Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Cantho2015

Đăng ký: 29-03-2015
Offline Đăng nhập: 14-06-2017 - 03:56
-----

#645566 Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=a+b+c+\frac{1}{abc}...

Gửi bởi Cantho2015 trong 19-07-2016 - 18:14

$P=(a+b+c+\frac{1}{9abc})+\frac{8}{9abc}\geq 4.\sqrt[4]{abc.\frac{1}{9abc}}+\frac{8}{9(\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}})^{3}}= 4\sqrt{3}$

Dấu = xảy ra <=> a = b = c = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

$abc \leq (\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}})^3$ ngoài cách chứng minh bằng bđt Holder $3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2$ còn cách nào đơn giản hơn không bạn?




#643358 Topic tổng hợp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên.

Gửi bởi Cantho2015 trong 02-07-2016 - 22:00

Mình nghĩ là x,y phải nguyên dương

Nếu x,y nguyên dương, không mất tính tổng quát, giả sử $x>y$ và $(x;y)=d (d>0)$

$\Rightarrow x=dy$

pt $\Leftrightarrow (dy)^y-(y^d)^y=[dy-(y^d)]A (A>0)$

$\Rightarrow dy=y^d$

Với $d=1$ suy ra $x=y$

Với $d>1$, dễ thấy $y^d>dy$, vậy pt vô nghiệm

Bài giải thiếu nghiệm với phần chứng minh $x=dy$ mình bổ sung:

$gcd(x,y)=1 \Rightarrow x=dx_1, y=dy_1$ với $ gcd(x_1,y_1)=1$ và $x_1 > y_1$ ( vì $x>y$, $x=y$ thì xét riêng)

$x^y=y^x \Leftrightarrow [(dx_1)^{y_1})^d-[(dy_1)^{x_1}]^d=0 \Leftrightarrow ((dx_1)^{y_1}-(dy_1)^{x_1})B=0$

Vì $B>0$ nên $(dx_1)^{y_1}=(dy_1)^{x_1} \Rightarrow (x_1)^{y_1}=d^{x_1-y_1}(y_1)^{x_1} \Rightarrow y_1|x_1 \Rightarrow y_1=1 \Rightarrow y=d \Rightarrow x=ky$ 

Sau đó giải như trên, suy ra $ky=y^k$. 

Với $k=y=2 \Rightarrow x=4$

Với $k>2$ thì vế phải tăng nhanh hơn vế trái nên vô nghiệm 

Vậy nghiệm là $x=y$ hoặc $(x;y)=(2;4),(4;2)$




#641347 Topic tổng hợp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên.

Gửi bởi Cantho2015 trong 20-06-2016 - 04:57

mọi người xem giúp mình bài này với ..giair phương trình với x,y nguyên: $x^y=y^x$

Mình nghĩ là x,y phải nguyên dương

Nếu x,y nguyên dương, không mất tính tổng quát, giả sử $x>y$ và $(x;y)=d (d>0)$

$\Rightarrow x=dy$

pt $\Leftrightarrow (dy)^y-(y^d)^y=[dy-(y^d)]A (A>0)$

$\Rightarrow dy=y^d$

Với $d=1$ suy ra $x=y$

Với $d>1$, dễ thấy $y^d>dy$, vậy pt vô nghiệm




#641185 Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2-3y^2+2xy-2x+6y-8=0$

Gửi bởi Cantho2015 trong 19-06-2016 - 05:12

Đưa về phương trình ước số! Anh ơi cho em hỏi, mình có kinh nghiệm gì để biết phương trình nào đưa về pt ước số hay không và có cách nào dễ dàng đưa về phương trình ước số!!!?

pt $\Leftrightarrow x^2+2x(y-1)-3y^2+6y-8=0$

$\Delta_{x}=4(y-1)^2-4(-3y^2+6y-8)=(4y)^2-32y+35$

Ta muốn $\Delta_{x}$ là một số chính phương, để ý thấy $-32y=-2.4.4y$ mà $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ta đã có $a^2=(4y)^2$ nên $b=4$ hay $b^2=16$.

Trong những phương trình nghiệm nguyên kiểu này, ta có một lợi thế là ta có thể điều chỉnh hệ số tự do tùy thích. Vậy đừng lấy $-8$ nữa. Lấy $a$ sao cho $4-4a=16$ ($4$ có được từ hệ số tự do của $4(y-1)^2$). Thấy ngay là $a=-3$.

