Mosses William Tran

Có một định lí của số học là ước nguyên tố của một hợp số không được lớn hơn căn bậc hai của hợp số đó

Bài 1 dễ nhất : Ta có $q^{3} - 1 = (q-1)(q^{2}+q+1)$ chia hết cho p. 

+) Xét q - 1 chia hết cho p suy ra q > p. Mặt khắc p - 1 chia hết cho q suy ra p > q (mâu thuẫn )

+) Xét $q^{2}+q+1 = p$ suy ra $(q+1)^{2}$ = p + q suy ra p + q là số chính phương.

+) Xét $q^{2}+q+1 > p$ và $q^{2}+q+1$ chia hết cho p suy ra p < $\sqrt{q^{2}+q+1}$ nên p < q+1. Vô lí vì p - 1 chia hết cho q nên p lớn hơn hoặc bằng q+1. 

 

Vậy p + q là số chính phương 

Ta thấy $S > \sum \frac{a}{a+b+c+d} = 1$ và $S < \sum \frac{a}{a+b} < 2$ Do đó 1< S < 2

Ta chứng minh tập giá trị của S là khoảng (1;2).

Xét phương trình S = t với t thuộc (1;2)

Chọn a = x(1-x), b=x, c=1-x và d=1 với x thuộc (0;1), phương trình trở thành f(x) = 0 với $f(x) = \frac{x(1-x)}{1+2x-x^{2}} + \frac{x}{1+x-x^{2}} + \frac{1-x}{x} + \frac{1}{2-x^{2}} - t$

Lại có f(x) là hàm liên tục trên (0;1) Lại có $\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 1-t <0$ và $\lim_{x\rightarrow 1} f(x) = 2-t >0$ nên phương trình có nghiệm thuộc (0;1)

Bài này có một biện pháp gọi là cân bằng hệ số

 

Đặt k = (k - l) + l với l là số dương, l < k

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các cặp hai số dương

 $$lx^{2} + ly^{2} \geq 2lxy$$

$$(k-l)x^{2} + \frac{1}{2}z^{2} \geq \sqrt{2(k-l)}xz$$

$$(k-l)y^{2} + \frac{1}{2}z^{2} \geq \sqrt{2(k-l)}yz$$

Cộng cả 3 bất đẳng thức trên lại suy ra $k(x^{2} + y^{2}) + z^{2} \geq 2lxy + \sqrt{2(k-l)}(xz+yz)$ 

Ta sẽ tìm l sao cho $2l = \sqrt{2(k-l)}$ 

 

Bạn giải ra, sau đó đến khi trình bày chỉ cần lắp tham số vừa giải ra thôi.

cho mình hỏi tại sao $10^m$và $1993$ nguyên tố cùng nhau lại có thể suy ra tồn tại vậy

sẽ được số dạng 19941994...1994 x $10^{m} chia hết cho 1993  do $10^{m} và 1993 nguyên tố cùng nhau suy ra 19941994...1994 chia hết 1993

Xét 1994 số tự nhiên 1994, 19941994, 199419941994, ..., 19941994...1994 (1994 số 1994)

Theo nguyên lí Điríchlê ta sẽ có ít nhất 2 số có hiệu chia hết cho 1993. Lấy hiệu này sẽ được số có dạng 19941994...000000 (kiểu vậy) do 10^m và 1993 nguyên tố cùng nhau suy ra tồn tại

Các anh cho em xin đóng góp lời giải bằng phương pháp bất đẳng thức sắp thứ tự dãy

 

Sắp xếp lại dãy $a_{1}, a_{2},...,a_{n}$ theo thứ tự tăng dần ta được dãy $b_{1}<b_{2}<...<b_{n}$ . 

Xét dãy $\frac{1}{1^{2}}>\frac{1}{2^{2}}>...>\frac{1}{n^{2}}$

Theo BĐT dãy sắp thứ tự, ta có $\sum_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{k^{2}} \geq \sum_{k=1}^{n}\frac{b_{k}}{k^2}$

Do $(b_{k})$ là dãy số nguyên tăng và phân biệt nên ta có $b_{k} \geq k$ . 

Suy ra $\sum \frac{b_{k}}{k^{2}} \geq \sum \frac{k}{k^{2}}=\sum \frac{1}{k}$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Hay bạn mua Tài liệu chuyên Toán lớp 10 đi