Issac Newton of Ngoc Tao

Nếu viết $\frac{1}{\cos ^nx}=\cos^{-n}x$ thì có chuyển được về tính $\int \cos^nx dx$ không?

theo mình là không. vì điều kiện của hai cái là khác nhau. 

Gợi ý: 

Bài 1 chú ý rằng ta có $(A^{-1})^{t}=(A^{t})^{-1}$ với mọi ma trận $A$ khả nghịch.

Bài 2 và 3 sử dụng định nghĩa của định thức, khai triển ra theo các phép thế: $$\det(A)=\sum_{\sigma\in S_{3}}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)}$$

Cách làm của anh bài 1 hay ạ. Anh có thể chỉ cho em chút kinh nghiệm và sách gì hay để học nâng cao chút môn giải tích và đại số được không ạ? 

Em học trường kĩ thuật nhưng cũng muốn tham gia olympic sinh viên ạ.

Bài $1$: Cho $A$ là ma trận đối xứng. Chứng minh rằng nếu $A$ khả nghịch thì $A^{-1}$ cũng là ma trận đối xứng

Bài $2$: Tìm giá trị lớn nhất của định thức câp $3$ có các phần tử bằng $\pm 1$

Bài $3$: Tìm giá trị lớn nhất của định thức cấp $3$ có các phần tử bằng $1$ hoặc $0$

Cách của mình cụ thể hơn một chút: 

$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}.A^{*}, A=\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}_{n.n}$

với A* là ma trận phụ đại số của A. Khí đó ta xét: hai giá trị của $A^{-1}; a^{-1}_{ij}=\frac{1}{detA}.A^{*}_{ij}; a^{-1}_{ji}=\frac{1}{detA}.A^{*}_{ji}$

Mà khi xét hai hàng i,j và cột i,j có: $A^{*}_{ij}=A^{*}_{ji}$

Do đó ta có điều phải chứng minh.

Bài 3: Xét hàm: $y=2arctanx+arcsin\frac{2x}{1+x^{2}}-\pi$

Với mọi $x\geq 1\Rightarrow y'=\frac{2}{1+x^{2}}+\frac{\frac{2-2x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}}{\sqrt{\frac{(x^{2}-1)^{2}}{(1+x^{2})^{2}}}}=0\Rightarrow y=c;\forall x\geq 1$

với x=1 thì y=0 do đó c=0 hay ta có điều phải chứng minh

$\lim_{x->0^{+}}(e^{xlnx}-1).lnx=\lim_{x->0^{+}}x.(lnx)^{2}=\lim_{x->0^{+}}\frac{(lnx)^{2}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x->0^{+}}\frac{\frac{2lnx}{x}}{\frac{-1}{x^{2}}}=\lim_{x->0^{+}}-2xlnx=0$

Bài này gần như chỉ tìm được công thức truy hồi chứ tính hẳn được tích phân là một công việc quá khó.