tritanngo99

Do tính chất giao hoán trong phép nhân, mình nghĩ là 3 số nguyên dương này có vai trò như nhau, đơn cử một trường hợp:
Với $a=x=1$ ta sẽ có bộ $(3^{1}.5^{1};3^{8}.5^{8};3^{0}.5^{0})$
Với $c=z=1$ ta sẽ có bộ $(3^{0}.5^{0};3^{8}.5^{8};3^{1}.5^{1})$
Mà hai bộ này chỉ là một $\rightarrow$ do tính trùng lấp nên kết quả nhỏ hơn nhiều.

Có bao nhiêu cách phân tích số $15^{9}$ thành tích của ba số nguyên dương (không nhất thiết phải khác nhau)?

Lời giải: Ta có nhận xét rằng các ước của $15^9$ đều có dạng: $3^{p}.5^{q}(p,q\in \mathbb{N})$.

Không mất tính tổng quát, giả sử: $15^9=A.B.C(A,B,C\in \mathbb{N}^{*})$.

Và giả sử rằng $(A;B;C)=(3^{a}.5^{x};3^{b}.5^{y};3^{c}.5^{z})(a,b,c,x,y,z\in \mathbb{N})$.

Khi đó: $15^9=3^{a+b+c}.5^{x+y+z}(1)$.

Mặt khác: $15^9=3^9.5^9(2)$.

Nên từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra được: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.

Tiếp theo ta đi xét bài toán: Tìm các nghiệm nguyên không âm của phương trình: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.

Và theo kết quả bài toán chia kẹo Euler ta có: Số bộ $(a;b;c)$ thỏa mãn là: $C_{9+3-1}^{3-1}=C_{11}^{2}$ và số bộ $(x;y;z)$ thỏa mãn cũng là: $C_{11}^{2}$.

Vậy kết quả cần tìm là: $(C_{11}^{2})^2$

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ cắt $(O')$ tại $B$, tiếp tuyến tại $M$ của $(O')$ cắt $(O)$ tại $A$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $N$. Chứng minh tứ giác $MAPB$ nội tiếp.

Lời giải: Dễ dàng ta chứng minh được: $\angle{AMN}=\angle{MBN}$ và $\angle{NAM}=\angle{NMB}$ (do tính chất của tiếp tuyến với đường tròn).

Do đó ta suy ra được: $\triangle{AMN}\sim \triangle{MBN}(g.g)\implies \frac{AN}{NM}=\frac{NM}{NB}\implies MN^2=AN.NB(1)$ và $\angle{ANM}=\angle{MNB}(2)$

Lại có: $MN=NP(3)$. Nên từ $(1)(2)(3)$, ta có:

$\left\{\begin{array}{I} NP^2=AN.NB\iff \frac{AN}{NP}=\frac{NP}{NB}\\ \angle{ANM}=\angle{MNB}\implies \angle{ANP}=\angle{PNB}\end{array}\right.$

$\implies \triangle{ANP}\sim \triangle{PNB}(c.g.c)$.

$\implies \angle{BPN}=\angle{PAN}$.

Lúc này ta có: $\angle{APB}+\angle{AMB}=(\angle{APN}+\angle{BPN})+(\angle{AMN}+\angle{NMB})=(\angle{APN}+\angle{PAN})+(\angle{AMN}+\angle{NAM})=\angle{ANM}+\angle{AMN}+\angle{NAM}=180^0$.(do $\angle{ANM}=\angle{APN}+\angle{PAN}$).

Và từ đây ta suy ra được tứ giác $AMBP$ nội tiếp, ta có điều phải chứng minh.

Các ví dụ:

410. Đưa về dạng chính tắc phương trình của đường $9x^2+24xy+16y^2-230x+110y-225=0$.

Giải. Phương trình đặc trưng có dạng: $\begin{align*}\begin{vmatrix} (9-\lambda)&12\\12& (16-\lambda)\end{vmatrix}\end{align*}=0$ hay $\lambda^2-25\lambda=0$, tức là $\lambda_1=0,\lambda_2=25$.

