basketball123

Câu 1: Cho 3 số $a, b,c$ không âm và $a+b+c=3$

Tìm GTNN của biểu thức: $a^3+b^3+c^3$

Câu 2: Cho 3 số $a, b,c$ không âm và $a+b+c=3$

Tìm GTNN của biểu thức:$\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}$

1. Theo BĐT Holder ta có

$(1+1+1)(1+1+1)(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b+c)^{3}\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

1. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{-2x^{2}+13x-21}+\frac{2x^{2}-13x+17}{2\sqrt{2}x^{2}-13\sqrt{2}x+19\sqrt{2}}=\frac{(y+3)\sqrt{y+1}}{6\sqrt{2}}\\ \\ (x-1)^{y+1}-(y+1)^{x-1}=0 \end{matrix}\right.$

 

2. $(1+2x-3x^{2})\sqrt{2x+1}-2x^{3}\geq 0$

 

3. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}=\frac{(x-y)^{2}}{2}\\ \\ (x+y)(x+2y)+3x+2y=4 \end{matrix}\right.$

 

4. $\sqrt{x^{2}-7x+10}+3\sqrt{x-3}\leq \sqrt{5x^{2}-34x+51}$

 

5. $\left\{\begin{matrix} (1-y)(x-3y+3)-x^{2}=\sqrt{(y-1)^{3}}.\sqrt{x}\\ \\ \sqrt{x^{2}-y}+2\sqrt[3]{x^{3}-4}=2(y-2) \end{matrix}\right.$

 

6. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm:

 $\left\{\begin{matrix} x^{3}-12x-y^{3}+6y^{2}-16=0\\ \\ 4x^{2}+2\sqrt{4-x^{2}}-5\sqrt{4y-y^{2}}+m=0 \end{matrix}\right.(x,y\in \mathbb{R})$

 

7. $x^{3}-3x^{2}+2\sqrt{(x+2)^{3}}-6x\geq 0(x\in \mathbb{R})$

 

8. $\left\{\begin{matrix} y^{2}-5y-x+\sqrt{\frac{y^{4}+x^{2}-3y^{2}-4y}{21}}=0\\ \\ 2(2y^{3}+x^{3})+3y(x+1)^{2}+6x^{2}+6x+2=0 \end{matrix}\right.$

 

9. $\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}+4x\sqrt{2x}\leq x^{3}+10$

 

10. $\left\{\begin{matrix} \frac{2x+1}{2y}=\sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{y^{3}+3}}\\ \\ \sqrt{x+2}+\sqrt{x-y+4}=x^{3}+x^{2}-2y+1 \end{matrix}\right.(x,y\in \mathbb{R})$

 

11. $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ \\ x\sqrt{6x-2xy+1}=4xy+6x+1 \end{matrix}\right.$

 

12. Trong tất cả các nghiệm của bất phương trình $log_{x^{2}+y^{2}}(x+y)\geq 1$. Hãy tìm nghiệm $(x;y)$ mà $x+2y$ lớn nhất

 

13. $(7+5\sqrt{2})^{cosx}-(17+12\sqrt{2})^{cos^{3}x}=cos3x$

 

14. $\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x}>\frac{12x-8}{\sqrt{9x^{2}+16}}$

 

15. $\sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x-1}=x^{2}-1$

 

16. $\left\{\begin{matrix} 2014^{y^{2}-x^{2}}=\frac{x^{2}+2015}{y^{2}+2015}\\ \\ 3log_{3}(x+2y+6)=2log_{2}(x+y+2)+1 \end{matrix}\right.$

 

17. Giải và biện luận hệ: $\left\{\begin{matrix} log_{cos(\frac{\pi }{4})}(\frac{1-5cos^{4}(3x)}{2})\leq 1\\ \\ \frac{1+sinx}{sin2x}\leq m \end{matrix}\right.$

 

