$\boxed{\text{Bài 1}}$ Cho dãy $(x_{n})$ thỏa mãn:
$x_{1}=1,x_{2}=1,x_{3}=3$
$x_{n}x_{n-3}=x_{n-1}^{2}+x_{n-1}x_{n-2}+x_{n-2}^{2}.\forall n\geq 4$
Chứng minh: mọi số hạng của dãy nguyên.
Lâu lắm chưa vào diễn đàn, hôm nay thấy anh Mạnh đăng đề CSP nên vào chém tạm bài dãy vậy. Không biết đúng hay không nữa
Ta sẽ tính được $x_{4}=7$
Theo đề bài ta có: $x_{n}x_{n-3}=x_{n-1}^{2}+x_{n-1}x_{n-2}+x_{n-2}^{2} (1)$
Do đúng với mọi $n\geq 4 $
$\Rightarrow x_{n+1}x_{n-2}=x_{n}^{2}+x_{n}x_{n-1}+x_{n-1}^{2} (2)$
Lấy $ (1)-(2)$
$\Rightarrow x_{n+1}x_{n-2}+x_{n-1}x_{n-2}+x_{n-2}^{2}=x_{n-1}x_{n}+x_{n-3}x_{n}+x_{n}^{2}$
$\Rightarrow \frac{x_{n}}{x_{n+1}+x_{n-1}+x_{n-2}}=\frac{x_{n-2}}{x_{n}+x_{n-1}+x_{n-3}}$ đúng với mọi $n\geq 4 $
$\Rightarrow \frac{x_{n}}{x_{n+1}+x_{n-1}+x_{n-2}}=\frac{x_{n-2}}{x_{n}+x_{n-1}+x_{n-3}}=...=\frac{x_{2}}{x_{4}+x_{3}+x_{1}}=\frac{1}{7+3+1}=\frac{1}{11}$
$\Rightarrow 11x_{n}=x_{n+1}+x_{n-1}+x_{n-2}$
Do $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ nguyên.
Theo quy nạp $\Rightarrow x_{n}\in Z$ $\forall n\geq 4$.
$\Rightarrow Q.E.D$
- Nerus yêu thích