  Với $\lambda=0$ ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} 9\xi_1+12\xi_2=0\\ 12\xi_1+16\xi_2=0\end{array}\right.$

 Mỗi phương trình này đều dẫn tới phương trình $\frac{\xi_1}{4}=\frac{\xi_2}{-3}$. Do đó vecto riêng của ma trận là $\vec{r}=\alpha(4\vec{i}-3\vec{j})$, còn vecto riêng chuẩn hóa $\vec{e_1}$ nhận được khi $\alpha=\frac{1}{5}:\vec{e_1}=\frac{4}{5}\vec{i}-\frac{3}{5}\vec{j}$.

Với $\lambda=25$ ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array} -16\xi_1+12\xi_2=0\\ 12\xi_1-9\xi_2=0\end{array}\right.$

 Từ hệ này ta tìm được vecto riêng chuẩn hóa thứ hai $\vec{e_2}=\frac{3}{5}\vec{i}+\frac{4}{5}\vec{j}(\vec{e_1}.\vec{e_2}=0)$.

 Ma trận của phép biến đổi tọa độ có dạng $S=\begin{align*}\begin{pmatrix} \frac{4}{5}&\frac{3}{5}\\ \frac{-3}{5}&\frac{4}{5}\end{pmatrix}\end{align*}(D_s=+1)$;

các công thức biến đổi $x=\frac{4}{5}x'+\frac{3}{5}y',y=\frac{-3}{5}x'+\frac{4}{5}y'$.

 Viết phương trình của đường dưới dạng: $(3x+4y)^2-230x+110y-225=0$ ta đưa về các tọa độ mới: $25y'^2-230(\frac{4}{5}x'+\frac{3}{5}y')+110(\frac{-3}{5}x'+\frac{4}{5}y')-225=0$.

  Sau khi rút gọn các số hạng đồng dạng và giản ước cho $25$, ta đi tới phương trình: $y'^2-10x'-2y'-9=0$.

 Phương trình cuối cùng có thể viết lại dưới dạng $(y'-1)^2=10(x'+1)$. Thực hiện phép tịnh tiến song song các trục, lấy điểm $O'(-1;1)$ làm gốc tọa độ mới. Kết cục ta đi tới phương trình chính tắc của đường đã cho $y''^2=10x''$ (parabôn).

411. Đưa về dạng chính tắc phương trình của mặt $3x^2+5y^2+3z^2-2xy+2xz-2yz-12x-10=0$.

Giải. Trong ví dụ này ma trận của các số hạng bậc cao trong phương trình của mặt có dạng $\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&-1&1\\-1&5&-1\\1&-1&3\end{pmatrix}\end{align*}$ các số đặc trưng của ma trận được xác định từ phương trình: $\begin{align*}\begin{vmatrix} (3-\lambda)&-1&1\\-1&(5-\lambda)&-1\\1&-1&(3-\lambda)\end{vmatrix}\end{align*}=0$ hay $(3-\lambda)(\lambda^2-8\lambda+12)=0$; từ đó ta tìm được $\lambda_1=2,\lambda_2=3,\lambda_3=6$.

 Với $\lambda_2$ ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} u_1-u_2+u_3=0\\ -u_1+3u_2-u_3=0\\ u_1-u_2+u_3=0\end{array}\right.$

Vecto riêng tương ứng với giá trị $\lambda$ này là $(\alpha;0;-\alpha)$. Sau khi chuẩn hóa ta được vecto $\vec{e_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i}-\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{k}$.

 Với $\lambda=3$ ta được hệ: $\left\{\begin{array}{I} -v_2+v_3=0\\ -v_1+2v_2-v_3=0\\ v_1-v_2=0\end{array}\right.$

 Từ đó ta được vecto riêng chuẩn hóa thứ hai $\vec{e_2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}+\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{k}$. Các vecto $\vec{e_1}$ và $\vec{e_2}$ trực giao: $\vec{e_1}.\vec{e_2}=0$.