18. $\left\{\begin{matrix} 2y(4y^{2}+3x^{2})=x^{4}(x^{2}+3)\\ \\ 2015^{x}(\sqrt{2y-2x+5}-x+1)=4030 \end{matrix}\right.$

 

19. $(\sqrt{x}+6)\sqrt{x(2x^{2}+26x+8)}-4\geq x(2x+3\sqrt{x}+33)$

 

20. $\left\{\begin{matrix} x^{11}+xy^{10}=y^{22}+y^{12}\\ \\ 7y^{4}+13x+8=2y^{4}\sqrt[3]{x(3x^{2}+3y^{2}-1)} \end{matrix}\right.$

P/s: Làm giúp mình những câu in đỏ nhé

cho x,y >0 thoa man $\sqrt{xy}$(x-y) =x+y. tim min of x+y

$\Leftrightarrow xy(x-y)^{2}=(x+y)^{2}\Leftrightarrow 16(x+y)^{2}=16xy((x+y)^{2}-4xy)\leq (x+y)^{4}\Leftrightarrow 16(x+y)^{2}\leq (x+y)^{4}\Leftrightarrow 4\leq x+y$

Bài 547: $\sqrt{6}(x^{2}-3x+1)+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}\leq 0$

Bài 548: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y+1}+1=4(x+y)^{2}+\sqrt{3(x+y)} \\ &12x(2x^{2}+3y+7xy)=-1-12y^{2}(3+5x) \end{matrix}\right.$

Bài 548: Đặt $x+y=t$ $(t\geq 0)$ ta có $(1)\Leftrightarrow \sqrt{t+1}+1=4t^{2}+\sqrt{3t}\Leftrightarrow (2t+1)(2t-1)+\frac{2t-1}{\sqrt{3t}+\sqrt{t+1}}=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{2}-x$

Thay vào pt (2) ta được $(2)\Leftrightarrow 18x^{2}+3x-10=0\Leftrightarrow x=\frac{2}{3};x=-\frac{5}{6}\Rightarrow y=-\frac{1}{6};y=\frac{4}{3}$

Vậy hpt có 2 nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $(\frac{2}{3};-\frac{1}{6});(-\frac{5}{6};\frac{4}{3})$

Khai triển $(3+2x)^{2016}$=$a_{o}+a_{1}x+...+a_{2016}x^{2016}$

Tìm $a_{i},i=0;1;2;...;2016$

Bạn có thể tham khảo cách làm ở đây http://diendantoanho...a-thức-px2x113/

Bài 547: $\sqrt{6}(x^{2}-3x+1)+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}\leq 0$

Bài 548: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y+1}+1=4(x+y)^{2}+\sqrt{3(x+y)} \\ &12x(2x^{2}+3y+7xy)=-1-12y^{2}(3+5x) \end{matrix}\right.$

Bài 547: $\Leftrightarrow 6(x^{2}-3x+1)+\sqrt{6(x^{4}+x^{2}+1)}\leq 0\Leftrightarrow 12(x^{2}+1-x)-6(x^{2}+1+x)+\sqrt{6(x^{2}+1-x)(x^{2}+1+x)}\leq 0$

Đặt $\sqrt{x^{2}+1-x}=a(a\geq 0);\sqrt{x^{2}+1+x}=b(b\geq 0)\Rightarrow 12a^{2}-6b^{2}+ab\sqrt{6}\leq 0\Leftrightarrow (4a-b\sqrt{6})(3a+b\sqrt{6})\leq 0\Rightarrow 4a\leq b\sqrt{6}\Leftrightarrow 4\sqrt{x^{2}-x+1}\leq \sqrt{6(x^{2}+x+1)}\Leftrightarrow 10x^{2}-22x+10\leq 0\Leftrightarrow \frac{11-\sqrt{21}}{10}\leq x\leq \frac{11+\sqrt{21}}{10}$

Câu 1: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$x^2-(x-2\sqrt{2})y+\frac{5y^2}{4}+2016$

