Le Dinh Hai

bạn giải thích rõ hơn được không 

Để không tồn tại tam giác thì $a+b\leq c$

$x_{1}+x_{2}\leq x_{3}$

Tương tự thì sum của 2 số bé luôn $\leq$ số lớn

Cho 10 số thực $x_{1};x_{2};...;x_{10}$ thuộc đoạn $[1;55)$

CMR: Có ít nhất 3 số trong chúng là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

Giả sử không tồn tại 3 số nào thỏa mãn

Gọi 3 số bất kì trong dãy là $a,b,c(a\leq b\leq c)$

Ta có $a+b\leq c$

Theo thứ tự $x_{1}\leq x_{2}\leq ...\leq x_{10}$ thì để $x_{10}$ nhỏ nhất ta có

$x_{1}=1;x_{2}=2;x_{3}=3;x_{4}=5,...x_{10}=55$ (vô lí)

=>$(đpcm)$

Với đề bài $Max$

Ta có$\sum \frac{ab}{c+1} = \sum \frac{ab}{a+c+b+c} =\sum \frac{1}{\frac{a+c}{ab}+\frac{b+c}{ab}}\leq \sum \frac{1}{4}\left ( \frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c} \right )=\frac{1}{4}\left ( a+b+c \right )=\frac{1}{4}$

Dấu $"="$ xảy ra tại $a=b=c=\frac{1}{3}$

Một đề mình đã đọc người ta bảo tìm $MAX$ và $a,b,c$ dương

Ta có bất đẳng thức quen thuộc . 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$

$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}=\frac{ab}{a+c+b+c}+\frac{bc}{b+a+c+a}+\frac{ca}{a+b+c+b}\leq\frac{1}{4}(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b})=\frac{3}{4}$

Sai rồi bạn

$\frac{4ab}{(a+c)(b+c)} \leq \frac{a}{a+c} + \frac{b}{b+c}$

Với lại dấu $"="$ xảy ra tại $a=b=c$ =>$Sum = \frac{1}{4}$

Cho tam giác $ABC$. Trên các cạnh $AB,AC$, dựng ra phía ngoài các tam giác $ABE$,$ACF$ vuông cân tại $A$. Gọi $I$ là trung điểm cạnh $BC$. Chứng minh rằng $AI$ vuông góc $EF$

Hạ $BH$,$CK$ vuông góc $AI$.

=>$BH$=$CK$

Kéo dài $IA$ cắt $EF$ tại D

Ta có$\angle BAI + \angle DAE = 90^{\circ}$

Lại có$\angle BAI + \angle ABH = 90^{\circ}$

=> $\angle ABH = \angle DAE

Tương tự,ta có $\angle CAI =\angle DAF$

Vẽ tam giác $CKM$ = tam giác $BHA$

=>Tam giác $EAF$ = tam giác $MCA$

=>$\angle ABH = \angle FEA$

=>$\angle FEA + \angle EAD =  90^{\circ}$

=>(đpcm)

$\sqrt{\left ( 3+2\sqrt{2} \right )^{n}}+\sqrt{\left ( 3-2\sqrt{2} \right )^{n}}= 6$

$\sqrt{\left ( 3+2\sqrt{2} \right )^{n}}+\sqrt{\left ( 3-2\sqrt{2} \right )^{n}}= 6$

<=>$\sqrt{left(1+\sqrt{2}\right)^{2n}}+\sqrt{left(1-\sqrt{2}\right)^{2n}}=6$

<=>$(1+\sqrt{2}\right)^{n}+(-1+\sqrt{2}\right)^{n}=6$

......

......

=>$n=2$

Cho x,y,z>0 thỏa $x+y+z=xy+yz+zx$. Chứng minh $\frac{(x+y+z)^4}{x^2+y^2+z^2}\geq 27$

x+y+z=xy+xy+zx

Nên (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=x^2+y^2+z^2+2x+2y+2z

=>x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2x-2y-2z

Đặt x+y+z=a,ta có:

x^2+y^2+z^2=a^2--2a;(x+y+z)^3=a^3;

Thay vào BDT ban đầu,ta có:

a^3-27a+54 >=0(a<>0;a<>2)

=>(a-3)(a^2+3a-18)>=0

Xét a>=3,ta có

a-3 >=0;a^2+3a-18>=0;(1)

Xét a<3;a<>2.ta có:

a-3<0;a^2+3a-18<0;(2)

Từ (1),(2) => dpcm

Dấu = xảy ra tại a=3<=>x+y+z=3