plutocute

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta có:

$\sum \frac{1}{3-ab}\geq \frac{(1+1+1)^2}{3-ab+3-bc+3-ca}=\frac{9}{9-ab-bc-ca}$

Ta chỉ cần chứng minh $9-ab-bc-ca\geq 6$

Thật vậy bđt trên $\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3=a^2+b^2+c^2$ (Luôn đúng)

Vậy $\frac{1}{3-ab}+\frac{1}{3-bc}+\frac{1}{3-ac}\le \frac{3}{2}$

bị ngược dấu rồi bạn

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+x+y+1}+x+\sqrt{y^{2}+x+y+1}+y=18\\ \sqrt{x^{2}+x+y+1}-x+\sqrt{y^{2}+x+y+1}-y=2 \end{matrix}\right.$

cộng trừ 2 pt ta có pt <=> $\left\{\begin{matrix}x+y=8 & & \\ \sqrt{x^{2}+x+y+1}+\sqrt{y^{2}+x+y+1}=10 & & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} x+y=8 & & \\ \sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{y^{2}+9}=10 & & \end{matrix}\right.$

ta có : $\sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{y^{2}+9}\geq \sqrt{(x+y)^{2}+(3+3)^{2}}=10$

=> x=y=4