NNT0607

Câu 2 trắc nghiệm:

Ta có :

$2017^{2017}\equiv 7(mod 10)$

$2013^{2015}\equiv 7(mod 10)$

Vậy chữ số tận cùng của $2017^{2017}-2013^{2015}$ là 0

$\sum \dfrac{1}{a^4+b^4+c^4+abcd}\leqslant \sum \dfrac{1}{abc(a+b+c)+abcd}=VP$

Bạn có thể trả lời chi tiết hơn được không?

Bạn có thể sử dụng phương pháp quy đồng như sau:

$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\geqslant \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= \frac{a}{a^2}+\frac{b}{b^2}+\frac{c}{c^2}$

$\Leftrightarrow a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2\geqslant ab^2c^2+ba^2c^2+ca^2b^2$

$\Leftrightarrow a^2c^2(a-b)+b^2a^2(b-c)+c^2b^2(c-a)\geqslant 0$  (*)

Giả sử: $a\geqslant b\geqslant c\geqslant 0$.

Suy ra (*) $\geqslant b^2c^2(a-b)+b^2c^2(b-c)+b^2c^2(c-a)=b^2c^2(a-b+b-c)+b^2c^2(c-a)=b^2c^2(a-c)+b^2c^2(c-a)=0$  (luôn đúng)

suy ra điều giả sử đúng, suy ra điều phải chứng minh.

Chia 2 vế cho y³ ==>:

$\left\{\begin{matrix} 4\frac{x^{3}}{y^{3}}+3\frac{x}{y}=\frac{7}{y^{2}}\\ 6\frac{x^{2}}{y^{2}}+1=\frac{7}{y^{3}} \end{matrix}\right.$

Đặt $\frac{x}{y}=a, \frac{1}{y}=b$ phương trình trở thành:

$\left\{\begin{matrix} 4a^{3}+3a=7b^{2}\\ 6a^{2}+1=7b \end{matrix}\right.$

Giải tiếp phương trình hai ẩn trên, được cặp nghiệm (x,y)=(1:1)