Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


tritanngo99

Đăng ký: 06-04-2015
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Có bao nhiêu cách phân tích số $15^{9}$ thành tích củ...

Hôm qua, 16:52

Do tính chất giao hoán trong phép nhân, mình nghĩ là 3 số nguyên dương này có vai trò như nhau, đơn cử một trường hợp:
Với $a=x=1$ ta sẽ có bộ $(3^{1}.5^{1};3^{8}.5^{8};3^{0}.5^{0})$
Với $c=z=1$ ta sẽ có bộ $(3^{0}.5^{0};3^{8}.5^{8};3^{1}.5^{1})$
Mà hai bộ này chỉ là một $\rightarrow$ do tính trùng lấp nên kết quả nhỏ hơn nhiều.

Cảm ơn bạn, mình có thể giải quyết lại như sau: KMTTQ, giả sử $0\le a\le b\le c\le 9\implies 3a\le a+b+c=9\implies 0\le a\le 3$.
TH1: Với $a=0\implies b+c=9$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(0;9),(1;8),...(4;5)$. Ta có $5$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn.
TH2: Với $a=1\implies b+c=8$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(1;7),(2;6),...(4;4)$. Ta có $4$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn.(Loại cặp $(0,8)$ trùng trường hợp $1$).
TH3: Với $a=2\implies b+c=7$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(2;5),(3;4)$. Ta có $2$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn..
TH4: Với $a=3\implies b+c=6$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(3;3)$. Ta có $1$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn..
Vậy tóm lại ta có: 5+4+2+1=12 cặp $(a;b;c)$ thỏa mãn.
Tương tự ta có: $12$ cặp $(x;y;z)$ thỏa mãn.
Vậy nên đáp án là: $12^2=144$.

Trong chủ đề: Có bao nhiêu cách phân tích số $15^{9}$ thành tích củ...

19-03-2019 - 19:46

Có bao nhiêu cách phân tích số $15^{9}$ thành tích của ba số nguyên dương (không nhất thiết phải khác nhau)?

Lời giải: Ta có nhận xét rằng các ước của $15^9$ đều có dạng: $3^{p}.5^{q}(p,q\in \mathbb{N})$.

Không mất tính tổng quát, giả sử: $15^9=A.B.C(A,B,C\in \mathbb{N}^{*})$.

Và giả sử rằng $(A;B;C)=(3^{a}.5^{x};3^{b}.5^{y};3^{c}.5^{z})(a,b,c,x,y,z\in \mathbb{N})$.

Khi đó: $15^9=3^{a+b+c}.5^{x+y+z}(1)$.

Mặt khác: $15^9=3^9.5^9(2)$.

Nên từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra được: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.

Tiếp theo ta đi xét bài toán: Tìm các nghiệm nguyên không âm của phương trình: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.

Và theo kết quả bài toán chia kẹo Euler ta có: Số bộ $(a;b;c)$ thỏa mãn là: $C_{9+3-1}^{3-1}=C_{11}^{2}$ và số bộ $(x;y;z)$ thỏa mãn cũng là: $C_{11}^{2}$.

Vậy kết quả cần tìm là: $(C_{11}^{2})^2$


Trong chủ đề: Chứng minh tứ giác MAPB nội tiếp

19-03-2019 - 07:34

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ cắt $(O')$ tại $B$, tiếp tuyến tại $M$ của $(O')$ cắt $(O)$ tại $A$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $N$. Chứng minh tứ giác $MAPB$ nội tiếp.

 

File gửi kèm  cvg.jpg   25.41K   0 Số lần tải

Lời giải: Dễ dàng ta chứng minh được: $\angle{AMN}=\angle{MBN}$ và $\angle{NAM}=\angle{NMB}$ (do tính chất của tiếp tuyến với đường tròn).

Do đó ta suy ra được: $\triangle{AMN}\sim \triangle{MBN}(g.g)\implies \frac{AN}{NM}=\frac{NM}{NB}\implies MN^2=AN.NB(1)$ và $\angle{ANM}=\angle{MNB}(2)$

Lại có: $MN=NP(3)$. Nên từ $(1)(2)(3)$, ta có:

$\left\{\begin{array}{I} NP^2=AN.NB\iff \frac{AN}{NP}=\frac{NP}{NB}\\ \angle{ANM}=\angle{MNB}\implies \angle{ANP}=\angle{PNB}\end{array}\right.$

$\implies \triangle{ANP}\sim \triangle{PNB}(c.g.c)$.