Câu 2: Giải phương trình:

$2x^2-8x-3\sqrt{x^2-4x-5}=12$

1) $\Leftrightarrow (x-\frac{y}{2})^{2}+(y+\sqrt{2})^{2}+2014\geq 2014\forall x;y$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow y=-\sqrt{2};x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Giải phương trình:

$\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt[3]{2x+1}-3}=\frac{1}{x+2}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x+1})^{3}+\sqrt{x+1}=2x+1+\sqrt[3]{2x+1}\Rightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt[3]{2x+1}$

Đặt $\sqrt{x+1}=a(a\geq 0);\sqrt[3]{2x+1}=b(b\geq 0)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=b\\ 2a^{2}-b^{3}=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow b^{3}-2b^{2}+1=0\Rightarrow b=1;b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow a=1;a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Xét 2 TH ta được $x=1;x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ thỏa mãn PT

Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} - xy + 4y + 1 = 0\\ y\left( {7 - {{\left( {x - y} \right)}^2}} \right) = 2\left( {{x^2} + 1} \right) \end{array} \right.,\left( {x,y \in R } \right)$

ta thấy y=0 không phải là nghiệm của hpt nên chia cả 2 vế của pt(2) cho y ta được $2\frac{x^{2}+1}{y}=7-(x-y)^{2}$

Pt(2) $\Leftrightarrow x^{2}+1=y(x-y-4)\Leftrightarrow \frac{x^{2}+1}{y}=x-y-4$

Đặt $\frac{x^{2}+1}{y}=a;x-y=b\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=b-4\\ 2a=7-b^{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow 7-b^{2}=2b-8\Leftrightarrow b=3;b=-5\Rightarrow a=-1;a=-9$

Với $a=-1;b=3$ ta có $\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}+1}{y}=-1\\ x-y=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow x^{2}+x-2=0\Leftrightarrow x=1;x=-2\Rightarrow y=-2;y=-5$

Với $a=-9;b=-5$ ta có $\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}+1}{y}=-9\\ x-y=-5 \end{matrix}\right.\Rightarrow x^{2}+9x+46=0(ptvn)$

Vậy hpt có 2 nghiệm thỏa mãn $(x;y)$ là $(1;-2);(-2;-5)$

1, Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh:

a, $M=\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\geq 1$.

b, $N=\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}\frac{c}{a+2b}\geq 1$.

2, Với $x,y,z$ là những số thỏa mãn $\left | x+2y+3z \right |=\sqrt{14}$. Chứng minh: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 1$.

3, Với $x,y,z$ là những số thực thỏa mãn $x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=1$. Chứng minh $\left | x+y+z \right |\leq \sqrt{\frac{11}{6}}$.

4, Với $ha,hb,hc$ là độ dài các đường cao của 1 tam giác. R là bán kính đường tròn nội tiếp. Chứng minh: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{ha}}+\frac{2}{\sqrt{hb}}+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{hc}}\leq \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{r}}$

 Các bạn chứng minh chi tiết hộ mình ( càng nhanh càng tốt) theo bất đẳng thức bunhiacopxki nhé. Cảm ơn nhiều.

2) $(1+4+9)(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq (x+2y+3z)^{2}=14\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 1$

3) $\frac{11}{6}=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})(x^{2}+2y^{2}+3z^{2})\geq (x+y+z)^{2}\Rightarrow \mid x+y+z\mid \leq \sqrt{\frac{11}{6}}$

