NPTV1207

$M= (5+2\sqrt{6})^{1004}+(5-2\sqrt{6})^{1004}=a^{1004}+b^{1004}$

  Ta có: $a^{2}=10a-1; b^{2}=10b-1$

  Đặt: $s_{n}=a^{n}+b^{n}$

 $a^{n+2}+b^{n+2}=10.(a^{n+1}+b^{n+1})-(a^{n}+b^{n})$

  $\Rightarrow s_{n+2}=s_{n+1}.10+s_{n}$

$\Rightarrow (s_{n}+s_{n+2})\vdots 10$

 Tương tự $(s_{n+2}+s_{n+4})\vdots 10$

$\Rightarrow (s_{n+4}-s_{n})\vdots 10$

Ta có: $s_{0}=2; s_{1}=10$

$\Rightarrow s_{2}; s_{3}; ...s_{n}$ là các số tự nhiên và $s_{0}; s_{4}; ...s_{4n}$ có chữ số tận cùng là 2

$\rightarrow$ M là số tự nhiên và có chữ số tận cùng là 2

Đặt : $A= n^{6}+n^{4}-n^{3}+1$

         $\Rightarrow 4A= 4n^{6}+4n^{4}-4n^{3}+4$

Ta có: $(2n^{3}+n)^{2}= 4A+4n^{3}+n^{2}-4> 4A$

           $(2n^{3}+n-2)^{2}=4A-(4n^{3}-n^{2}+4n)< 4A$

 $\Rightarrow 4A=(2n+n+1)^{2}$

 $\Rightarrow n^{2}-2n+1=4\rightarrow n=3$

Trong dãy 1;3;5;...;199 có 45 số nguyên tố. 

Vậy chọn k=46 thỏa mãn đề bài

CM đc: 2n+1 và 3n+2 nguyên tố cùng nhau

         Đặt $A= a_{1}^{x_{1}}.a_{2}^{x_{2}}...a_{m}^{x_{m}}$

                 $B=(x_{1}+1)(x_{2}+1)...(x_{m}+1)$

Nếu B lẻ 

$\Rightarrow x_{1};x_{2};...;x_{m}$ chẵn

$\Rightarrow$ A là số chính phương.

    Vì 2n+1 và 3n+2 nguyên tố cùng nhau nên 2n+1 và 3n+2 là số chính phương.

    Vô lí vì 3n+2 chia 3 dư 2

$\Rightarrow$ B chắn

    $\Rightarrow$ Số lượng ước dương của A là chẵn nên tích của chúng là số chính phương

2, Kẻ OI vuông góc CD$\Rightarrow IC=ID; IH=IK$

    $\Rightarrow HC=DK$

       Ta có: $\angle ACB=90^{\circ}\Rightarrow \angle ACD> \angle ACB= 90^{\circ}$

                  $\Rightarrow \angle ACD$ tù nên H nằm ngoài đường tròn

       Tương tự với K