $\widehat{IRS}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\widehat{ISR} \Rightarrow IR=IS $

$O'B^2-O'C^2=BS.BC-CR.CB=BC(BS-CR)=(BK+CK)(BK-CK)=KB^2-KC^2$

Suy ra $O'K \perp BC$ hay $O'I \perp BC$.

Ta có: $O'O \perp AV, AV \perp AU$ nên $O'O \parallel UI$. Và $O'I \parallel OU( \perp BC)$ nên $O'OUI$ là hình bình hành

Dễ có: $BY=CX$ nên $V \in (O') \Rightarrow \triangle VYX \sim \triangle VBC$

Áp dụng định lý $Thales$ ta có: $\dfrac{VO}{VT}=\dfrac{O'I}{VT}=\dfrac{NO'}{NV}=\dfrac{MO}{MV}$

Suy ra $\dfrac{OV}{OT}=\dfrac{OM}{OV}$ hay $OM.OT=OV^2$. Suy ra $T$ là giao điểm $2$ tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$

Trở lại bài toán: $AM$ cắt trung trực $BC$ tại $X$. Gọi $Y$ là giao điểm $2$ tiếp tuyến tại $B,C$ của $(BHC)$

Do $AX,AY$ đẳng giác trong góc $A$ nên $\overline{OX}.\overline{OY}=R^2=const$ và $Y$ cố định nên $X$ cố định

Tóm lại $AM$ đi qua điểm $Y$ cố định

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường $(O)$ đường kính $AD$. $E,F$ thuộc $(O)$ sao cho $EF \parallel BC$. $AE$ cắt $DB,DC$ tại $M,N$. $AF$ cắt $DB,DC$ tại $P,Q$. Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm các tam giác $DMN$ và $DPQ$. $AH,AK$ cắt $BC$ tại $U,V$. Chứng minh rằng $BU=CV$.

 b2.png   191.06K   95 Số lần tải

Gọi $I,J$ là hình chiếu của $M,Q$ trên $BC$. Gọi $S$ là trung điểm của $BC$

Ta có:$ \triangle ABM \backsim ACQ$; $\triangle BIM \backsim \triangle ACD$; $\triangle CJQ \backsim \triangle ABD$

Từ đó dễ dàng có :$BI=CJ$. Do đó $S$ là trung điểm của $IJ$. Suy ra trung điểm $MQ$ nằm trên trung trực của $BC$

Mà trung điểm của $AD$ cũng nằm trên trung trực của $BC$ nên đường thẳng $Gauss$ của tứ giác toàn phần $MPQN.AD$ là trung trực của $BC$

Mặt khác đường thẳng $Gauss$ vuông góc với đường thẳng $Steiner$ nên $HK \parallel BC$

Gọi $X,Y$ lần lượt là giao điểm của $HK$ và $AB,AC$

Khi đó $X,Y$ lần lượt là trực tâm của tam giác $AMP$ và tam giác $ANQ$( Do chúng đã nằm trên $1$ đường cao và theo trên chúng nằm trên đường thẳng $Steiner$ của tứ giác toàn phần)

Do vậy để chứng minh yêu cầu bài toán thì ta chỉ cần chứng minh $XH=YK$ hay $XY$ và $HK$ có cùng trung điểm

Mặt khác do :$\widehat{NMP}= \widehat{AMB}=\widehat{AQC}$ nên $MPQN$ là tứ giác nội tiếp.

Khi đó tính chất trên là tính chất nổi tiếng trong đường thẳng $Steiner$ của tứ giác nội tiếp (có thể chỉ ra trung điểm của chúng là điểm đối xứng của tâm đường tròn ngoại tiếp qua trọng tâm)

Ta có: $ \triangle PXK \backsim PAD$ và $ \triangle HNY \backsim DNA$ và kết hợp biến đổi tỷ số ta cũng có $XK=YH$

Chứng minh rằng trong $n$ ($n\geq 2$) số nguyên dương liên tiếp, tồn tại một số nguyên tố cùng nhau với $n-1$ số còn lại.

Vấn đề này được đề cập trong phần đầu ở cuốn sách nổi tiếng của Sierpinski(https://diendantoanh...bản-tiếng-việt/  Trang 5) và mình cũng từng đăng lên diễn đàn. Số lớn nhất thỏa mãn tính chất trên là $16$ còn lại nếu $n \geq 17$ thì đều tìm được phản ví dụ.

Mới đây mình tìm được các links sau mọi người tham khảo:https://projectpen.f...a9-a37-o511.pdf

https://artofproblem...ity/c146h150894

c) Áp dụng định lí $Ptolemy$ cho tứ giác $ABEC$ có: $AB.CE+AC.BD=AE.BC \iff AB(CE+1)=AE\\ \iff CD+1=\dfrac{AE}{AB}=2\dfrac{CF}{CD}$

Do đó: $CF=\dfrac{CD(CD+1)}{2}$

Mà: $EF$ là phân giác $\widehat{BEC} \implies \dfrac{CF}{FB}=\dfrac{CE}{EB}=CE=CD$

Thay vào hệ thức: $CD+1=2FB \implies FB=\dfrac{CD+1}{2}$

Giải phương trình: $\dfrac{CD(CD+1)}{2}+\dfrac{CD+1}{2}=1 \iff CD=\sqrt{2}-1$

 a.png   44.68K   79 Số lần tải

Phần $c$ có thể giải như sau độc lập với hai phần $a,b$ và không cần đến định lý $Ptolemy$

Gọi $M,N$ là trung điểm $BC,DC$.$DE$ cắt $BC$ tại $H$. Đặt $CD=x(x>0)$

Do tính đối xứng nên $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=\widehat{BCD}$ nên $CD$ là tiếp tuyến của $(ABC)$

Do tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $AD \parallel BC$ nên $AD$ là tiếp tuyến của $(ABC)$. Từ đó $DC=DA$

Ta có: $ADHM$ là hình chữ nhật nên $DC=DA=HM=CM-CH=\dfrac{1}{2}-CH$. Từ đó $CH=\dfrac{1}{2}-x$

Tam giác $BDC$ cân tại $B$ và $N$ là trung điểm $CD$ nên $BN \perp CD$ và khi đó: $BDNH$ nội tiếp.

Do đó $CN.CD=CH.CB\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{2}=\dfrac{1}{2}-x$. Từ đó tìm được $x= \sqrt{2}-1$

(Đẳng thức trên có thể một số nơi không cho phép dùng với bậc THCS. Có thể cần phải chứng minh. Ý này phù hợp vào đề thi $MTCT$ hơn là vào đề thi chuyên)

Sao bạn lại không làm đc câu cuối nhỉ

mà mk nói thêm nhé: phương trình có vô số nghiệm nguyên dương cx chưa chắc là nó >2017 đâu, cần làm thêm 1 chút nữa để c/m nó >2017

Bạn có thể post lời giải câu cuối được không