Linhh Chii

Ban ra đề kém thế? lấy nguyên câu bđt bọn a mới thi chuyển hệ kì I. Lúc thi a có 3 cách làm như sau:

C1:

Đặt a=1-x, b=2-y thay vào đc c=3+x+y.

Thay vào bđt cần cm phá ra nhóm đc điều phải cm.

C2: 

BĐT cần chứng minh tương đương với :

$x+y+z+xy+yz+zx\geq 3xyz\Leftrightarrow 7+z(6-z)+xy(1-3z)\geq 0$

kết hợp với AM-GM ta có :$7+z(6-z)+xy(1-3z)\geq 7+z(6-z)+\frac{(7-z)^2}{8}(1-3z) ;( 1-3z<0)=\frac{1}{8}(z-3)(7-z)(3z-5)\geq 0\Rightarrow Q.E.D$

C3: Dùng tính chất của hàm số bậc nhất. cố định 1 biến z kết hợp với tính chất min, max của hàm số bậc nhất tại 1 khoảng xảy ra ở biên cũng suy ra đc đpcm.

P/S: Mấy ông ra đề toàn ăn cắp. năm ngoái ăn cắp cả bài hình thi CSP :3

E thấy con bạn e bảo do Chuyên BG ra đề, thấy tỉnh này rất rất ít ng` làm được bài cuối, theo anh đánh giá thì khoảng bao nhiêu điểm có giải??

Chắc là c/m bạn nhỉ

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có: 

$\frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^{2}}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^{2}}{(ac+2)(2ac+1)}$

$\geq \frac{4a^2}{(ab+2+2ab+1)^2}+\frac{4b^2}{(bc+2+2bc+1)^2}+\frac{4c^2}{(ca+2+2ca+1)^2}$

$=\frac{(2a)^2}{(3ab+3)^2}+\frac{(2b)^2}{(3bc+3)^2}+\frac{(2c)^2}{(3ca+3)^2}$

$\geq \frac{1}{3}(\frac{2a}{3ab+3}+\frac{2b}{3bc+3}+\frac{2c}{3ca+3})^2$ *

Nên ta chỉ cần chứng minh $\frac{2a}{3ab+3}+\frac{2b}{3bc+3}+\frac{2c}{3ca+3}\geq 1$

                                          $\Leftrightarrow \frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$      (1)

Vì $abc=1$ nên ta đặt $(a,b,c)=(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})$

Khi đó $(1)\Leftrightarrow \frac{xz}{xy+yz}+\frac{xy}{xz+yz}+\frac{yz}{xy+xz}\geq \frac{3}{2}$  ( luôn đúng theo bất đẳng thức $Nesbitt$ )

Chứng minh xong

Ở chỗ * là $\frac{1}{3}$ hay 3 vậy long??

@hoanglong2k :   đúng là CM đó bạn

cậu giải thích rõ hơn đc không??

bddt cần cm <=> $\frac{x^{3}}{1+2x^{3}}+\frac{y^{3}}{1+2y^{3}}+\frac{z^{3}}{1+2z^{3}}\leq 1$

tách $1+2x^{3}=1+x^{3}+x^{3}\geq 3x^{2 }=> \frac{x^{3}}{1+2x^{3}}\leq \frac{x}{3}$

cmtt => $VT \leq \frac{x+y+z}{3}=1$

dấu = xảy ra khi x=y=z=1

Mình không hiểu lắm, bn có thể giải thích rõ hơn được không