Bài 542: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \frac{1+4(x-y+1)^{2}}{\sqrt{2(x-y+2)}}=1+\frac{3}{2(x-y+1)} & & \\ (x+2)(\sqrt{x+y+3}-2\sqrt{y+1})=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}+5x+3} & & \end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{2(x-y+2)}=t(t\geq 0)\Rightarrow (1)\Leftrightarrow \frac{1+(t^{2}-2)^{2}}{t}=1+\frac{3}{t^{2}-2}\Leftrightarrow \frac{1+(t^{2}-2)^{2}}{t}=\frac{t^{2}+1}{t^{2}-2}\Leftrightarrow t^{3}+t=(t^{2}-2)^{3}+(t^{2}-2)\Rightarrow t=t^{2}-2\Leftrightarrow t=2\Rightarrow x=y\Rightarrow (2)\Leftrightarrow (x+2)(\sqrt{2x+3}-2\sqrt{x+1})=1-\sqrt{2x^{2}+5x+3}$

Đặt $\sqrt{x+1}=a(a\geq 0);\sqrt{2x+3}=b(b\geq 0)\Rightarrow (2)\Leftrightarrow (a^{2}+1)(b-2a)=1-ab\Leftrightarrow a^{2}b-2a^{3}+b-2a-1+ab=0$ (3)

Lại có $b^{2}-2a^{2}=2x+3-2(x+1)=1$ thay vào (3) ta được $(3)\Leftrightarrow a^{2}b-2a^{3}+b-2a+2a^{2}-b^{2}+ab=0\Leftrightarrow (2a-b)(2a+b-(a^{2}+a+1))=0\Rightarrow 2a=b$ hoặc $2a+b=a^{2}+a+1$

Với $2a=b\Leftrightarrow 2\sqrt{x+1}=\sqrt{2x+3}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}(t/m)\Rightarrow y=-\frac{1}{2}$

Với $2a+b=a^{2}+a+1\Leftrightarrow 2a+b=a^{2}+a+b^{2}-2a^{2}\Leftrightarrow a^{2}-b^{2}+a+b=0\Leftrightarrow (a+b)(a-b+1)=0\Leftrightarrow a+1=b\Leftrightarrow \sqrt{x+1}+1=\sqrt{2x+3}\Leftrightarrow x+1+2\sqrt{x+1}+1=2x+3\Leftrightarrow x+1-2\sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow x=-1;x=3(t/m)\Rightarrow y=-1;y=3$

Vậy hpt có 3 nghiệm $(x;y)$ thoả mãn $(-1;-1);(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2});(3;3)$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình bình hành $ABCD$ có $A(-5;2)$, $M(-1;-2)$ là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho $\widehat{MDC}=\widehat{MBC}$ và $MB\perp MC$. Tìm tọa độ điểm $D$ biết $tan\widehat{DAM}=\frac{1}{2}$

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $0<x\leq y\leq z$

Tìm GTLN của $P=xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}-xyz-\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{6}$

Cho x,y,z là các số nguyên và

 

$\left\{\begin{matrix} P=(x+2014)^{5}+(2y-2015)^{5}+(3z+2016)^{5} & & \\ S=x+2y+3z+2015 & & \end{matrix}\right.$

 

Chứng minh $P\vdots30 khi và chỉ khi S\vdots30$

Đặt $a=x+2014;b=2y-2015;c=3z+2016\Rightarrow P=a^{5}+b^{5}+c^{5};S=a+b+c$

Xét $P-S=a^{5}+b^{5}+c^{5}-(a+b+c)$

Xét riêng $a^{5}-a=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)+5(a-1)a(a+1)$

Ta có $(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)$ là tích 5 số nguyên liên tiếp nên $(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)$ chia hết cho 2;3;5 và $5(a-1)a(a+1)$ cũng chia hết cho 2;3;5 hay chia hết cho 30

$\Rightarrow P-S\vdots 30;S\vdots 30\Rightarrow P\vdots 30$

Cho a,b,c>0 tm abc=1.Tim Min P=$\frac{a^{3}}{a^{2}+4ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+4bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+4ac+a^{2}}$

$\frac{a^{3}}{a^{2}+4ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+4bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+4ca+a^{2}}\geq \frac{1}{3}(\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}})\geq \frac{1}{6}(a+b+c)\geq \frac{1}{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$