huyenlizi

 Gọi ma trận $A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{12}& a_{22} & ... & a_{1n}\\ ... & ... &... &... \\ a_{n1}&a_{n2} & ... &a_{nn} \end{pmatrix}$

Do $a_{ij}=max(i,j)$ suy ra : $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 &... &n \\ 2&2 & ... &n \\ & & & \\ n& n& ... &n \end{pmatrix}$ 

Tính được detA =n ( bằng cách lấy hàng i+1 trừ hàng i)

Gọi ma trận:

$X=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} &x_{13} \\ x_{21}& x_{22} &x_{23} \\ x_{31}& x_{32} & x_{33} \end{pmatrix}$

Sau đó nhân ma trận , đưa về giải hệ tìm được các $x$

Gọi ma trận tổng quát của X sau đó thực hiên phép nhân ma trận rồi giải hệ. ( ma trân I là ma trận đơn vị cấp 2)

ta có: $A^{-1}=\frac{1}{detA}\cdot A^{'}\Leftrightarrow A\cdot A^{-1}=\frac{A}{detA}\cdot A^{'}\Leftrightarrow I=\frac{A\cdot A^{'}}{detA}\Leftrightarrow detA=A\cdot A^{^{'}} (đpcm)$

giả sử: $det(A-I)=0$

Ta có:$A^{n}-I=(A-I)(A^{n-1}+A^{n-2}+...+A+I)=-I \Rightarrow Det(A-I)(A^{n-1}+...+A+I)=-DetI$

$\Rightarrow det(A-I)\neq 0$ ( mâu thuẫn)

Vậy $det(A-I)\neq 0$