Linhh Chii

Cho phương trình $x^{2}-2013^{2014}x+1=0$ có 2 nghiệm $x_{1},x_{2}$. Lập phương trình bậc 2 ẩn y có 2 nghiệm $y_{1}=x_{1}^{2}+1; y_{2}=x_{2}^{2}+1$

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $xyz-\frac{16}{x+y+z}=0$ Tìm min của $P=(x+y)(x+z)$

Ban ra đề kém thế? lấy nguyên câu bđt bọn a mới thi chuyển hệ kì I. Lúc thi a có 3 cách làm như sau:

C1:

Đặt a=1-x, b=2-y thay vào đc c=3+x+y.

Thay vào bđt cần cm phá ra nhóm đc điều phải cm.

C2: 

BĐT cần chứng minh tương đương với :

$x+y+z+xy+yz+zx\geq 3xyz\Leftrightarrow 7+z(6-z)+xy(1-3z)\geq 0$

kết hợp với AM-GM ta có :$7+z(6-z)+xy(1-3z)\geq 7+z(6-z)+\frac{(7-z)^2}{8}(1-3z) ;( 1-3z<0)=\frac{1}{8}(z-3)(7-z)(3z-5)\geq 0\Rightarrow Q.E.D$

C3: Dùng tính chất của hàm số bậc nhất. cố định 1 biến z kết hợp với tính chất min, max của hàm số bậc nhất tại 1 khoảng xảy ra ở biên cũng suy ra đc đpcm.

P/S: Mấy ông ra đề toàn ăn cắp. năm ngoái ăn cắp cả bài hình thi CSP :3

E thấy con bạn e bảo do Chuyên BG ra đề, thấy tỉnh này rất rất ít ng` làm được bài cuối, theo anh đánh giá thì khoảng bao nhiêu điểm có giải??

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}}{2}}$

Cho a,b,c>0 và thỏa mãn a+b+c=2.Tìm max $P=\frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{2a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{2b+ca}}$

Chắc là c/m bạn nhỉ

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có: 

$\frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^{2}}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^{2}}{(ac+2)(2ac+1)}$

$\geq \frac{4a^2}{(ab+2+2ab+1)^2}+\frac{4b^2}{(bc+2+2bc+1)^2}+\frac{4c^2}{(ca+2+2ca+1)^2}$

$=\frac{(2a)^2}{(3ab+3)^2}+\frac{(2b)^2}{(3bc+3)^2}+\frac{(2c)^2}{(3ca+3)^2}$

$\geq \frac{1}{3}(\frac{2a}{3ab+3}+\frac{2b}{3bc+3}+\frac{2c}{3ca+3})^2$ *

Nên ta chỉ cần chứng minh $\frac{2a}{3ab+3}+\frac{2b}{3bc+3}+\frac{2c}{3ca+3}\geq 1$

                                          $\Leftrightarrow \frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$      (1)

Vì $abc=1$ nên ta đặt $(a,b,c)=(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})$

Khi đó $(1)\Leftrightarrow \frac{xz}{xy+yz}+\frac{xy}{xz+yz}+\frac{yz}{xy+xz}\geq \frac{3}{2}$  ( luôn đúng theo bất đẳng thức $Nesbitt$ )

Chứng minh xong

Ở chỗ * là $\frac{1}{3}$ hay 3 vậy long??

@hoanglong2k :   đúng là CM đó bạn

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1 $\frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^{2}}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^{2}}{(ac+2)(2ac+1)}\geq \frac{1}{3}$ 

Cách giải của pạn Bùi Bá Anh ngắn thiệt đó ! Có lẽ vì vội vàng chưa kịp suy nghĩ nên mình chưa kịp giải ra thôi. Thực ra bài này giải bẳng pp đại số thi nó đơn giản hơn . Bài giải của mình chỉ là thêm một cách c/m BDT bằng hình học thôi ah !

Cách chứng minh hình học của bạn đúng nhưng dài, hơi khó hiểu. Còn lí do để bạn chưa giải được cách ngắn thi lố quá. Mình nghĩ bạn nên bớt tự tin đi 1 tí. Thân

Cho hình chữ nhật ABCD biết AB = a, AD = b, M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AD của đường tròn (O) ngoại tiếp hình chữ nhật đó. Gọi MP, BQ, CK là 3 đường cao của tam giác MBC

a) Chứng minh rằng KQ vuông góc OM

b) Gọi E, N lần lượt là trung điểm của KQ và BC. Chứng minh $ME\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2NO.NM$

c) Tìm vị trí của M để chu vi tam giác PQK lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo a và b

Cho đường tròn (O) đường kính AB . Đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại A. I là một điểm cố định trên đoạn AB. DE là dây cung thay đôi của (O) luôn đi qua I. BD, BE cắt d lần lượt tại M,N..

a, CMR tứ giác DENM là tứ giác nội tiếp  (mình lm rồi)

b, CMR AM.AN không thay đổi

c,CMR tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DENM thuộc một đường tròn cố định