$\implies \angle{BPN}=\angle{PAN}$.

Lúc này ta có: $\angle{APB}+\angle{AMB}=(\angle{APN}+\angle{BPN})+(\angle{AMN}+\angle{NMB})=(\angle{APN}+\angle{PAN})+(\angle{AMN}+\angle{NAM})=\angle{ANM}+\angle{AMN}+\angle{NAM}=180^0$.(do $\angle{ANM}=\angle{APN}+\angle{PAN}$).

Và từ đây ta suy ra được tứ giác $AMBP$ nội tiếp, ta có điều phải chứng minh.


Trong chủ đề: Định thức và ma trận

18-03-2019 - 05:36

Các ví dụ:

410. Đưa về dạng chính tắc phương trình của đường $9x^2+24xy+16y^2-230x+110y-225=0$.

Giải. Phương trình đặc trưng có dạng: $\begin{align*}\begin{vmatrix} (9-\lambda)&12\\12& (16-\lambda)\end{vmatrix}\end{align*}=0$ hay $\lambda^2-25\lambda=0$, tức là $\lambda_1=0,\lambda_2=25$.

  Với $\lambda=0$ ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} 9\xi_1+12\xi_2=0\\ 12\xi_1+16\xi_2=0\end{array}\right.$

 Mỗi phương trình này đều dẫn tới phương trình $\frac{\xi_1}{4}=\frac{\xi_2}{-3}$. Do đó vecto riêng của ma trận là $\vec{r}=\alpha(4\vec{i}-3\vec{j})$, còn vecto riêng chuẩn hóa $\vec{e_1}$ nhận được khi $\alpha=\frac{1}{5}:\vec{e_1}=\frac{4}{5}\vec{i}-\frac{3}{5}\vec{j}$.

Với $\lambda=25$ ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array} -16\xi_1+12\xi_2=0\\ 12\xi_1-9\xi_2=0\end{array}\right.$

 Từ hệ này ta tìm được vecto riêng chuẩn hóa thứ hai $\vec{e_2}=\frac{3}{5}\vec{i}+\frac{4}{5}\vec{j}(\vec{e_1}.\vec{e_2}=0)$.

 Ma trận của phép biến đổi tọa độ có dạng $S=\begin{align*}\begin{pmatrix} \frac{4}{5}&\frac{3}{5}\\ \frac{-3}{5}&\frac{4}{5}\end{pmatrix}\end{align*}(D_s=+1)$;

các công thức biến đổi $x=\frac{4}{5}x'+\frac{3}{5}y',y=\frac{-3}{5}x'+\frac{4}{5}y'$.

 Viết phương trình của đường dưới dạng: $(3x+4y)^2-230x+110y-225=0$ ta đưa về các tọa độ mới: $25y'^2-230(\frac{4}{5}x'+\frac{3}{5}y')+110(\frac{-3}{5}x'+\frac{4}{5}y')-225=0$.

  Sau khi rút gọn các số hạng đồng dạng và giản ước cho $25$, ta đi tới phương trình: $y'^2-10x'-2y'-9=0$.

 Phương trình cuối cùng có thể viết lại dưới dạng $(y'-1)^2=10(x'+1)$. Thực hiện phép tịnh tiến song song các trục, lấy điểm $O'(-1;1)$ làm gốc tọa độ mới. Kết cục ta đi tới phương trình chính tắc của đường đã cho $y''^2=10x''$ (parabôn).

411. Đưa về dạng chính tắc phương trình của mặt $3x^2+5y^2+3z^2-2xy+2xz-2yz-12x-10=0$.