 Với $\lambda=6$ ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} -3w_1-w_2+w_3=0\\ -w_1-w_2-w_3=0\\ w_1-w_2-3w_3=0\end{array}\right.$

  Vecto riêng chuẩn hóa (thứ ba) tương ứng là $\vec{e_3}=\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{i}-\frac{2}{\sqrt{6}}\vec{j}+\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{k}$ nó trực giao với các vecto $\vec{e_1}$ và $\vec{e_2}:\vec{e_1}.\vec{e_3}=0,\vec{e_2}.\vec{e_3}=0$. Ta được ma trận của phép biến đổi tọa độ: $S=\begin{align*}\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{2}{\sqrt{6}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}\end{align*}$.

Từ đó ta được công thức biến đổi tọa độ: $x=\frac{1}{\sqrt{2}}x'+\frac{1}{\sqrt{3}}y'+\frac{1}{\sqrt{6}}z',y=\frac{1}{\sqrt{3}}y'-\frac{2}{\sqrt{6}}z',z=-\frac{1}{\sqrt{2}}x'+\frac{1}{\sqrt{3}}y'+\frac{1}{\sqrt{6}}z'$.

 Thay các giá trị của $x,y,z$ vào phương trình của mặt; sau khi giản ước ta được: $2x'^2+3y'^2+6z'^2-6\sqrt{2}x'-4\sqrt{3}y'-2\sqrt{6}z'-10=0$.

  Các hệ số của $x'^2,y'^2,z'^2$ phải là các số $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ tương ứng.

Ta viết phương trình dưới dạng $2(x'^2-\frac{6}{\sqrt{2}}x')+3(y'^2-\frac{4}{\sqrt{3}}y')+6(z'^2-\frac{2}{\sqrt{6}z'})=10$.

Sau khi bổ sung các biểu thức trong ngoặc thành các chính phương ta có:

$2(x'-\frac{3}{\sqrt{2}})^2+3(y'-\frac{2}{\sqrt{3}})^2+6(z'-\frac{1}{\sqrt{6}})^2=24$.

 Thực hiện phép tịnh tiến song song các trục tọa độ: $x'=x''+\frac{3}{\sqrt{2}},y'=y''+\frac{2}{\sqrt{3}},z'=z''+\frac{1}{\sqrt{6}}$ và chia phương trình cho $24$ ta đi tới phương trình chính tắc của elipxoit $\frac{x''^2}{12}+\frac{y''^2}{8}+\frac{z''^2}{4}=1$.

412. Cho ma trận: $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 5&8&4\\3&2&5\\7&6&0\end{pmatrix}\end{align*}$. Cần thêm vào ma trận $A$ một ma trận $B$ như thế nào để được ma trận đơn vị?

413. Cho ma trận: $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 2&1&1\\1&2&1\\1&1&1\end{pmatrix}\end{align*}$. Tính tổng $A^2+A+E$.

414. Cho ma trận: $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 10&20&-30\\0&10&20\\0&0&10\end{pmatrix}\end{align*}$

Tìm ma trận nghịch đảo.

415. Cho hai phép biến đổi tuyến tính.

$\left\{\begin{array}{I} x=a_{11}x'+a_{12}y'+a_{13}z'\\ y=a_{21}x'+a_{22}y'+a_{23}z'\\ z=a_{31}x'+a_{32}y'+a_{33}z'\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{I} x'=b_{11}x''+b_{12}y''+b_{13}z''\\ y=b_{21}x''+b_{22}y''+b_{23}z''\\ z=b_{31}x''+b_{32}y''+b_{33}z''\end{array}\right.$

  Thay $x',y',z'$ từ phép biến đổi thứ hai vào phép biến đổi thứ nhất ta được phép biến đổi tuyến tính biểu diễn $x,y,z$ qua $x'',y'',z''$. Chứng minh rằng ma trận của phép biến đổi nhận được bằng tích các ma trận của các phép biến đổi thứ nhất và thứ hai.

