Tuan Hoang Nhat

Năm nay có 1 cựu thành viên VMF tham dự IMO đó là bạn Nguyễn Thế Hoàn ( năm ngoái có đi thi và được VÀNG).  Các mem cùng chúc cho mem vip này nào .

Việt Nam mình có 6 người 2 lần giành HCV rồi, năm nay có lẽ sẽ nâng lên con số 7

Trước tiên em xin chúc cho tất cả các anh dự thi IMO bên Thái Lan sẽ đạt kết quả cao nhất. Em được biết anh Nguyễn Huy Hoàng qua chương trình đường lên đỉnh Olympia, em rất ngưỡng mộ anh ấy. Em chúc anh sẽ giành được HCV ạ! 

Em cũng biết 1 anh qua chương trình đường lên đỉnh Olimpia, không biết phải anh này không

1/ Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn abcd=1. Chứng minh $\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+cd}+\frac{1}{1+d+da}>1$

2/ Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh $1<\frac{a^{2}}{a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{b^{2}+ca}+\frac{c^{2}}{c^{2}+ab}<2$

 

Giải bằng phương pháp làm trội càng tốt ạ.

Câu 1:

Do $abcd=1$ nên có thể đặt: $a=\frac{m}{n};b=\frac{n}{p};c=\frac{p}{q};d=\frac{q}{m}$

Khi đó BĐT trở thành:$\sum \frac{m}{m+n+p}>1$ 

Hiển nhiên đúng vì $\sum \frac{m}{m+n+p}>\sum \frac{m}{m+n+p+q}=1$ 

Ta có: $\frac{a^{2}}{a^{2}+bc}< \frac{a^{2}}{a^{2}+2bc}$

Áp dụng BĐT B.C.S ta có: $\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2bc}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc+2ca+2ab}=1$

$\Rightarrow Q.E.D$

VP:BĐT tương đương với:$\sum \frac{bc}{a^2+bc}>1$

$\sum \frac{bc}{a^2+bc}\geq \frac{(\sum ab)^2}{\sum a^2b^2+abc(a+b+c)}>1$

ò, có điều kiện d $\epsilon$ [0;1] nữa nha

với cả làm dấu bằng xảy ra kìa

Tớ làm dấu bằng rồi mà, khi trong 4 số đó có 3 số bằng 1 và 1 số bằng 0