112

TH1: hai số bằng 1, giả sử $m=n=1$

$\Rightarrow (l+2)(\frac{1}{l}+1)\epsilon N \Rightarrow l=1 , l=2$( thử lại thỏa)

TH2: Không có hai số nào bằng 1, vậy m,n,l đôi một khác nhau

Giả sử $n< m< l\Rightarrow 2n< m+l$ và $m> n\geq 1$

Từ đề bài ta có: $\left ( l+m+n \right )\left ( lm+mn+nl \right ) \vdots lmn\Rightarrow lm(l+m)+mn(m+n)+nl(n+l)+3mnl \vdots m \Rightarrow nl(n+l) \vdots m \Rightarrow n+l \vdots m$

chứng minh tương tự: $m+n\vdots l$

$\Rightarrow (m+n)(l+n)\vdots ml\Rightarrow n(n+m+l)\vdots ml\Rightarrow n+m+l\vdots ml$

$\Rightarrow 2ml\leq 2m+2n+2l\leq 3(m+l)\Rightarrow (2m-3)(2l-3)\leq 9$

$\Rightarrow 2m-3< 3\Rightarrow m< 3\Rightarrow m=2\Rightarrow n=1$

$\Rightarrow (l+3)(\frac{1}{l}+ \frac{3}{2})\epsilon N\Rightarrow (l+3)(3l+2)\vdots l\Rightarrow 6\vdots l\Rightarrow l=1,l=2,l=3,l=6$

Thử lại cả bốn trường hợp trên, ta thấy đều thỏa

Vậy các bộ nghiệm là $\left ( 1,1,1, \right );\left ( 1,1,2 \right );\left ( 1,2,2 \right );\left ( 1,2,3 \right );\left ( 1,2,6 \right )$ và các hoán vị

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^{2}}{ab}+\frac{b^{2}}{bc}+\frac{c^{2}}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}=\sqrt{\frac{(a+b+c)^{4}}{(ab+bc+ca)^{2}}}=\sqrt{\frac{(a+b+c)^{6}}{(ab+bc+ca)^{2}(a+b+c)^{2}}}\geq \sqrt{\frac{27(ab+bc+ca)^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(ab+bc+ca)^{2}(a+b+c)^{2}}}=\frac{9}{a+b+c}$