thienbinh2000

Ta có $n^{2}+n+13=t^{2}$ $t\epsilon N$

$\Leftrightarrow 4n^{2}+4n+52=4t^{2}$

$\Leftrightarrow (2n+1)^{2}+51=(2t)^{2}$

$\Leftrightarrow (2t)^{2}-(2n+1)^{2}=51$

$\Leftrightarrow (2t-2n-1)(2t+2n+1)=51$

đến đây $2t-2n-1$ và $2t+2n+1$ là ước của $51$, dễ dàng tìm được!

$M=9x^{2}-6x+1+9x+\frac{1}{x}+1419$

$=(3x-1)^{2}+9x+\frac{1}{x}+1419$

Áp dụng $BĐT$ $AM-GM$ ta có:

$9x+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{9x.\frac{1}{x}}=6$

Mặt khác, $(3x-1)^{2}\geq 0 \forall x$

Nên $M\geq 6+1419=1425$

Dấu = xảy ra khi: $x=\frac{1}{3}$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:

$-x^{2}=-x+m\Leftrightarrow x^{2}-x+m=0 (1)$

Do $(P)$ giao $(d)$ tại 2 điểm $C$ và $D$ nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 

$\Leftrightarrow \Delta > 0\Leftrightarrow 1-4m> 0\Leftrightarrow m< \frac{1}{4}$ (*)

Mặt khác, gọi tọa độ 2 điểm $C$ và $D$ là $C(x_{1},y_{1})$; $D(x_{2},y_{2})$ thì $x_{1}$ và $x_{2}$ là 2 nghiệm của (1)

Áp dụng hệ thức viet ta có:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=1 & \\ x_{1}x_{2}=m & \end{matrix}\right.$

mà $C$ và $D$ thuộc $(d)$ nên $\left\{\begin{matrix} y_{1}=-x_{1}+m & \\ y_{2}=-x_{2}+m& \end{matrix}\right.$

Do đó: 

$CD=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

$=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(-x_{2}+x_{1}+m-m)^{2}}$

$=\sqrt{2((x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2})}$

$=\sqrt{2(1-4m)}$

theo giả thiết $\Rightarrow 18=2(1-4m)\Leftrightarrow 1-4m=9\Leftrightarrow m=-2$ ( thỏa mãn (*))

KL

Đặt A là biểu thức cần tính

Ta có:

$\frac{a_{2}}{a_{1}}+\frac{b_{2}}{b_{1}}+\frac{c_{2}}{c_{1}}=1\Rightarrow A+2(\frac{a_{2}b_{2}}{a_{1}b_{1}}+\frac{b_{2}c_{2}}{b_{1}c_{1}}+\frac{c_{2}a_{2}}{c_{1}a_{1}})=1$

$\Leftrightarrow A+2\frac{a_{2}b_{2}c_{1}+b_{2}c_{2}a_{1}+a_{2}c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{1}c_{1}}=1$

Mặt khác:

$\frac{a_{1}}{a_{2}}+\frac{b_{1}}{b_{2}}+\frac{c_{1}}{c_{2}}=0\Leftrightarrow a_{1}b_{2}c_{2}+b_{1}a_{2}c_{2}+c_{1}a_{2}c_{2}=0$

Do đó $A+0=1$

Nên $A=1$