Giải. Trong ví dụ này ma trận của các số hạng bậc cao trong phương trình của mặt có dạng $\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&-1&1\\-1&5&-1\\1&-1&3\end{pmatrix}\end{align*}$ các số đặc trưng của ma trận được xác định từ phương trình: $\begin{align*}\begin{vmatrix} (3-\lambda)&-1&1\\-1&(5-\lambda)&-1\\1&-1&(3-\lambda)\end{vmatrix}\end{align*}=0$ hay $(3-\lambda)(\lambda^2-8\lambda+12)=0$; từ đó ta tìm được $\lambda_1=2,\lambda_2=3,\lambda_3=6$.

 Với $\lambda_2$ ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} u_1-u_2+u_3=0\\ -u_1+3u_2-u_3=0\\ u_1-u_2+u_3=0\end{array}\right.$

Vecto riêng tương ứng với giá trị $\lambda$ này là $(\alpha;0;-\alpha)$. Sau khi chuẩn hóa ta được vecto $\vec{e_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i}-\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{k}$.

 Với $\lambda=3$ ta được hệ: $\left\{\begin{array}{I} -v_2+v_3=0\\ -v_1+2v_2-v_3=0\\ v_1-v_2=0\end{array}\right.$

 Từ đó ta được vecto riêng chuẩn hóa thứ hai $\vec{e_2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}+\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{k}$. Các vecto $\vec{e_1}$ và $\vec{e_2}$ trực giao: $\vec{e_1}.\vec{e_2}=0$.

 Với $\lambda=6$ ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} -3w_1-w_2+w_3=0\\ -w_1-w_2-w_3=0\\ w_1-w_2-3w_3=0\end{array}\right.$

  Vecto riêng chuẩn hóa (thứ ba) tương ứng là $\vec{e_3}=\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{i}-\frac{2}{\sqrt{6}}\vec{j}+\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{k}$ nó trực giao với các vecto $\vec{e_1}$ và $\vec{e_2}:\vec{e_1}.\vec{e_3}=0,\vec{e_2}.\vec{e_3}=0$. Ta được ma trận của phép biến đổi tọa độ: $S=\begin{align*}\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{2}{\sqrt{6}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}\end{align*}$.

Từ đó ta được công thức biến đổi tọa độ: $x=\frac{1}{\sqrt{2}}x'+\frac{1}{\sqrt{3}}y'+\frac{1}{\sqrt{6}}z',y=\frac{1}{\sqrt{3}}y'-\frac{2}{\sqrt{6}}z',z=-\frac{1}{\sqrt{2}}x'+\frac{1}{\sqrt{3}}y'+\frac{1}{\sqrt{6}}z'$.

 Thay các giá trị của $x,y,z$ vào phương trình của mặt; sau khi giản ước ta được: $2x'^2+3y'^2+6z'^2-6\sqrt{2}x'-4\sqrt{3}y'-2\sqrt{6}z'-10=0$.

  Các hệ số của $x'^2,y'^2,z'^2$ phải là các số $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ tương ứng.

Ta viết phương trình dưới dạng $2(x'^2-\frac{6}{\sqrt{2}}x')+3(y'^2-\frac{4}{\sqrt{3}}y')+6(z'^2-\frac{2}{\sqrt{6}z'})=10$.

Sau khi bổ sung các biểu thức trong ngoặc thành các chính phương ta có:

$2(x'-\frac{3}{\sqrt{2}})^2+3(y'-\frac{2}{\sqrt{3}})^2+6(z'-\frac{1}{\sqrt{6}})^2=24$.

 Thực hiện phép tịnh tiến song song các trục tọa độ: $x'=x''+\frac{3}{\sqrt{2}},y'=y''+\frac{2}{\sqrt{3}},z'=z''+\frac{1}{\sqrt{6}}$ và chia phương trình cho $24$ ta đi tới phương trình chính tắc của elipxoit $\frac{x''^2}{12}+\frac{y''^2}{8}+\frac{z''^2}{4}=1$.

412. Cho ma trận: $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 5&8&4\\3&2&5\\7&6&0\end{pmatrix}\end{align*}$. Cần thêm vào ma trận $A$ một ma trận $B$ như thế nào để được ma trận đơn vị?

413. Cho ma trận: $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 2&1&1\\1&2&1\\1&1&1\end{pmatrix}\end{align*}$. Tính tổng $A^2+A+E$.

414. Cho ma trận: $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 10&20&-30\\0&10&20\\0&0&10\end{pmatrix}\end{align*}$

Tìm ma trận nghịch đảo.

