Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


cachcach10x

Đăng ký: 23-02-2015
Offline Đăng nhập: 05-01-2018 - 06:52
*****

#610843 $4(a+b+c)=3abc$

Gửi bởi cachcach10x trong 24-01-2016 - 21:51

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$

Ta có $\frac{x^{3}}{x+yz}=x-\frac{xyz}{x^{2}+yz}$

Làm tương tự rồi cộng theo vế ta được:

$\sum (\frac{x^{3}}{x^{2}+yz})$

$=\sum (x-\frac{xyz}{x^{2}+yz})$

$=1-\sum (\frac{1}{\frac{x}{yz}+\frac{1}{x}})\geq 1-\sum (\frac{\sqrt{yz}}{2})\geq 1-\frac{x+y+z}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$




#587312 Chứng minh $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1...

Gửi bởi cachcach10x trong 04-09-2015 - 22:45

Cho a,b >0, a+b=1. Chứng minh $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq 9$

BĐT$\Leftrightarrow (1+\frac{a+b}{a})(1+\frac{a+b}{b})\geq 9$

       $\Leftrightarrow (2+\frac{b}{a})(2+\frac{a}{b})\geq 9$

       $\Leftrightarrow 5+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\geq 9$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

                      $\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{2a}{b}.\frac{2b}{a}}=4$

                      $\Rightarrow 5+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\geq 5+4=9$




#586186 $(a+\frac{1}{b}-1)+(b+\frac{1}...

Gửi bởi cachcach10x trong 30-08-2015 - 20:01

Theo mình đề phải như thế này chứ $(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$

Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$

Ta có $(\frac{x}{y}-1+\frac{z}{y})(\frac{y}{z}-1+\frac{x}{z})(\frac{z}{x}-1+\frac{y}{x})= \frac{(x-y+z)(y+x-z)(z+y-x)}{xyz}$

Ta chỉ cần phải chứng minh $(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)\leq xyz$

Ta có $(x-y+z)(y-z+x)\leq \frac{(x-y+z+y-z+x)^2}{4}=x^2$ 

tương tự rồi nhân vào, ta sẽ được đpcm

Chỗ này không chặt chẽ. Vì x-y+z; y-z+x; z-x+y chưa chắc đã lớn hơn 0;

$(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)\leq xyz$ là BĐT Schurs nên ta phải giả sử x lớn nhất rồi xét hai trường hợp. :)  :)  :) 




#584266 $2^x+5^x=2+\frac{131x}{3}$

Gửi bởi cachcach10x trong 23-08-2015 - 10:32

Bài này mình bấm máy ra x=0




#584144 Tính $\frac{yz}{x^3}+\frac{xz}...

Gửi bởi cachcach10x trong 22-08-2015 - 23:00

Bài 2: 

Chứng minh: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

 

BĐT$\Leftrightarrow (\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}})^{2}\geq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}$

       $\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(ac+bd)$

       $\Leftrightarrow \sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq(ac+bd)$ (luôn đúng vì đây là BĐT C.B.S)

$\Leftrightarrow$ đpcm. :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:




#584143 Tính $\frac{yz}{x^3}+\frac{xz}...

Gửi bởi cachcach10x trong 22-08-2015 - 22:45

Bài 1:

Cho 3 số dương a,b,c thỏa a+b+c=1.

Chứng minh: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+6\geq 2\sqrt{2}(\sqrt{\frac{1-a}{a}}+\sqrt{\frac{1-b}{b}}+\sqrt{\frac{1-c}{c}}) $

 

$a+b+c=1 \Rightarrow 1-a=b+c ; 1-b=c+a ; 1-c=b+c.$

BĐT$ \Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+6\geq 2\sqrt{2}(\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}})$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$2\sqrt{2}\sqrt{\frac{b+c}{a}}=2\sqrt{2.(\frac{b}{a}+\frac{c}{a})}\leq \frac{b}{a}+\frac{c}{a}+2.$

CMTT rồi cộng theo vế ta được đpcm.  :icon6:  :icon6:  :icon6:




#584133 Tính $\frac{yz}{x^3}+\frac{xz}...

Gửi bởi cachcach10x trong 22-08-2015 - 22:23

Bài 4:

Cho a+b+c=0. Chứng minh $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$ 

Bài 4:

Xét :

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

$=(a+b)^{3}+c^{3}-3ab(a+b)-3abc$

$=(a+b+c)((a+b)^{2}-(a+b)c+c^{2}-3ab) $

$=0 (vì a+b+c=0) $

$\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$




#583439 $\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-...