416. Tìm các số đặc trưng và các vecto riêng chuẩn hóa tương ứng của ma trận: $\begin{align*}\begin{pmatrix} 7&4\\5&6\end{pmatrix}\end{align*}$

417. Tìm các số đặc trưng và các vecto riêng của ma trận $\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&1&3\\1&5&1\\3&1&1\end{pmatrix}\end{align*}$

418. Đưa về dạng chính tắc phương trình đường bậc hai: $5x^2+6xy+5y^2-16x-16y-16=0$.

419. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} 3x+4y=11\\ 5y+6z=28\\x+2z=7 \end{array}\right.$ bằng cách viết nó dưới dạng phương trình ma trận.

420. Đưa về dạng chính tắc phương trình của đường bậc hai.

$7x^2+16xy-23y^2-14x-16y-218=0$.

421. Đưa về dạng chính tắc phương trình của đường bậc hai.

$x^2+2xy+y^2-8x+4=0$.

422. Đưa về dạng chính tắc phương trình của đường mặt bậc hai.

$x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-6=0$.

Hướng dẫn: các công thức biến đổi tọa độ: $\left\{\begin{array}{I} x=\frac{1}{\sqrt{3}}x'+\frac{1}{\sqrt{6}}y'+\frac{1}{\sqrt{2}}z'\\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x'+\frac{2}{\sqrt{6}}y'\\ z=\frac{1}{\sqrt{3}}x'+\frac{1}{\sqrt{6}}y'-\frac{1}{\sqrt{2}}z'\end{array}\right.$

423. Đưa về dạng chính tắc phương trình của mặt bậc hai $2x^2+y^2+2z^2-2xy-2yz+x-4y-3z+2=0$.

Hướng dẫn: các công thức biến đổi tọa độ:

$\left\{\begin{array}{I} x=-\frac{1}{\sqrt{6}}x'-\frac{1}{\sqrt{2}}y'+\frac{1}{\sqrt{3}}z'\\ y=-\frac{2}{\sqrt{6}}x'-\frac{1}{\sqrt{3}}z'\\ z=-\frac{1}{\sqrt{6}}x'+\frac{1}{\sqrt{2}}y'+\frac{1}{\sqrt{3}}z'\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{I} x'=x''\\ y'=y''+\frac{1}{\sqrt{2}}\\ z'=z''+\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right.$

424. Cho phép biến đổi tuyến tính: $\left\{\begin{array}{I} x=6x'+y'-2z'\\ y=-18x'+2y'+6z'\\ z=2x'+2y'\end{array}\right.$

Những điểm nào có tọa độ tăng gấp đôi qua phép biến đổi này?

425. Cho hai phép biến đổi tuyến tính: $\let\{\begin{array}{I} x=x'+y'+2z'\\ y=x'+2y'+6z'\\ z=2x'+3y'\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{I} x=2x'+2z'\\ x=x'+3y'+4z'\\ z=x'+3y'+2z'\end{array}\right.$

Tìm những điểm mà qua các phép biến đổi này cho cùng một kết quả.

426. Tìm những điểm mà các tọa độ của chúng không đổi qua phép biến đổi tuyến tính: $\left\{\begin{array}{I} x=x'cos \alpha-y'sin \alpha\\ y=x'sin \alpha+y' cos \alpha \end{array}\right.$

427.  Tìm quỹ tích các điểm mà các tọa độ của chúng thay đổi vị trí qua phép biến đổi tuyến tính $\left\{\begin{array}{I} x=x'cos \alpha-y'sin \alpha\\ y=x'sin \alpha+y'cos \alpha\end{array}\right.$.

Các bạn giải thích (CHứng minh) chỗ này giúp mình với,mình cảm ơn

Bài toán: Cho đường tròn tâm $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đặt $(BC;CA;AB)=(a;b;c)$ và $p=\frac{a+b+c}{2}$. Chứng minh rằng: $BM=p-AC$.

Lời giải:

Dễ dàng ta chứng minh được: $BM=BP;CM=CN;AN=AP$. (theo tính chất của tiếp tuyến đối với đường tròn).