415. Cho hai phép biến đổi tuyến tính.

$\left\{\begin{array}{I} x=a_{11}x'+a_{12}y'+a_{13}z'\\ y=a_{21}x'+a_{22}y'+a_{23}z'\\ z=a_{31}x'+a_{32}y'+a_{33}z'\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{I} x'=b_{11}x''+b_{12}y''+b_{13}z''\\ y=b_{21}x''+b_{22}y''+b_{23}z''\\ z=b_{31}x''+b_{32}y''+b_{33}z''\end{array}\right.$

  Thay $x',y',z'$ từ phép biến đổi thứ hai vào phép biến đổi thứ nhất ta được phép biến đổi tuyến tính biểu diễn $x,y,z$ qua $x'',y'',z''$. Chứng minh rằng ma trận của phép biến đổi nhận được bằng tích các ma trận của các phép biến đổi thứ nhất và thứ hai.

416. Tìm các số đặc trưng và các vecto riêng chuẩn hóa tương ứng của ma trận: $\begin{align*}\begin{pmatrix} 7&4\\5&6\end{pmatrix}\end{align*}$

417. Tìm các số đặc trưng và các vecto riêng của ma trận $\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&1&3\\1&5&1\\3&1&1\end{pmatrix}\end{align*}$

418. Đưa về dạng chính tắc phương trình đường bậc hai: $5x^2+6xy+5y^2-16x-16y-16=0$.

419. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} 3x+4y=11\\ 5y+6z=28\\x+2z=7 \end{array}\right.$ bằng cách viết nó dưới dạng phương trình ma trận.

420. Đưa về dạng chính tắc phương trình của đường bậc hai.

$7x^2+16xy-23y^2-14x-16y-218=0$.

421. Đưa về dạng chính tắc phương trình của đường bậc hai.

$x^2+2xy+y^2-8x+4=0$.

422. Đưa về dạng chính tắc phương trình của đường mặt bậc hai.

$x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-6=0$.

Hướng dẫn: các công thức biến đổi tọa độ: $\left\{\begin{array}{I} x=\frac{1}{\sqrt{3}}x'+\frac{1}{\sqrt{6}}y'+\frac{1}{\sqrt{2}}z'\\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x'+\frac{2}{\sqrt{6}}y'\\ z=\frac{1}{\sqrt{3}}x'+\frac{1}{\sqrt{6}}y'-\frac{1}{\sqrt{2}}z'\end{array}\right.$

423. Đưa về dạng chính tắc phương trình của mặt bậc hai $2x^2+y^2+2z^2-2xy-2yz+x-4y-3z+2=0$.

Hướng dẫn: các công thức biến đổi tọa độ:

$\left\{\begin{array}{I} x=-\frac{1}{\sqrt{6}}x'-\frac{1}{\sqrt{2}}y'+\frac{1}{\sqrt{3}}z'\\ y=-\frac{2}{\sqrt{6}}x'-\frac{1}{\sqrt{3}}z'\\ z=-\frac{1}{\sqrt{6}}x'+\frac{1}{\sqrt{2}}y'+\frac{1}{\sqrt{3}}z'\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{I} x'=x''\\ y'=y''+\frac{1}{\sqrt{2}}\\ z'=z''+\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right.$

424. Cho phép biến đổi tuyến tính: $\left\{\begin{array}{I} x=6x'+y'-2z'\\ y=-18x'+2y'+6z'\\ z=2x'+2y'\end{array}\right.$

Những điểm nào có tọa độ tăng gấp đôi qua phép biến đổi này?

425. Cho hai phép biến đổi tuyến tính: $\let\{\begin{array}{I} x=x'+y'+2z'\\ y=x'+2y'+6z'\\ z=2x'+3y'\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{I} x=2x'+2z'\\ x=x'+3y'+4z'\\ z=x'+3y'+2z'\end{array}\right.$

Tìm những điểm mà qua các phép biến đổi này cho cùng một kết quả.

