Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


honmacarong100

Đăng ký: 24-02-2015
Offline Đăng nhập: 26-03-2017 - 23:22
**---

#674296 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 chuyên sư phạm 2016-2017

Gửi bởi honmacarong100 trong 14-03-2017 - 22:55

 

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Cho dãy $(x_{n})$ thỏa mãn:

$x_{1}=1,x_{2}=1,x_{3}=3$

$x_{n}x_{n-3}=x_{n-1}^{2}+x_{n-1}x_{n-2}+x_{n-2}^{2}.\forall n\geq 4$

Chứng minh: mọi số hạng của dãy nguyên.

Lâu lắm chưa vào diễn đàn, hôm nay thấy anh Mạnh đăng đề CSP nên vào chém tạm bài dãy vậy. Không biết đúng hay không nữa  :D  :D  :D

Ta sẽ tính được $x_{4}=7$

Theo đề bài ta có: $x_{n}x_{n-3}=x_{n-1}^{2}+x_{n-1}x_{n-2}+x_{n-2}^{2} (1)$

Do đúng với mọi $n\geq 4 $

$\Rightarrow x_{n+1}x_{n-2}=x_{n}^{2}+x_{n}x_{n-1}+x_{n-1}^{2} (2)$

Lấy $ (1)-(2)$ 

$\Rightarrow x_{n+1}x_{n-2}+x_{n-1}x_{n-2}+x_{n-2}^{2}=x_{n-1}x_{n}+x_{n-3}x_{n}+x_{n}^{2}$

$\Rightarrow \frac{x_{n}}{x_{n+1}+x_{n-1}+x_{n-2}}=\frac{x_{n-2}}{x_{n}+x_{n-1}+x_{n-3}}$ đúng với mọi $n\geq 4 $

$\Rightarrow \frac{x_{n}}{x_{n+1}+x_{n-1}+x_{n-2}}=\frac{x_{n-2}}{x_{n}+x_{n-1}+x_{n-3}}=...=\frac{x_{2}}{x_{4}+x_{3}+x_{1}}=\frac{1}{7+3+1}=\frac{1}{11}$

$\Rightarrow 11x_{n}=x_{n+1}+x_{n-1}+x_{n-2}$

Do $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ nguyên.

Theo quy nạp $\Rightarrow x_{n}\in Z$ $\forall n\geq 4$.

$\Rightarrow Q.E.D$ 




#646984 Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn : $ab+bc+ca=3$. Tìm...

Gửi bởi honmacarong100 trong 29-07-2016 - 08:48

Giải:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}\leqslant \sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}=\frac{\sqrt{ab+3}}{\sqrt{c^2+3}}$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{4\sqrt{ab+3}}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{9c}{\sqrt{c^2+3}}$

Ta có $3=ab+c(a+b)\geqslant ab+2c\sqrt{ab}\Rightarrow \sqrt{ab}\leqslant -c+\sqrt{c^2+3}$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{4\sqrt{2(c^2+3)-2c\sqrt{c^2+3}}}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{9c}{\sqrt{c^2+3}}=4\sqrt{2-\frac{2c}{\sqrt{c^2+3}}}+\frac{9c}{\sqrt{c^2+3}}$

Đặt $t=\frac{c}{\sqrt{c^2+3}}(0<t<1)$

$\Rightarrow P\leqslant f(t)=4\sqrt{2-2t}+9t$

Đến đây khảo sát hàm $f(t)$ trên $(0;1)$

nhưng đây là 1 bài toán thi thử vào lớp 10 mà bạn, làm sao mà khảo sát hàm số được, bạn làm theo cách lớp 9 được ko vậy.




#646778 Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn : $ab+bc+ca=3$. Tìm...

Gửi bởi honmacarong100 trong 27-07-2016 - 19:40

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn : $ab+bc+ca=3$. Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức : 

$P=4(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3}})+\frac{9c}{\sqrt{c^{2}+3}}$

 




#637871 Đề thi môn Toán chuyên trường Chuyên Sư Phạm - Hà Nội năm 2016-2017

Gửi bởi honmacarong100 trong 03-06-2016 - 20:11

Chém câu hình luôn nhé! Câu a,b thì chắc ai cũng làm được nên mình xin chém câu c. 

