nloan2k1

Cho $a$ và $b$ là các số nguyên sao cho tồn tại hai số nguyên liên tiếp $c$ và $d$ để $a-b=a^2c-b^2d$ $(*)$

Chứng minh rằng $|a-b|$  là số chính phương 

Không mất tính tổng quát giả sử  $ c>d$ Thay $c=d+1$ vào $(*)$ ta có $(a-b)(1-d(a+b))=a^2$

Ta chứng minh  $gcd(a-b; 1-d(a+b))=1$

Giả sử $p|a-b$ ; $p|1-d(a+b)$ $ $(1)$ với $p$ là số nguyên tố

Suy ra $p|a^2$ suy ra $p|a$ 

mà $p|a-b$ nên $p|b$

Khi đó $p|a+b$, kết hợp với $(1)$ suy ra điều giả sử là sai, loại

Suy ra $gcd(a-b; 1-d(a+b))=1$ suy ra $|a-b|$ là số chính phương

bài này xuất hiện trong đề thi thử Ams năm ngoái nhé bạn

http://vndoc.com/de-...terdam/download

Chính xác :') mình định tìm kiếm cách hay hơn :') 

Ừ thì cũng tùy cậu thôi vì nếu theo cách cậu còn phải biện luận nếu $a=b$ thì sao nữa mà 
$x^2+xy+y^2 \ge 3\sqrt[3]{x^2xyy^2}=3xy$ mà

mình đính chính lại đề rồi mà? Nếu làm như cậu ở đoạn cuối thì đâu chứng minh được đề bài yêu cầu?!

cậu tô nhiều quá nên mình chả biết từ đâu với lại tại sao $a \ge x^2+xy+y^2$ ?

mình xin lỗi 

$d$ chứ không phải $a$ nhé

khai thác từ đoạn đầu của cậu mà ? 

ý cậu là sao ?

ý mình là như mình đã viết