426. Tìm những điểm mà các tọa độ của chúng không đổi qua phép biến đổi tuyến tính: $\left\{\begin{array}{I} x=x'cos \alpha-y'sin \alpha\\ y=x'sin \alpha+y' cos \alpha \end{array}\right.$

427.  Tìm quỹ tích các điểm mà các tọa độ của chúng thay đổi vị trí qua phép biến đổi tuyến tính $\left\{\begin{array}{I} x=x'cos \alpha-y'sin \alpha\\ y=x'sin \alpha+y'cos \alpha\end{array}\right.$.


Trong chủ đề: Những hình dạng của không gian

15-03-2019 - 22:33

Tương tự quang học của bức xạ Hawking

tiasang.com.vn

05/03/2019 15:15 - Cao Chi

Các nhà vật lý đã thực hiện được sự tương tự quang học của bức xạ Hawking. Đây là một tiến bộ lớn nhằm chứng minh bức xạ Hawking là một hiện tượng phổ quát (universal) trong vũ trụ. Bức xạ Hawking không những tồn tại trong Thuyết tương đối rộng (General Relativity GR) mà còn trong nhiều môi trường khác như một dòng chảy, ngưng tụ Bose – Einstein (BEC), sợi quang học… Bài này sẽ giới thiệu về bức xạ Hawking trong Thuyết tương đối rộng, ý tưởng sáng tạo của Unruh (lan truyền âm thanh trong một dòng chảy) và cuối cùng là chuyển động của ánh sáng trong môi trường quang học.

 

Ý tưởng nằm sau ba vấn đề đó là  mở ra những mối liên hệ sâu kín giữa nhiều lĩnh vực của vật lý hiện đại.

1/Bức xạ Hawking trong Thuyết tương đối rộng

Trong Thuyết tương đối rộng tồn tại lỗ đen, lỗ đen có chân trời sự kiện - tức ranh giới có thể đi vào nhưng không thể thoát ra được đối với mọi vật, kể cả ánh sáng (xem hình 1).


2%20cc.jpg
 Hình 1. Chân trời lỗ đen và bức xạ Hawking.


Lỗ đen thực tế không phải đen hoàn toàn. Nhà vật lý lý thuyết lỗi lạc Hawking chứng minh rằng lỗ đen có phát ra bức xạ → đó là bức xạ Hawking.

Những nhiễu loạn chân không trong vùng lân cận của chân trời sự cố làm xuất hiện những cặp hạt, một hạt rơi vào trong lỗ đen còn hạt còn lại bay ra ngoài lỗ đen làm thành bức xạ Hawking.

2/Tương tự hiện tượng Hawking trong môi trường đông đặc

Ý tưởng của Unruh

Lần đầu tiên nhà vật lý Unruh đưa ra ý tưởng bức xạ Hawking có thể xảy ra không phải chỉ trong Thuyết tương đối rộng mà có thể trong một môi trường khác khi xét sự chuyển động âm thanh trong một dòng nước.

Sự bay hơi của lỗ đen là một tiên đoán của Hawking sử dụng Lý thuyết lượng tử trong không gian cong đã gây nhiều ngạc nhiên và kích thích trí tưởng tượng của mọi người. Nhưng hiện tượng này chưa được quan sát thực nghiệm.

Chúng ta chưa có lý thuyết thống nhất hấp dẫn và lượng tử, song ta thấy rằng bức xạ nhiệt không phải là bức xạ riêng của lỗ đen mà đó còn là đặc trưng của nhiều hệ tương tự  lỗ đen. Ví dụ một lỗ âm thanh (dumb hole) hình thành khi vận tốc của một chất lỏng vượt qua vận tốc âm thanh tại một mặt kín. Mặt kín này làm thành chân trời âm thanh tương tự như chân trời lỗ đen. Năm 1981 Unruh (hình 4) đã chứng minh rằng sự lan truyền của sóng âm thanh trong một chất lỏng hoàn toàn tương tự như sự lan truyền của một sóng vô hướng (scalar) trong không thời gian của một lỗ đen.