Dễ thấy $\Delta MHE$ vuông tại $H$ nên suy ra được $MH$_|_ $HE$. Mà $HE$ _|_ $AC$ nên $MH//AC$. Tương tự, ta cũng chứng minh được $NH//AB$. Từ đó suy ra các tứ giác $BDPH$ và $CEQH$ nội tiếp. Từ đó ta sẽ có 

$\widehat{DPB}=\widehat{DHB}=\widehat{BAH}=\widehat{SEH}$ và $\widehat{EQC}=\widehat{EHC}=\widehat{CAH}=\widehat{EDH}$ 

Từ đó, ta sẽ chứng minh được $BP$ và $CQ$ lần lượt là hai đường cao của tam giác $ABC$ nên $AH$,$BP$,$CQ$ đồng quyattachicon.giftriangle.png

Tại sao lại dễ thấy $\Delta MHE$ vuông tại $H$ được luôn à bạn. 

Mình ngồi cả buổi chiều chỉ cần chứng minh được cái đấy là ra luôn mà.. Ngồi mãi mà chẳng ra..




#620237 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn: $x^2+y^2(x-y+1)-(x-...

Gửi bởi honmacarong100 trong 14-03-2016 - 19:22

chuyển 1 sang bên kia thành x^2-1 xong rồi phân tích là ra thôi




#577784 Cho $a,b,c\in [0,1]$ và $a+b+c=2$.Tìm Max $a^2+...

Gửi bởi honmacarong100 trong 02-08-2015 - 14:36

Do $0\leqslant a\leqslant 1$ nên $a^2\leqslant a$, do đó $a^2+b^2+c^2\leqslant a+b+c=2$

Bài của bạn dấu = không xảy ra

Có mà, dấu = xảy ra khi 2 số bằng 1 và 1 số bằng 0




#577551 $\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[4]...

Gửi bởi honmacarong100 trong 01-08-2015 - 19:49

Giải phương trình:
$\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[4]{x-5}=6$
 




#577536 C/m $\dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} + \dfra...

Gửi bởi honmacarong100 trong 01-08-2015 - 19:16

Cách khác đây. Ta có $(x^2+y^2)^2\geq 4x^2y^2$ Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y$
Đặt $A=\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \Rightarrow A+2=\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{(x^2+y^2)^2}{x^2y^2} \Leftrightarrow A+2= \frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}+\frac{3(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}\geq 2+3=5 \Rightarrow A\geq3$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y$
Vậy $A\geq3 \Leftrightarrow x=y$
Nhớ LIKE nhá!!!!!!




#577521 Giải phương trình: $x^{2}+4x=(x+2)\sqrt{x^{2...

Gửi bởi honmacarong100 trong 01-08-2015 - 18:23

ĐKXĐ: $x\geq0$
Bình phương hai vế lên ta có:

$x^4+16x^2+8x^3=(x^2+4x+4)(x^2-2x+4) \Leftrightarrow x^4+16x^2+8x^3=x^4-2x^3+4x^2+4x^3-8x^2+16x+4x^2-6x+16 \Leftrightarrow 3x^3+8x^2-4x-8=0$
Giải phương trình bậc 3 trên ta được $x=1.04589974$
Nhớ like nha!!!!!




#577432 $a^{2} + 5b^{2} -4ab + 2a - 6b + 3 \geq 0$

Gửi bởi honmacarong100 trong 01-08-2015 - 14:21

Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta luôn có:

$a, a^{2} + 5b^{2} -4ab + 2a - 6b + 3 \geq 0$

$\Leftrightarrow (a-2b)^2+2(a-2b)+1+b^2-2b+1+1\geq0 \Leftrightarrow (a-2b+1)^2+(b-1)^2+1> 0$ luôn đúng với mọi a,b

 

Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta luôn có:

$b, a^{2}+2b^{2} - 2ab + 2a - 4b + 2 \geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+2(a-b)+1+b^2-2b+1\geq0 \Leftrightarrow (a-b+1)^2+(b-1)^2\geq0$ luôn đúng với mọi a,b
Nhớ like nhá!!!