Khi đó đặt $BM=BP=x,CM=CN=y,AN=AP=z$.

Ta có: $2p=a+b+c=(AP+PB)+(BM+MC)+(CN+NA)=2(x+y+z)$.

$\implies p=x+y+z\implies x=p-(y+z)=p-(CN+NA)=p-AC\iff BM=p-AC$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Không gian mêtric

  Trong toán học, không gian mêtric là một tập hợp mà một khái niệm của khoảng cách (được gọi là mêtric) giữa các phần tử của tập hợp đã được định nghĩa.

Cơ học cổ điển

  Cơ học là ngành khoa học nghiên cứu chuyển động của vật chất trong không gian và tương tác giữa chúng.

Thông thường khi nói đến cơ học người ta hiểu ngầm là cơ học cổ điển, dựa trên cơ sở của các định luật Newton. Cơ học cổ điển nghiên cứu chuyển động của các vật vi mô có vận tốc nhỏ hơn rất nhiều so với vận tốc của ánh sáng, được xây dựng bởi các nhà vật lý như Galileo Galieli, Isaac Newton và các nhà toán học sau này như William Rowan Hamilton, Joseph Louis Lagrange... Chuyển động của các vật thể (các hạt) có vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng được nghiên cứu trong cơ học tương đối , còn chuyển động của các vi hạt được nghiên cứu trong cơ học lượng tử

Cơ học cổ điển là cơ sở cho sự phát triển các ngành khoa học kỹ thuật và công nghệ như:chế tạo máy, xây dựng...

 Lịch sử

  Những viên gạch đầu tiên của bộ môn cơ học dường như được xây nền từ thời Hy Lạp cổ đại . Những kết quả nghiên cứu đầu tiên được ngày nay biết đến là của Archimedes (287-212 TCN). Chúng bao gồm định lý mang tên ông trong thuỷ tĩnh học, khái niệm về khối tâm và nghiên cứu cân bằng của đòn bẩy.

 Cơ học chỉ được đánh thức vào thời ký Phục Hưng ở châu Âu với những tiến bộ vượt bậc vào thế kỷ 16. Trong suốt đêm trường thời Trung Cổ, những lý thuyết ngụy biện của Aristote (384-322 TCN) đã ngăn trở rất nhiều sự đi lên của khoa học đích thực. Vào thời này, chúng ta phải kể đến Leonardo da Vinci (1452-1519) với những nghiên cứu về tĩnh học. Tuy nhiên những tên tuổi lớn nhất của giai đoạn huy hoàng này chính là nhà khoa học người Ba Lan Nicolai Copernic (1473-1543) - người đã phủ nhận mô hình với Trái Đất là trung tâm vũ trụ của Ptolemee (xem thuyết địa tâm) và mô tả những chuyển động đúng đắn của hệ mặt trời, là nhà thiên văn học người Đức Johannes Kepler (1571-1630) - người đã phát biểu ba định luật mang tên ông về sự chuyển động của các hành tinh, là nhà bác học thiên tài người Ý Galileo Galilei (1564-1642). Có thể nói Galileo là ông tổ khai sáng ra động lực học: ông đã đưa ra khái niệm gia tốc, phát biểu vào năm 1632 nguyên lý tương đối Galileo và nguyên lý quán tính. Ông cũng đã nghiên cứu đến rất nhiều những vấn đề khác nhau của cơ học: con lắc, mặt phẳng nghiêng, sự rơi tự do.

Kế tiếp sau đó, sang thế kỉ 17, nhà khoa học người Pháp Blaise Pascal (1623-1662) đã có những nghiên cứu quan trọng về thủy tĩnh học. Nhà vật lý người Hà Lan Christiann Huygens (1629-1695) đã phân tích chuyển động quay, đặc biệt là những dao động của con lắc và đưa ra khái niệm về động năng cũng như về lực hướng tâm. Đặc biệt, nhà bác học người Anh Isaac Newton (1642-1727) đã xuất bản cuốn sách Philosphiae naturalis principia mathematica (Những nguyên lý toán học của triết học tự nhiên) trong đó có nêu lên ba định luật mang tên ông, tạo nên nền tảng của cơ học cổ điển. Chúng ta cũng biết đến Newton với định luật vạn vật hấp dẫn của vũ trụ.