Hãy tưởng tượng bạn là một con cá và đồng thời là một nhà vật lý sống trong một dòng sông. Trên một điểm của dòng sông có một cái thác dữ dội, tại đó vận tốc nước vượt quá vận tốc âm thanh trong nước. Rõ ràng nếu bạn vượt qua điểm thác nước, bạn sẽ kêu lên tiếng kêu tuyệt vọng song tiếng kêu đó lẽ dĩ nhiên không đến được tai ai đó ở vùng thượng lưu của thác. Tiếng kêu sẽ lan truyền trong nước song nước sẽ xóa mất tiếng kêu tại điểm trên thác vì ở đấy vận tốc nước lớn hơn vận tốc âm thanh. Như vậy nếu bạn tiến đến bề mặt đặc thù đó (bề mặt chân trời) thì tiếng kêu phát ra từ các điểm càng gần bề mặt đó thì càng cần nhiều thời gian để thoát đến một điểm xa bề mặt đó. Đây là hiện tượng tương tự hiện tượng xảy ra trong một lỗ đen. Một vật gì rơi qua bề mặt chân trời của lỗ đen thì không thể phát ra được một tín hiệu có khả năng đi ra vũ trụ bên ngoài chân trời.


3%20cc.jpg
Hình 2.   William George Unruh, nhà vật lý lý thuyết Canada sinh năm 1945 tại Winnipeg,  Manitoba, Canada, tác giả của hiệu ứng Unruh.


Người ta không thể thấy được những vật đã rơi vào lỗ đen cũng như không thể nghe được điều gì từ mọi vật đã rơi vào một lỗ âm thanh (dumb hole- acoustic hole) tương tự.

Lý thuyết minh họa

Một lỗ âm thanh được hình thành khi vận tốc của chất lỏng vượt qua vận tốc âm thanh tại một mặt kín. Mặt kín này tạo thành chân trời âm thanh tương tự như chân trời lỗ đen.

Như trên đã nói năm 1981, Unruh [1] chứng minh  rằng  sự lan truyền sóng âm trong một chất lỏng siêu âm (supersonic) hoàn toàn giống sự lan truyền một sóng vô hướng trong không thời gian lỗ đen.


4%20cc.jpg
Hình 3. Một mô hình đơn giản mô tả chân trời âm thanh. Các véc-tơ biểu diễn tốc độ dòng chảy,véc-tơ càng dài thì tốc độ càng lớn. Chân trời sự cố âm thanh (tương tự của chân trời sự cố lỗ đen) xuất hiện khi tốc độ dòng chảy bằng tốc độ âm thanh.


Như thế dù đã được tiên đoán từ năm 1981 song lỗ đen âm thanh mới chỉ được tạo ra trong phòng thí nghiệm trong những năm 2009-2010.

Theo Unruh, những nhiễu loạn âm thanh lan truyền trong một chất lỏng không đồng nhất đang chảy được mô tả bằng phương trình:

∆Ѱ = ∂μ (√-ggμν ν Ѱ)/-g = 0

Trong đó ν = ▼Ѱ và metric âm thanh (acoutic metric) gμν = g(t, x) điều khiển sự lan truyền sóng âm phụ thuộc vào mật độ, vận tốc dòng chảy và vận tốc định xứ của âm thanh. Metric âm thanh  mô tả hình học Lorentz.

Từ đó có thể suy ra được metric ds2 và so sánh với metric Schwarzschild của một lỗ đen. Chuyển sang lý thuyết lượng tử và tiến hành tính toán tương tự như trong lỗ đen có thể tìm ra nhiệt độ bức xạ Hawking song bây giờ là của các phonon (thay vì photon hay các hạt khác): kTH = ħgH / (2πc).

3/ Bức xạ Hawking trong quang học

Điều đáng chú ý là nhiều hệ vật lý có thể xem như những tương tự (analogue) của lỗ đen. Đặc biệt nhiều kết quả của phương hướng hiện đại QUANG HỌC BIẾN ĐỔI (transformation optics) - tức sự mô tả các hệ quang học bằng hình học không thời gian đã dẫn đến sự mô tả chi tiết các phương pháp tạo nên những chân trời sự cố đối với photon.

Người ta đã sử dụng những xung laser (laser pulse) để tạo nên những chỉ số nhiễu loạn khúc xạ chuyển động (refractive index perturba- tion RIP) để thực hiện hình học không thời gian cong trong quang học. Như chúng ta biết hiện tượng khúc xạ làm thay đối vận tốc của dòng chảy. Vì thế các RIP làm thay đổi vận tốc dòng chảy và tạo nên những lỗ đen (black hole) và những lỗ trắng (white hole).