#573313 $1.$ Với $n$ lẻ. Chứng minh rằng: $(x+y+z)^n-x^n-y^n...

Gửi bởi honmacarong100 trong 17-07-2015 - 12:07

$1.$ Với $n$ lẻ. Chứng minh rằng: $(x+y+z)^n-x^n-y^n-z^n \vdots (x+y)(y+z)(z+x)$.
$2.$ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để: $1+x^4+x^8+..+x^{4n} \vdots 1+x^2+x^4+..+x^{2n}$ là $n$ chẵn
$3.$ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để: $1+x^n+x^{2n}+..+x^{mn} \vdots 1 +x+x^2+..+x^m$ là $(m+1;n)=1$ hay $m+1$ và $n$ nguyên tố cùng nhau.




#571768 [CHUYÊN ĐỀ] CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Gửi bởi honmacarong100 trong 12-07-2015 - 16:03

 

Bài 16: Cho các số dương a, b, c, d. CMR:

 

                  $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2$

 

 Cách này hay nhá!! Độc luôn  >:)  >:)  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: 
Đặt $A= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}; M= \frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}; N= \frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b} \Rightarrow M+N= \frac{b+c}{b+c}+\frac{c+d}{c+d}+\frac{d+a}{d+a}+\frac{a+b}{a+b}=1+1+1+1=4$
Ta có: $A+M= \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}$
Áp dụng bất đăng thức Cô-si cho 4 số không âm:
$\Rightarrow A+M= \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b} \geq 4\sqrt[4]{\frac{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}{(b+c)(c+d)(d+a)(a+b)}} \Leftrightarrow A+M \geq 4$
Chứng minh tương tự: $A+N \geq 4 \Rightarrow 2A+M+N\geq 8 \Leftrightarrow 2A \geq 4(Do M+N=4)\Leftrightarrow A \geq 2$ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d$




#571010 Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Gửi bởi honmacarong100 trong 10-07-2015 - 12:23

Em cảm ơn anh.




#570892 Tính $M=b(b-3)+a(a+b)-2ab$

Gửi bởi honmacarong100 trong 10-07-2015 - 06:52

Đề bài có sai không bạn. Mình chỉ ra $M=a^2-8b$ thôi




#567235 $\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+ \...

Gửi bởi honmacarong100 trong 21-06-2015 - 08:45

1/ Cho P= $(\frac{1}{\sqrt{a}-1}- \frac{1}{\sqrt{a}}) : (\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1})$

 a/ tìm đk của $a$ để $P$ xác định?

b/ Rút gọn $P$?

c/ Tìm giá trị của $a$ để $P>\frac{1}{6}$?

a/ P xác định $\Leftrightarrow \sqrt a\neq 0; a\geq 0; \sqrt a\neq1; \sqrt a\neq2 \Leftrightarrow a> 0; a\neq1; a\neq4$
b/ Ta có $P\Leftrightarrow \left [\frac{\sqrt a -\sqrt a +1}{\sqrt a(\sqrt a-1)} \right ]: \left [ \frac{a-1-a+4}{(\sqrt a-1)(\sqrt a-2)} \right ] = \frac{(\sqrt a-1)(\sqrt a-2)}{3\sqrt a(\sqrt a-1)} = \frac{\sqrt a-2}{3\sqrt a}$
c/ Để $P> \frac{1}{6} \Leftrightarrow \frac{\sqrt a-2}{3\sqrt a}> \frac{1}{6} \Leftrightarrow \frac{2\sqrt a-4-\sqrt a}{6\sqrt a}>0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt a-4}{6\sqrt a}>0$ (Do $6\sqrt a >0$) $$$\Leftrightarrow \sqrt a- 4 >0$ \Leftrightarrow \sqrt a>4 \Leftrightarrow a>16$$ (Thỏa mãn điều kiện xác định)