  Thế kỉ 18 được xem như là thế kỉ của cơ học giải tích . Nhà bác học người Thụy Sĩ Leonhard Euler (1707-1783) đã phát biểu những phương trình về cơ học chất lưu. Ông cũng tham gia vào việc xây dựng nên ngành cơ học giải tích cùng với Louis Joseph Lagrange (1736-1813) và Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783).

  Tiếp theo đó, sự phát triển của cơ học cổ điển đã đạt tới giới hạn với những ứng dụng tuyệt vời. Ví dụ như Pierre-Simon Laplace đã cải thiện sự chính sáng về sự ra đời của chuyển động các hành tinh nhờ vào phương pháp nhiễu loạn. Urbain Le Verrier (1811-1877) đã tiên đoán trước sự tồn tại của Sao Hải Vương bằng chính phương pháp này. Ngoài ra, ông cũng đã khám phá ra sự gần lại của cận điểm của Sao Thủy . Tuy nhiên chính kết quả này lại đánh dấu một trong những giới hạn của cơ học Newton: kết quả này chỉ có thể được giải thích dựa vào cơ học tương đối. William Rowan Hamilton (1805-1865) đã đề xuất ra phép khai triển chính được biết đến với tên phương trình Hamilton. Chúng ta cũng có thể kể đến Henri Poincaré (1854-1912) với những đóng góp trong cơ học tính toán.

Không gian Euclide

  Khoảng 300 năm TCN, nhà toán học Hy Lạp Euclide đã tiến hành nghiên cứu các quan hệ về khoảng cách và góc, trước hết trong mặt phẳng và sau đó là không gian. Một trong các ví dụ về các quan hệ hai loại này là: tổng các góc trong một tam giác là 180 độ.

  Ngày nay các quan hệ này được biết dưới tên gọi là hình học Euclid hai hoặc ba chiều.

  Trong ngôn ngữ của toán học hiện đại, khoảng cách và góc đã được tổng quát cho các không gian 4 chiều, 5 chiều và nhiều chiều hơn. Một không gian n-chiều với các khái niệm về khoảng cách và góc thỏa mãn các quan hệ Euclid được gọi là không gian Euclid n chiều.

  Một tính chất quan trọng của không gian là Euclide là "tính phẳng". Trong hình học còn có các không gian khác được gọi là không gian phi Euclide. Chẳng hạn, mặt cầu là không gian phi Euclide; một tam giác trên mặt cầu có tổng các góc trong là lớn hơn 180 độ. Trên thực tế, chỉ có một không gian Euclide ứng với một số chiều, trong khi có thể có nhiều không gian phi Euclide có cùng số chiều. Thông thường các không gian này được xây dựng bằng cách là biến dạng không gian Euclide.

 Hình tượng trực giác

  Một mặt ta hình dung mặt phẳng Euclide là một tập hợp các điểm quan hệ với nhau một cách vững chắc thông qua các biểu thức giữa các khoảng cách và các góc. Cơ bản có hai phép biến đổi quan trọng trên mặt phẳng. Một là phép tịnh tiến, nghĩa là phép di chuyển các điểm của mặt phẳng theo cùng một hướng và một khoảng cách như nhau. Phép biến đổi kia là phép quay quanh một điểm cố định trên mặt phẳng, trong đó mọi điểm trên mặt phẳng quay theo một điểm cố định các góc như nhau. Một trong các tư tưởng chính của hình học Euclide là hai hình (nghĩa là các tập con) của mặt phẳng được xem là bằng nhau nếu có thể di chuyển hình này vào trong hình kia nhờ một số phép tịnh tiến, phép quay và ngược lại. (Xem nhóm Euclide).

