My Linh Vietnamese

giúp mình bài tổng quát này với: Cho a,b,c,m,n>0 CMR:

$a^{m+n}+b^{m+n}+c^{m+n}\geq a^{m}b^{n}+b^{m}c^{n}+c^{m}a^{n}$

Có $m.a^{m+n}+n.b^{m+n}\ge (m+n).\sqrt[m+n]{a^{m.(m+n)}.b^{n(m+n)}}=(m+n)(a^m+b^n)$

CMTT

ta có đpcm

Dạng số nguyên tố này nếu phân tích thành nhân tử được thì ép 1 nhân tử =1 rồi thử lại.. 

--> hem bik đúng ko :3

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ thỏa mãn $\widehat{BAC}=60^0$ và $AB<AC$. Lấy $D$ trên cung nhỏ $\widehat{BC}$ sao cho $\widehat{ABC}=2 \widehat{DBC}$. Gọi $E$ là điểm chính giữa của cung lớn $\widehat{BC}$

a. CMR: $\widehat{EAD}=90^0+\frac{\widehat{EDA}}{2}$

b. Hạ $È$ vuông góc $AD$ tại $F$. Gọi $G$ là trung điểm $AD$. CMR: $DE=2FG$

c. Lấy $H$ trên tia $DA$ và $I$ trên tia đối của $AD$ sao cho $AD=3DH=3AI$. CMR: $\widehat{EIH}=2\widehat{EHI}$

Vì $1+ \sqrt{2}$ là một nghiệm của phương trình nên:

$(1+\sqrt{2})^3+a(\sqrt{2}+1)^2+ b(1+\sqrt{2})+1=0$

$\Leftrightarrow 7+ 5\sqrt{2}+ (3+2\sqrt{2})a+(1+\sqrt{2})b+1=0$

$\Leftrightarrow 8+3a+b=-\sqrt{2}(5+2a+b)$

 ◄ Nếu: $5+2a+b\neq 0$ thì $-\sqrt{2}= \frac{8+3a+b}{5+2a+b} \in \mathbb{Q}$ (Do $a,b$ là các số hữu tỷ)  ---> Vô lý vì $\sqrt{2}$ là số vô tỷ!!

  ◄ Nếu $5+2a+b=0$ thì $8+3a+b=9$

Khi đó ta có $\left\{\begin{matrix} 2a+b=-5 & \\ 3a+b=-8& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-3 & \\ b=1 & \end{matrix}\right.$

Thay vào ta được phương trình: $x^3-3x^2+x+1=0$

Phương trình này có nghiệm $x \in \begin{Bmatrix} 1;1+ \sqrt{2};1- \sqrt{2} \end{Bmatrix}$

Bạn phải đánh giá $\sqrt{c-4}\leq \alpha c$ . Khi đó, ta phải làm mất đi số $4$. 

Để mất đi số $4$ thì khi cauchy $c-4$ phải thêm hệ số 4 để khi sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$ thì sẽ được $\frac{c+4-4}{2}$

Như vậy cứ tiếp tục cho mấy cái còn lại nhân thêm hệ số vào trong căn rồi lại chia đi...

Cho hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2-4xy+1=k & \\ y^2-3xy=4 & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng hệ trên có nghiệm $\forall k \in \mathbb{R}$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+ \sqrt{2- \frac{1}{y}}=2 & \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+ \sqrt{2-\frac{1}{x}} =2 & \end{matrix}\right.$

MOD:Lần sau nhớ phải POST đúng BOX

Xét các số nguyên $n$ có thể biểu diễn dưới dạng $n= \frac{2013a^3+2014b^3}{2011c^3+2012d^3}$ với $a,b,c,d$ là 4 số nguyên dương

Hỏi $2015$ có thuộc dãy trên không? Tại sao?

Tham khảo thử bài nì xem, tớ thấy cũng tương tự đó : https://vn.answers.y...05230519AAKONYb

Ap dụng Bunhia ta có $P^2 \le 3(a+b+b+c+c+a)=6\Rightarrow P \le \sqrt{6}$

Tìm $x,y$ thỏa: $x-y+1=2 \sqrt{x-y} - \sqrt{x-2}$

Hãy xét khẳng định sau đúng hay sai với mọi m;n lớn hơn hoặc bằng 1 ta đều có $\left | \frac{m}{n}-\sqrt{2} \right |\geq \frac{1}{n^2\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}$

 

3/ Hãy c/m: 

a/ $(a^{10}+ b^{10})(a^{2}+b^{2}) \geq (a^{8}+b^{8})(a^{4}+b^{4})$ với mọi a, b

 

 $(a^{10}+ b^{10})(a^{2}+b^{2}) \geq (a^{8}+b^{8})(a^{4}+b^{4})$ $\Leftrightarrow a^2b^2(a^2-b^2)^2(a^4+a^2b^2+b^4)\ge 0$ (LĐ)

Không biết đúng không nữa 

 

2/ Cho biểu thức:

P= $\frac{3}{x^{4}-x^{3}+x-1} + \frac{1}{x+1-x^{4}-x^{3}} - \frac{4}{x^{5}-x^{4}+x^{3}-x^{2}+x-1}$

C/m: 0<P<$\frac{32}{9}$ với mọi x khác 1 và -1

 

Rút gọn ta được $P= \frac{2}{x^4+x^2+1}$

Hiển nhiên $P>0$

Xét $\frac{32}{9} -P= \frac{2[(4x^2+2)^2+3]}{9[(x^2+ \frac{1}{2})^2]+ \frac{3}{4}} >0$

nên ta có ĐpCM

Hãy xét khẳng định sau đúng hay sai với mọi m;n lớn hơn hoặc bằng 1 ta đều có $\left | \frac{m}{n}-\sqrt{2} \right |\geq \frac{1}{n^2\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}$

Trước hết ta cần chứng minh $|\frac{1}{n}- \sqrt{2}| \ge \frac{1}{n^2( \sqrt{3}+\sqrt{2})}   $    $(1)$

Thật vậy, vì $n \ge 1$ nên $(1) \Leftrightarrow \sqrt{2}- \frac{1}{n} \ge \frac{\sqrt{3}- \sqrt{2}}{n^2}$   $(2)$

Đặt $t= \frac{1}{n } ( \forall t: 0<t<1)$

$(2) \Leftrightarrow (\sqrt{3}-\sqrt{2})t^2+t- \sqrt{2}\le 0$

$\Leftrightarrow ( \sqrt{3}- \sqrt{2})t (t-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}+1)(t-1)+ \sqrt{3}- 2\sqrt{2}+1 \le 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{3}-2\sqrt{2}+1 \le 0 (true)$

Do đó bất đẳng thức $(1)$ đúng

Vì: $m \ge 1$ nên $| \frac{m}{n}- \sqrt{2}| \ge | \frac{1}{n}- \sqrt{2}|$

Nên ta có $ĐPCM$

Xét thấy dấu bằng không xảy ra