Gửi bởi cachcach10x trong 20-08-2015 - 21:29

Giải các phương trình sau:
a) $x\sqrt{3x-1}+5x=5$

b) $x^2-2x\sqrt{x+\frac{1}{x}}+1=3x$

c) $x^2+7x+14=2\sqrt{x+4}$

d) $x^2-4x-2\sqrt{2x-5}+5=0$

e) $x^2-3x-2\sqrt{x-1}+4=0$

f)  $2x^2-11x+33=6\sqrt{x+6}$

g) $\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{-x^2+x+1}=x^2-x+2$

h) $\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}=5x^2-20x+22$

i)  $\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2$

i)  $\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2$

$Xét VT \Leftrightarrow \sqrt{3(x+1)^{2}+4}+\sqrt{5(x+1)^{2}+9}\geq \sqrt{4}+\sqrt{9}=5   (1). $

$Xét VP\Leftrightarrow 5-(x+1)^{2}\leq 5  (2) .$

$Từ (1) và (2) \Rightarrow VT=VP=5\Leftrightarrow x=-1.$




#583427 $2x^2-11x+33=6\sqrt{x+6}$

Gửi bởi cachcach10x trong 20-08-2015 - 21:11

Phần c cách 2:

c) $x^2-3x-2\sqrt{x-1}+4=0$

$\Leftrightarrow x^{2}-4x+4+(x-2\sqrt{x-1})=0 $

$\Leftrightarrow (x-2)^{2}+(\sqrt{x-1}-1)^{2}=0 $

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-2 \right )^{2} =0& \\ (\sqrt{x-1}-1)^{2}=0& \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow x=2.$

 

 

 




#582237 Thay đổi ảnh đại diện

Gửi bởi cachcach10x trong 16-08-2015 - 09:38

Em đã thử thay đổi ảnh đại diện nhiều lần nhưng đều không đổi được.Chẳng biết bị sao nữa :(  :( :(




#581132 $28a+30b+31c= 365$

Gửi bởi cachcach10x trong 12-08-2015 - 22:38

thế thì a=1; b=4;c=7 :icon6:  :icon6:




#578954 Giải phương trình $13\sqrt{x-1}+9\sqrt{x+1...

Gửi bởi cachcach10x trong 05-08-2015 - 22:34

Mình có cách khác:

ĐKXĐ: $x\geq 1$

$PT \Leftrightarrow 13.(2.\frac{1}{}2.(x-1))+3.(2.\frac{3}{2}.(x+1))=16x$  

Theo AM-GM:

$2.\frac{1}{2}.(x-1)\leq \frac{1}{4}+(x-1) (1)$

$2.\frac{3}{2}.(x+1)\leq \frac{9}{4}+(x+1) (2)$

$Từ (1) và (2) \Rightarrow VT\leq 13.(\frac{1}{4}+(x-1))+3.(\frac{9}{4}+(x+1))=16x=VP$

$Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x=\frac{5}{4} (thỏa mãn)$




#569888 Cho phương trình $\frac{1}{x^2}+\frac...

Gửi bởi cachcach10x trong 04-07-2015 - 16:16

Mình làm phần a trước 

Ta có:

$1+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}=m+1$

$\Leftrightarrow \frac{\left ( x^{2}+x+1 \right )^{2}}{x^{2}\left ( x+1 \right )^{2}}=m+1$

Thay m=15 ta được:

$\Rightarrow \left ( x^{2}+x+1 \right )^{2}=16x^{2}\left ( x+1 \right )^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}+x+1=4x(x+1) \Leftrightarrow 3x^{2}+3x-1=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{-3-\sqrt{21}}{6} hoặc  x=\frac{-3+\sqrt{21}}{6}$




#566978 CMR:$x^{3}+ y^{3}\leq 2$.Dấu bằng xảy ra k...

Gửi bởi cachcach10x trong 19-06-2015 - 21:38

Mình làm thế này đc ko:

 Theo BĐT Cauchy ta có:

$x+x^{3}\geq 2x^{2}$;

$y^{2}+y^{4}\geq 2y^{3}$

$\Rightarrow x+x^{3}+y^{2}+y^{4}\geq 2x^{2}+2y^{3}$

$\Leftrightarrow x+y^{2}\geq \left ( x^{2}+y^{3} \right )+\left ( x^{2}+y^{3}- x^{3}-y^{4}\right )\geq x^{2}+y^{3}$( vì $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$)

Mà $x^{2}+1\geq 2x$; $y^{4}+1\geq 2y^{2}$ Nên:$x^{2}+1+y^{4}+1\geq 2x+2y^{2}\geq 2x^{2}+2y^{3}\geq x^{2}+y^{3}+x^{3}+y^{4}$

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq 2$ Dấu bằng xảy ra khi x=y=1.

 

Dinh Xuan Hung:Mình đã dặn bạn phải chú ý $\LaTex$ mà (ấn nút sử để biết)