Cuongpa

Theo mình nghĩ thì phương trình $x^2=\frac{1}{x^2}$ có 2 nghiệm là $x=1$ và $x=-1$ nên 2 đường cong này có duy nhất 2 điểm chung nên chúng cắt nhau 

$5a.$

Ta có:

 $(x^2-\frac{\sqrt{15}}{2}x+1)(x^2+\frac{\sqrt{15}}{2}x+1)=x^4-\frac{7}{4}x^2+1$

$(x^4-\frac{7}{4}x^2+1)(x^4+\frac{7}{4}x^2+1)=x^8-\frac{17}{16}x^4+1$

$(x^8-\frac{17}{16}x^4+1)(x^8+\frac{17}{16}x^4+1)=x^{16}+\frac{223}{256}x^8+1$

Từ đó suy ra kết quả 

Tính $\lim_{n\rightarrow+\infty }\left ( 1 - \frac{1}{2^{2}} \right )\left ( 1 - \frac{1}{3^{2}} \right )...\left ( 1 - \frac{1}{n^{2}} \right )$ với $n\geq 2,n\in \mathbb{N}$
Sẵn tiện giải giúp mình cái này nhé, chưa hiểu chứng minh vì sao có kết quả $\lim \frac{n}{3^{n}} = 0$.Cảm ơn nhé.

Để ý $1-\frac{1}{k^{2}}=\frac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}$

Khi đó thì 

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (1-\frac{1}{2^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{3^{2}} \right )...\left ( 1-\frac{1}{n^{2}} \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1.(n+1)}{2n}= \frac{1}{2}$

Còn cái phía sau thì với $n>3$ ta có: $3^{n}>n^{3}$

Do đó khi $n\rightarrow +\infty$ thì $0< \frac{n}{3^{n}}<\frac{n}{n^{3}}=\frac{1}{n^{2}}\rightarrow 0\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{3^{n}}=0$

Tìm 2 số thực x,y sao cho 3 số $1$ , $x-1$ , xy+x+2y²-1  thứ tự lập thành cấp số nhân và 3 số  $(x-1)\sqrt{2y}$ , $x-y$ , $2- y\sqrt{x-2}$ thứ tự lập thành cấp số cộng

 3 số $1, x-1,$ $xy+x+2y^2-1$ lập thành CSN khi và chỉ khi       

                                                                     $xy+x+2y^2-1=(x-1)^2$

                                                                     $\Leftrightarrow (x-\frac{y}{2}-\frac{3}{2})^{2}=(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2})^2$

                                                                     $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x-2y=2\\ x+y=1 \end{bmatrix}$

 3 số $(x-1)\sqrt{2y}$ , $x-y$ , $2- y\sqrt{x-2}$ lập thành CSC khi và chỉ khi $(x-1)\sqrt{2y}+2-y\sqrt{x-2}=2(x-y)$

Tới đây bạn thay từ hệ phương trình của $x,y$ tìm được ở trên thay vào và giải ra $x=6;y=2$

Đặt $t=\sqrt{2^{x}+6}(t>0)$.

Khi đó phương trình đã cho tương đương: $(t^2-6)+t=6\iff t^2-t-12=0\iff (t-4)(t+3)=0\implies t=4(t>0)$.

 

Hình như $2^{2x}=(2^{x})^2=(t^2-6)^2$ chứ