Tạp chí Epsilon số 7. Nguồn: https://www.facebook...hoche.7?fref=ts (GS Ngô Bảo Châu).
13-02-2016 - 05:15
Tạp chí Epsilon số 7. Nguồn: https://www.facebook...hoche.7?fref=ts (GS Ngô Bảo Châu).
07-12-2015 - 21:30
Chứng minh rằng với $2n$ đội bóng ($n\in N^*$) thì luôn xếp lịch được $2n-1$ vòng đấu sao cho mỗi vòng mỗi đội đá đúng một trận và $2$ đội bất kì đá với nhau đúng một lần.
26-11-2015 - 18:52
Về câu bất đề kiểm tra trường Đông miền Nam năm 2015, thực ra em tạo chủ đề này để mọi người cùng thảo luận xem có những cách giải nào cho bài toán này (vì em mất 3h để giải xong hoàn chỉnh, và đang có nhiều hướng giải chưa sử dụng )
Đề bài: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $(a+b)(b+c)(c+a)>0$. Chứng minh rằng ta có BĐT:
$\frac{ab}{(a+b)^2}+\frac{bc}{(b+c)^2}+\frac{ca}{(c+a)^2}+\frac{5}{4}\geq \frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}$ $(*)$
Lời giải: Chuẩn hóa $a+b+c=1$ thì $q=ab+bc+ca\leq \frac{1}{3}$
Ta có bổ đề sau:
$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+2(\frac{ab}{(a+b)^2}+\frac{bc}{(b+c)^2}+\frac{ca}{(c+a)^2})\geq \frac{5}{2}$
BĐT tương đương với:
$\sum (b-c)^2(1-\frac{ab+bc+ca}{(b+c)^2})\geq 0$.
Đặt $S_a=1-\frac{ab+bc+ca}{(b+c)^2}, S_b,S_c$ tương tự.
Giả sử $a\leq b\leq c$ thì $S_a\geq S_b\geq 0$ (dễ chứng minh).
Nên chỉ cần chứng minh $b^2S_c+c^2S_b\geq 0$
<=> $a^2(\frac{b^2}{(a+b)^2}+\frac{c^2}{(c+a)^2})+(c-b)^2.\frac{ab+bc+ca}{(a+c)(a+b)}\geq 0$
Do đó: $2(\frac{ab}{(a+b)^2}+\frac{bc}{(b+c)^2}+\frac{ca}{(c+a)^2})\geq \frac{5}{2}-\frac{1-2q}{q}$
Nên chỉ cần chứng minh BĐT sau:
$5-\frac{1-2q}{q}\geq 12q<=>12q^2-7q+1\leq 0$
Tuy nhiên không phải với mọi $q\leq \frac{1}{3}$ thì BĐT trên đúng.
Do đó ta xét trường hợp còn lại: $12q^2-7q+1\geq 0$.
Thử đánh giá vế trái của BĐT $(*)$, ta có:
$\sum \frac{ab}{(a+b)^2}+\frac{5}{4}\geq \sum \frac{ab}{2(a^2+b^2)}+\frac{5}{4}$
$=\sum \frac{(a+b)^2}{4(a^2+b^2)}+\frac{1}{2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2-4q}+\frac{1}{2}$
Nên chỉ cần chứng minh:
$\frac{1}{2-4q}+\frac{1}{2}\geq 6q<=>\frac{1}{1-2q}+1\geq 12q<=>12q^2-7q+1\geq 0$ (đúng theo trường hợp này).
Vậy BĐT được chứng minh hoàn toàn, dấu bằng xảy ra tại $a=b=c$; $a=b,c=0$ và các hoán vị
12-11-2015 - 09:37
Đề bài: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, phân giác AN (M,N thuộc BC). Từ điểm N kẻ đường vuông góc với NA cắt AB,AM lần lượt tại P,Q. Qua P kẻ đường vuông góc với AP cắt AN tại I. Chứng minh IQ vuông góc BC.
Lời giải: (Ai có cách đơn giản hơn cho em xin ạ )
10-11-2015 - 17:51
Cho tam giác $ABC$, một điểm $P$ thuộc tam giác sao cho $\widehat{ABP}=\widehat{ACP}$, trên $AB,AC$ lấy $E,F$ sao cho $PE=PB;PF=PC$. Gọi $J,O$ làm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $PEF$ và $ABC$. Chứng minh $P,J,O$ thẳng hàng.
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học