Watson1504

Cho $a,b,c$ dương thỏa $2(a^2+b^2+c^2) + 3abc = 9$ ,CMR $a+b+c \leq 3$

Chứng minh rằng mọi số tự nhiên N đều có thể biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng $\frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2}$ , với x,y là các số tự nhiên

Chứng minh $P(x)P(2x^2 -1)=P(2x-1)P(x^2)$
Nhờ các cao thủ

Chứng minh rằng không tồn lại số $n$ lẻ , $n>1$ sao cho $15^n$+$1$ chia hết cho $n$.

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thay đổi thỏa $a+b+c=1$ .Tìm GTNN của $F=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$

Cho $n$ là 1 số tự nhiên , $A=2+2\sqrt{12n^2+1}$ . Chứng minh nếu $A$ là số tự nhiên thì $A$ là số chính phương.

Bài này tương tự nè. Cùng giải nhé!:
Cho $x;y;z\geq 1$. CM:
$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\geq \frac{3}{1+xyz}$

Hình như chỗ mẫu $x,y,z$ phải là mũ 3 .Áp dụng bài trên , ta có:
$\frac{1}{1+x^3} + \frac{1}{1+y^3}$ $\ge \frac{2}{1+\sqrt{x^3+y^3}}$
$\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}$ $\ge \frac{2}{1+\sqrt{xyz^4}}$
$\Rightarrow$ $\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}$ $\ge 2(\frac{1}{1+\sqrt{x^3+y^3}}+\frac{1}{1+\sqrt{xyz^4}})$ $\ge 2.\frac{2}{1+\sqrt[4]{x^3y^3xyz^4}}=\frac{4}{1+xyz}$
$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3} \ge \frac{3}{1+xyz}$

Mk viết sơ qua thôi, bạn tự trình bày nhé!

a) $\Delta ABK=\Delta ADN$ (c.g.c)
=> AK = AN ( cạnh t.ư)
=>CM được $\Delta AMK=\Delta AMN$ (c.c.c) (đpcm)
b) Vì $\Delta ABK=\Delta ADN$ => $\widehat{KAB}=\widehat{NAD}$ ( góc t.ư)
=> $\widehat{KAB}+\widehat{BAM}=\widehat{NAD}+\widehat{BAM}$
Hay $\widehat{KAM}=\widehat{NAD}+\widehat{BAM}$
Mà $\widehat{NAM}=\widehat{KAM}$
=> $\widehat{NAM}=\widehat{NAD}+\widehat{BAM}$
Lại có: $\widehat{NAD}+\widehat{BAM}+\widehat{MAN}=90^{\circ}$ (đpcm)
=> $\widehat{MAN}=45^{\circ}$
c) Xét tứ giác DAPN có: $\widehat{PAN}=\widehat{PDN}=45^{\circ}$ => Tứ giác DAPN là tứ giác nội tiếp
=> $\widehat{APN}=\widehat{ADN}=90^{\circ}$
Xét tứ giác PMCN có $\widehat{NPM}=\widehat{NCM}=90^{\circ}$ => Tứ giác PMCN là tứ giác nội tiếp ₍₁₎
Dễ dàng chứng minh được $\Delta DAQ=\Delta DCQ$ (c.g.c) => $\widehat{DAQ}=\widehat{DCQ}$ (góc t.ư)
Mà $\widehat{DAQ}=\widehat{NPQ}$ ( tứ giác DAPN nội tiếp)
=> $\widehat{DCQ}=\widehat{NPQ}$ => Tứ giác QPCN là tứ giác nội tiếp (2)
Từ ₍₁₎ và ₍₂₎ => 5 điểm C,M,P,N,Q nằm trên một đường tròn
Mk là hơi tắt, chỗ nào thắc mắc bạn có thể hỏi mk

Bạn viết như vầy với mình là quá chi tiết rồi , mình chỉ cần biết hướng giải thôi , cám ơn bạn nhiều :3

Cho a,b là các số thực dương .Chứng minh $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{ab} \le a+b$

Cho $x,y,z$ là 3 số thực dương .Tìm GTNN của biểu thức $$S= \frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}$$

Cho $a+b+c+\sqrt{abc}=4$ .Tính giá trị biểu thức $A=\sqrt{a(4-b)(4-c)}+\sqrt{b(4-c)(4-a)}+\sqrt{c(4-a)(4-b)}-\sqrt{abc}$

Ta có $4\frac{1}{2m}.\frac{1}{n} \leq (\frac{1}{2m}+\frac{1}{n})^{2}=\frac{1}{9}$
Suy ra: $\frac{2}{mn} \leq \frac{1}{9}$
        =>$\frac{1}{mn} \leq \frac{1}{18}$
        =>$18 \leq mn$
Vaayj GTNN của B là 18, dấu "=" xảy ra 2m=n=6=>m=3 và n=6

$\frac{1}{2m}$ và $\frac{1}{n}$ chưa chắc lớn hơn 0 thì làm sao dùng AM-GM được