luluhary

Tìm $a,b\in \mathbb{N^*}$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}b|a^2+1 & & \\a^2|b^3+1 & & \end{matrix}\right.$

1.Cho $x,y,z,t\in \mathbb{R}, -1\leq x,y,z,t\leq 1, x+y+t+z=0$

Chứng minh $\sqrt{1+x+y^2}+\sqrt{1+y+z^2}+\sqrt{1+z+t^2}+\sqrt{1+t+x^2}\geq 4$

2. Cho $x,y,z\in \mathbb{R},-1\leq x,y,z\leq 1, x+y+z\geq 0$

Chứng minh $\sqrt{1+x+\frac{7}{9}y^2}+\sqrt{1+y+\frac{7}{9}z^2}+\sqrt{1+z+\frac{7}{9}x^2}\geq 3$

http://diendantoanho...-m-that-p-11pm/

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa:

a/ $\sigma (n)=n+\tau (n)$

b/ $\varphi (n)=\tau (n)$

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

$$m+n=2^m-2^n$$

Cho $x,y\neq -1$ $(x,y\in \mathbb{Z})$ sao cho $\frac{x^3+1}{y+1}+\frac{y^3+1}{x+1}$ là một số nguyên. Chứng minh rằng $x^{2004}-1$ $\vdots$ $y+1$

bạn cứ giải y hệt như ở   đây

Xét các số nguyên tố > 4. Khi chia cho 4 chỉ có thể dư 1, 3 hay có dạng 4k $\pm$ 1

Đấy là chứng minh đó hả

Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số nguyên tố có dạng  $4k+1$ với  $k$ là số tự nhiên

Cho a,b,m nguyên dương. Chứng minh 2 khẳng định sau tương đương:

1. Tồn tại số nguyên dương n để $(a^n-1)b \vdots m$

2.$(ab,m)=(b,m)$

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ không âm, $k\in \mathbb{N}$ thì:

               $\sqrt[k]{a}+\sqrt[k]{b}+\sqrt[k]{c}+\sqrt[k]{a+b+c}\geq \sqrt[k]{a+b}+\sqrt[k]{b+c}+\sqrt[k]{a+c}$

Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Sử dụng Cauchy-Schwarz:

$\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}} \right )[(a+b)(b+c)(c+a)]=\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}} \right )[c^2(a+b)+a^2(b+c)+b^2(c+a)+2abc]\geq (a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2\Rightarrow đpcm$

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn :

                    $1+2^x+2^{2x+1}=y^2$

Tìm min của $A=ab+bc+2ca$ biết $a^2+b^2+c^2 \leq 8$