Cho $a$ và $b$ là các số nguyên sao cho tồn tại hai số nguyên liên tiếp $c$ và $d$ để $a-b=a^2c-b^2d$ $(*)$
Chứng minh rằng $|a-b|$ là số chính phương
Không mất tính tổng quát giả sử $ c>d$ Thay $c=d+1$ vào $(*)$ ta có $(a-b)(1-d(a+b))=a^2$
Ta chứng minh $gcd(a-b; 1-d(a+b))=1$
Giả sử $p|a-b$ ; $p|1-d(a+b)$ $ $(1)$ với $p$ là số nguyên tố
Suy ra $p|a^2$ suy ra $p|a$
mà $p|a-b$ nên $p|b$
Khi đó $p|a+b$, kết hợp với $(1)$ suy ra điều giả sử là sai, loại
Suy ra $gcd(a-b; 1-d(a+b))=1$ suy ra $|a-b|$ là số chính phương