thienbinh2000

Ta có $n^{2}+n+13=t^{2}$ $t\epsilon N$

$\Leftrightarrow 4n^{2}+4n+52=4t^{2}$

$\Leftrightarrow (2n+1)^{2}+51=(2t)^{2}$

$\Leftrightarrow (2t)^{2}-(2n+1)^{2}=51$

$\Leftrightarrow (2t-2n-1)(2t+2n+1)=51$

đến đây $2t-2n-1$ và $2t+2n+1$ là ước của $51$, dễ dàng tìm được!

$M=9x^{2}-6x+1+9x+\frac{1}{x}+1419$

$=(3x-1)^{2}+9x+\frac{1}{x}+1419$

Áp dụng $BĐT$ $AM-GM$ ta có:

$9x+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{9x.\frac{1}{x}}=6$

Mặt khác, $(3x-1)^{2}\geq 0 \forall x$

Nên $M\geq 6+1419=1425$

Dấu = xảy ra khi: $x=\frac{1}{3}$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:

$-x^{2}=-x+m\Leftrightarrow x^{2}-x+m=0 (1)$

Do $(P)$ giao $(d)$ tại 2 điểm $C$ và $D$ nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 

$\Leftrightarrow \Delta > 0\Leftrightarrow 1-4m> 0\Leftrightarrow m< \frac{1}{4}$ (*)

Mặt khác, gọi tọa độ 2 điểm $C$ và $D$ là $C(x_{1},y_{1})$; $D(x_{2},y_{2})$ thì $x_{1}$ và $x_{2}$ là 2 nghiệm của (1)

Áp dụng hệ thức viet ta có:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=1 & \\ x_{1}x_{2}=m & \end{matrix}\right.$

mà $C$ và $D$ thuộc $(d)$ nên $\left\{\begin{matrix} y_{1}=-x_{1}+m & \\ y_{2}=-x_{2}+m& \end{matrix}\right.$

Do đó: 

$CD=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

$=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(-x_{2}+x_{1}+m-m)^{2}}$

$=\sqrt{2((x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2})}$

$=\sqrt{2(1-4m)}$

theo giả thiết $\Rightarrow 18=2(1-4m)\Leftrightarrow 1-4m=9\Leftrightarrow m=-2$ ( thỏa mãn (*))

KL

$\Delta '=[-(m-1)^2]-(m-3)=m^2-3m+4$

Để pt đã cho có nghiệm nguyên thì $\Delta '$ là số chính phương$\Leftrightarrow m^2-3m+4$ là số CP

Đặt $m^2-3m+4=a^2(a\epsilon \mathbb{Z})\Leftrightarrow 4m^2-12m+16=4a^2\Leftrightarrow (2m-3)^2+7=4a^2\Leftrightarrow (2a-2m+3)(2a+2m-3)=7$

Đến đây chắc bạn giải được rồi

Bạn ơi đề bài không nói là phương trình có tất cả nghiệm đều nguyên, có 1 nghiệm nguyên cũng được 

Cho a,b,c>0 và thỏa mãn a+b+c=2.Tìm max $P=\frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{2a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{2b+ca}}$

a+b+cc=2 là sao bạn?