5%20cc.jpg
Hình 4. Sự hình thành các lỗ đen và lỗ trằng      
Hình 4 mô tả sự hình thành các lỗ đen và lỗ trắng của dòng nước (vận tốc v) còn tương tự dòng âm thanh (sound flow) trong thí nghiệm Unruh  là một chất chảy (vận tốc c, mô tả bởi 2 đường thẳng đen đậm nằm nghiêng) trên dòng nước đó! 
Vận tốc này tạo metric cho dòng nước (ví dụ tạo thác đổ trong thí nghiệm Unruh) và độc lập với dòng âm thanh - sound flow trong thí nghiệm Unruh.
Khi vận tố v=c (xem đường đen đậm bên trái hình)dòng v tăng dần như bị hút bởi một lỗ đen.
Còn khi v=c (xem đường đen đậm bên phải hình) dòng bị chậm dần như bị đẩy ra ngoài bởi một lỗ trắng.
v=vận tốc dòng nước (trong tương tự Unruh),
V=trị số của c tại chân trời sự cố à Cao Chi → Vật lý hiện đại tập I trang 92.
c= vận tốc dòng âm thanh (trong tương tự Unruh)
Tại đầu (leading edge) của RIP) ta có black hole (khi dòng rới vào vùng có khúc xạ nhỏ hơn vận tốc bị gia tăng tại điểm xBH-điểm chân trời của lỗ đen.
Tại  đuôi (trailing edge of RIP) ta có white hole (khi dòng rơi vào vùng có khúc xạ lớn hơn vận tốc bị kìm lại tại điểm xWH –điểm chân trời của lỗ trắng.


Những thí nghiệm

Các nhà vật lý đã đưa ra nhiều ý tưởng thí nghiệm thực hiện tình huống tương tự lỗ đen tuân theo đúng những phương trình cơ bản trong các môi trường đông đặc: khí nguyên tử siêu lạnh, trong các sợi quang học hoặc đơn giản trong các dòng chảy của nước thông thường. Vì không thể trực tiếp quan sát được lỗ đen, các nhà vật lý đã tìm những hiện tượng tương tự có khả năng “bắt chước” cách hành xử của các đối tượng vũ trụ học.

Tồn tại một tập phong phú các hệ vật lý sở hữu hiện tượng tương tự hiện tượng Hawking bắt đầu từ một dòng nước chảy, một ngưng tụ Bose-Einstein đến một nhiễu loạn của hệ số khúc xạ chuyển động RIP (relative index perturbation) trong  điện môi (dielectric).

Nội dung phương pháp sau là sử dụng laser để tạo nên mặt chân trời. Ánh sáng mạnh có khả năng thay đổi hệ số khúc xạ của môi trường vốn điều khiển vận tốc lan truyền của ánh sáng.

Năm 1981, ý tưởng của William Unruh mới chỉ là một ý tưởng thực nghiệm tưởng tượng và bị các nhà vật lý môi trường đông đặc, vật lý nguyên tử, quang học lượng tử bỏ quên. Mãi đến những năm 2009 – 2010, Daniele Faccio (Đại học Heriot-Watt, Edinbourg, Anh) cùng đồng nghiệp ở Đại học Insubria và Franco Belgiorno (Đại học Milan) đề xuất nhiều thí nghiệm  thực hiện sự tương tự hiệu ứng Hawking.

Các nhà vật lý cho rằng họ đã tìm cách tạo nên bức xạ Hawking trong phòng thí nghiệm chứng minh được tiên đoán của Hawking.

Họ đã tạo ra một vùng không gian trong đó các cặp hạt-phản hạt liên tục sinh và hủy. Hiện tượng chân trời không chỉ tồn tại trong các lỗ đen. Bất cứ trong một môi trường trong đó có sóng lan truyền đều có thể tồn tại một chân trời sự cố và người ta có hy vọng quan sát được bức xạ Hawking.