Vậy ta có $\Delta_x=(4y-4)^2$, vậy $x=\frac{-(2y-2) \pm (4y-4)}{2}$

$\Rightarrow x=3y-3$ hoặc $x=-y+1$

Mà theo định lý Bezout thì nếu x có nghiệm như trên ta phân tích được $[x-(-y+1)][x-(3y-3)]-5=0$ ($-5=-8+3$)

Vậy "trick" của bài này là chọn hệ số sao cho $\Delta_{x}$ là bình phương của một số thôi và ta cho hệ số $-3$




#641184 Giải pt nghiệm nguyên: $x^2+y^2+xy=x^2y^2$

Gửi bởi Cantho2015 trong 19-06-2016 - 04:36

Phương trình tương đương $(x+y)^2=xy(xy+1)$
Từ đây suy ra $(x;y)=(0;0),(1;-1),(-1;1)$.

Tại sao $(x+y)^2=xy(xy+1)$ thì suy ra được nghiệm vậy bạn?




#641026 $9\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3...

Gửi bởi Cantho2015 trong 18-06-2016 - 11:04

Chứng minh $a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a+b+c)^3}{9}$ kiểu gì hả anh ??????? 

Bất đẳng thức Holder cho $(a^3+b^3+c^3)(1+1+1)(1+1+1)$




#640984 Chứng minh rằng phương trình: $x^2+5=y^3$ không có nghiệm nguyên

Gửi bởi Cantho2015 trong 18-06-2016 - 07:37

Chứng minh rằng phương trình: $x^2+5=y^3$ không có nghiệm nguyên

Bổ đề:

Nếu $4k+3|x^2+y^2$ thì $4k+3|x$ và $4k+3|x$ (chứng minh bằng phản chứng và định lý Fermat nhỏ)

 

Vì $x^2 \equiv{0;1} \pmod{4} \Rightarrow y^3=x^2+5 \equiv{1;2} \pmod{4}$. Vậy $y^3$ không chia hết cho 4, vậy $y$ không chia hết cho 2 hay y là số lẻ. 

Nếu $y \equiv{3} \pmod{4}$ thì $y^3 \equiv{3} \pmod{4}$ hay $x^2 \equiv{2} \pmod{4}$ $\Rightarrow$ vô lý

Nếu $y \equiv{2} \pmod{4}$ thì $y^3 \equiv{0} \pmod{4}$ $\Rightarrow$ vô lý

$\Rightarrow y=4k+1$

$(x^2+(2)^2=y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)$

$ \Rightarrow y^2+y+1=4(4k^2+3k)+3 \equiv{3} \pmod{4}$ 

$ \Rightarrow 4m+3|x^2+(2)^2 \Rightarrow$ vô lý




#639996 ĐỀ CHUYÊN TIN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG 2016 - 2017

Gửi bởi Cantho2015 trong 13-06-2016 - 09:42

Bài 2:

Đặt $\sqrt{2-x^2}=a$, $\sqrt{x^2+8}=b$

Ta có hệ 

$\begin{cases} a + b = 4 \\ a^2 + b^2 = 10 \end{cases}$

$\Rightarrow ab= 3$

tới đây dễ rồi




#564814 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán THPT chuyên Lý Tự Trọng- Cần Thơ

Gửi bởi Cantho2015 trong 10-06-2015 - 16:04

IMG_0184.JPG




#563313 Đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội 2015-2016 (2...

Gửi bởi Cantho2015 trong 03-06-2015 - 20:58

bai 4

Hình gửi kèm

  • IMG_0160.JPG



#563163 Đề toán thi vào 10 chuyên Vũng Tàu

Gửi bởi Cantho2015 trong 03-06-2015 - 08:26

Hình như chưa ai giải câu 1c 
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{1+x}+\sqrt{1+y}=2\sqrt{2} & & \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=2 & & \end{matrix}\right.$
ĐKXĐ: $x,y \geq 0$
Ta có:
$(2\sqrt{2})^2=(x+y)+2\sqrt{(1+x)(y+1)}+2 \geq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{2}+2(\sqrt{x}+\sqrt{y})+2=8$
Do đó xảy ra đẳng thức $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=y & & \\ xy=1 & & \end{matrix}\right.\rightarrow x=y=1$

bài này không bình phương pt (1) mà dùng bđt Minkowsky để đánh giá cũng được luôn


#562536 ĐỀ THI VÒNG 1+VÒNG 2 MÔN TOÁN TUYỂN SINH VÀO LỚP $10$ THPT CHUYÊN...

Gửi bởi Cantho2015 trong 30-05-2015 - 22:19

'' | '' là chi vậy ạ? .___. :3


a | b là b chia hết cho a hay a là ước của b