cachcach10x

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$

Ta có $\frac{x^{3}}{x+yz}=x-\frac{xyz}{x^{2}+yz}$

Làm tương tự rồi cộng theo vế ta được:

$\sum (\frac{x^{3}}{x^{2}+yz})$

$=\sum (x-\frac{xyz}{x^{2}+yz})$

$=1-\sum (\frac{1}{\frac{x}{yz}+\frac{1}{x}})\geq 1-\sum (\frac{\sqrt{yz}}{2})\geq 1-\frac{x+y+z}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Cho a,b >0, a+b=1. Chứng minh $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq 9$

BĐT$\Leftrightarrow (1+\frac{a+b}{a})(1+\frac{a+b}{b})\geq 9$

       $\Leftrightarrow (2+\frac{b}{a})(2+\frac{a}{b})\geq 9$

       $\Leftrightarrow 5+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\geq 9$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

                      $\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{2a}{b}.\frac{2b}{a}}=4$

                      $\Rightarrow 5+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\geq 5+4=9$

Theo mình đề phải như thế này chứ $(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$

Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$

Ta có $(\frac{x}{y}-1+\frac{z}{y})(\frac{y}{z}-1+\frac{x}{z})(\frac{z}{x}-1+\frac{y}{x})= \frac{(x-y+z)(y+x-z)(z+y-x)}{xyz}$

Ta chỉ cần phải chứng minh $(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)\leq xyz$

Ta có $(x-y+z)(y-z+x)\leq \frac{(x-y+z+y-z+x)^2}{4}=x^2$ 

tương tự rồi nhân vào, ta sẽ được đpcm

Chỗ này không chặt chẽ. Vì x-y+z; y-z+x; z-x+y chưa chắc đã lớn hơn 0;

$(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)\leq xyz$ là BĐT Schurs nên ta phải giả sử x lớn nhất rồi xét hai trường hợp.      

Bài này mình bấm máy ra x=0

Bài 2: 

Chứng minh: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

 

BĐT$\Leftrightarrow (\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}})^{2}\geq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}$

       $\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(ac+bd)$

       $\Leftrightarrow \sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq(ac+bd)$ (luôn đúng vì đây là BĐT C.B.S)

$\Leftrightarrow$ đpcm.    

Bài 1:

Cho 3 số dương a,b,c thỏa a+b+c=1.

Chứng minh: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+6\geq 2\sqrt{2}(\sqrt{\frac{1-a}{a}}+\sqrt{\frac{1-b}{b}}+\sqrt{\frac{1-c}{c}}) $

 

$a+b+c=1 \Rightarrow 1-a=b+c ; 1-b=c+a ; 1-c=b+c.$

BĐT$ \Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+6\geq 2\sqrt{2}(\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}})$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$2\sqrt{2}\sqrt{\frac{b+c}{a}}=2\sqrt{2.(\frac{b}{a}+\frac{c}{a})}\leq \frac{b}{a}+\frac{c}{a}+2.$

CMTT rồi cộng theo vế ta được đpcm.     

Bài 4:

Cho a+b+c=0. Chứng minh $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$ 

Bài 4:

Xét :

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

$=(a+b)^{3}+c^{3}-3ab(a+b)-3abc$

$=(a+b+c)((a+b)^{2}-(a+b)c+c^{2}-3ab) $

$=0 (vì a+b+c=0) $

$\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$

Giải các phương trình sau:
a) $x\sqrt{3x-1}+5x=5$

b) $x^2-2x\sqrt{x+\frac{1}{x}}+1=3x$

c) $x^2+7x+14=2\sqrt{x+4}$

d) $x^2-4x-2\sqrt{2x-5}+5=0$

e) $x^2-3x-2\sqrt{x-1}+4=0$

f)  $2x^2-11x+33=6\sqrt{x+6}$

g) $\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{-x^2+x+1}=x^2-x+2$

h) $\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}=5x^2-20x+22$

i)  $\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2$

i)  $\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2$

$Xét VT \Leftrightarrow \sqrt{3(x+1)^{2}+4}+\sqrt{5(x+1)^{2}+9}\geq \sqrt{4}+\sqrt{9}=5   (1). $

$Xét VP\Leftrightarrow 5-(x+1)^{2}\leq 5  (2) .$

$Từ (1) và (2) \Rightarrow VT=VP=5\Leftrightarrow x=-1.$

Phần c cách 2:

c) $x^2-3x-2\sqrt{x-1}+4=0$

$\Leftrightarrow x^{2}-4x+4+(x-2\sqrt{x-1})=0 $

$\Leftrightarrow (x-2)^{2}+(\sqrt{x-1}-1)^{2}=0 $

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-2 \right )^{2} =0& \\ (\sqrt{x-1}-1)^{2}=0& \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow x=2.$

Em đã thử thay đổi ảnh đại diện nhiều lần nhưng đều không đổi được.Chẳng biết bị sao nữa  

thế thì a=1; b=4;c=7  

Mình có cách khác:

ĐKXĐ: $x\geq 1$

$PT \Leftrightarrow 13.(2.\frac{1}{}2.(x-1))+3.(2.\frac{3}{2}.(x+1))=16x$  

Theo AM-GM:

$2.\frac{1}{2}.(x-1)\leq \frac{1}{4}+(x-1) (1)$

$2.\frac{3}{2}.(x+1)\leq \frac{9}{4}+(x+1) (2)$

$Từ (1) và (2) \Rightarrow VT\leq 13.(\frac{1}{4}+(x-1))+3.(\frac{9}{4}+(x+1))=16x=VP$

$Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x=\frac{5}{4} (thỏa mãn)$

Mình làm phần a trước 

Ta có:

$1+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}}=m+1$

$\Leftrightarrow \frac{\left ( x^{2}+x+1 \right )^{2}}{x^{2}\left ( x+1 \right )^{2}}=m+1$

Thay m=15 ta được:

$\Rightarrow \left ( x^{2}+x+1 \right )^{2}=16x^{2}\left ( x+1 \right )^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}+x+1=4x(x+1) \Leftrightarrow 3x^{2}+3x-1=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{-3-\sqrt{21}}{6} hoặc  x=\frac{-3+\sqrt{21}}{6}$

Mình làm thế này đc ko:

 Theo BĐT Cauchy ta có:

$x+x^{3}\geq 2x^{2}$;

$y^{2}+y^{4}\geq 2y^{3}$

$\Rightarrow x+x^{3}+y^{2}+y^{4}\geq 2x^{2}+2y^{3}$

$\Leftrightarrow x+y^{2}\geq \left ( x^{2}+y^{3} \right )+\left ( x^{2}+y^{3}- x^{3}-y^{4}\right )\geq x^{2}+y^{3}$( vì $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$)

Mà $x^{2}+1\geq 2x$; $y^{4}+1\geq 2y^{2}$ Nên:$x^{2}+1+y^{4}+1\geq 2x+2y^{2}\geq 2x^{2}+2y^{3}\geq x^{2}+y^{3}+x^{3}+y^{4}$

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq 2$ Dấu bằng xảy ra khi x=y=1.

Dinh Xuan Hung:Mình đã dặn bạn phải chú ý $\LaTex$ mà (ấn nút sử để biết)