Họ đã tạo ra bức xạ Hawking bằng cách dùng một xung laser cường độ cao xuyên qua một vật liệu  phi tuyến, tức là một vật liệu trong đó ánh sáng có thể làm thay đổi hệ số khúc xạ (refractive index) của môi trường.

Khi xung lượng chuyển động trong vật liệu làm thay đổi hệ số khúc xạ tạo nên một cung sóng trong đó hệ số khúc xạ lớn hơn rất nhiều so với xung quanh. Việc tăng hệ số khúc xạ làm cho ánh sáng dừng lại không vào được vùng cung sóng. Điều này tạo nên một bề mặt chân trời mà ánh sáng không lọt vào được. Các nhà vật lý gọi đó là một lỗ trắng (đối tượng nghịch đảo của lỗ đen, lỗ trắng không cho phép ánh sáng đi vào).

Lỗ trắng không khác gì lỗ đen và ta không khó gì hình dung điều gì sẽ xảy ra cho một cặp hạt ảo ở chân trời lỗ trắng. Nếu một cặp hạt đi qua chân trời thì một hạt sẽ bị bẫy và hạt kia được tự do chuyển động và tạo nên những hạt lượng tử.

Họ đã quan sát được bức xạ Hawking dưới dạng xung hồng ngoại với tần số 850 nm ở góc 90 độ so với xung vào ban đầu  có tần số 1055 nm (xem hình 5). Kết quả thu được cần kiểm nghiệm.

6%20cc.jpg
Hình 5. Sơ đồ thực nghiệm ghi đo hiện tượng tương tự bức xạ Hawking. 
Một xung laser được quy  tiêu điểm vào một khối FS (silica nóng chảy) nhờ thấu kính F. Một thấu kính I tập hợp các photon bức xạ ở góc 90 độ và hường bức xạ vào một phổ kế có kèm CCD (Charge-coupled Device).

 

Kết luận    

Bài này cung cấp thông tin đến bạn đọc về một vấn đề lớn hơn: mối tương tự giữa vũ trụ học và vật lý các môi trường đông đặc.

Có thể nói giữa vũ trụ học và vật lý các môi trường đông đặc có một mối tương tự quan trọng cho phép chúng ta ánh xạ những hiện tượng vũ trụ đến các hiện tượng của môi trường đông đặc (ví như lỗ đen-black hole và lỗ âm thanh - dumb hole, acoustic hole).

Chính bức tranh tương tự này sẽ mở ra những mối liên hệ sâu kín giữa nhiều lĩnh vực của vật lý hiện đại.□

 

Tài liệu tham khảo và chú thích

[1] “First Observation of Hawking Radiation” from the Technology Review

[2] Unruh W. G 1981 Experimental black-hole evaporation?. Phys. Rev. Lett.46, 1351–1353. doi:10.1103/PhysRevLett.46.1351. 

[3] M. Visser, “Acoustic black holes: Horizons, ergospheres, and Hawking radiation,” Class. Quantum Grav. 15, 1767 (1998) [gr-qc/9712010];“Acoustic propagation in fluids: An unexpected exampleof Lorentzian geometry”, gr-qc/9311028;“Acoustic black holes”, gr-qc/9901047.

[4] Jonathan Drori,Yuval Rosenberg, David Bermudez, Yaron Silberberg, and Ulf Leonhardt (Weizmann Institute of Science, Rehovot 7610001, Israel Departamento de FIsica, Cinvestav, A.P. 14-740, 07000 Ciudad de Mexico, Mexico).

Observation of Stimulated Hawking Radiation in an Optical Analogue

(Dated: January 15, 2019)

arXiv:1808.09244v4  [gr-qc]  13 Jan 2019

[5] Daniele Faccio ,Laser pulse analogues for gravity and analogueHawking radiation. School of Engineering and Physical Sciences, SUPA, Heriot-Watt University, Edinburgh,

EH14 4AS, UK. http://dx.doi.org/10...514.2011.642559

[6] F. Belgiorno,  S.L. Cacciatori, M. Clerici,  V. Gorini,G. Ortenzi,  L. Rizzi, E. Rubino, V.G. Sala, D. Faccio, Hawking radiation from ultrashort laser pulse filaments, arXiv:1009.4634v1  [gr-qc]  23 Sep 2010