 Mặt khác, cần tiến hành các khảo sát tỷ mĩ về toán học, định nghĩa rõ ràng các khái niệm khoảng cách, góc, phép tịnh tiến, phép quay. Con đường chuẩn tắc để làm việc này là phương pháp tiền đề, đó là định nghĩa mặt phẳng Euclide như một không gian vector thực hai chiều với tích vô hướng. Khi đó:

• các vector trong không gian vectơ tương ứng với các điểm của mặt phẳng Euclide,
• phép cộng trong không gian vectơ tương ứng với phép tịnh tiến, còn
• tích vô hướng dẫn xuất tới các khái niệm về khoảng cách và góc, chúng lại được dùng để định nghĩa phép quay.

Xây dựng mặt phẳng Euclide theo cách này có thể dễ dàng mở rộng cho không gian với số chiều tùy ý. Phần lớn các thuật ngữ, công thức và tính toán sẽ không gặp khó khăn gì với số chiều nhiều hơn. (Tuy nhiên, có thể gặp khó khăn đôi chút đối với phép quay trong không gian với số chiều nhiều hơn.)

 Không gian các tọa độ thực

Giả sử $\mathbb{R}$ là ký hiệu của trường các số thực . Với mỗi số nguyên không âm n, không gian của các bộ n số thực tạo thành một không gian vector $n$ chiều trên $\mathbb{R}$, ký hiệu là $\mathbb{R}^{n}$ và thường được gọi là không gian các tọa độ thực. Một phần tử của $\mathbb{R}^{n}$ được viết là

$X=(x_1,x_2,...,x_n)$

trong đó mỗi $x_i$ là một số thực. Các phép toán của không gian vectơ trên $\mathbb{R}^{n}$ được định nghĩa bởi

$x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,...,x_n+y_n)$ $ax=(ax_1,ax_2,...,ax_n)$

Không gian vectơ $\mathbb{R}^{n}$ có một cơ sở chính tắc :

$e_1=(1,0,...,0)$ $e_2=(0,1,...,0)$ ... $e_n=(0,0...,1)$

Một vectơ trong $\mathbb{R}^{n}$có thể được viết dưới dạng

$x=\sum\limits_{i=1}^{n}x_ie_i$

$\mathbb{R}^{n}$ là một ví dụ điển hình của không gian vectơ thực n-chiều; mọi không giạn vectơ thực n-chiều V là đẳng cấu với $\mathbb{R}^{n}$.

  Cấu trúc Euclide

Không gian Euclide cần nhiều thứ hơn không gian với tọa độ thực. Để áp dụng hình học Euclide cần có khái niệm khoảng cách giữa hai điểm và góc giữa hai đường hoặc hai vectơ. Một cách tự nhiên ta sử dụng tích vô hướng chính tắc (còn được gọi là tích chấm trên $\mathbb{R}^{n}$. Tích vô hướng của hai vectơ x và y được định nghĩa bởi

$x.y=\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n$

Kết quả là một số thực. Thêm nữa, tích vô hướng của x với chính nó luôn luôn không âm. Tích này dẫn tới định nghĩa "độ dài" của vectơ x như sau

$|x|=\sqrt{x.x}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2}$

Hàm độ dài này thỏa mãn tính chất của chuẩn và được gọi là chuẩn Euclide trên $\mathbb{R}^{n}$

Góc (không có hướng) θ (0° ≤ θ ≤ 180°) giữa x và y được cho bởi

$\theta= cos^{-1}(\frac{x.y}{|x|.|y|})$

trong đó cos⁻¹ là hàm lượng giác ngược arccos

Cuối cùng, có thể dùng chuẩn để định nghĩa một metric (hay hàm khoảng cách) trên $\mathbb{R}^{n}$ bằng

$d(x,y)=|x-y|=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}$

Khoảng cách này được gọi là khoảng cách Euclide. Nó là hình ảnh của định lý Pytago.

Không gian các tọa độ thực cùng với cấu trúc Euclide được gọi là không gian Euclidean và thường được ký hiệu là $\mathbb{E}^{n}$. (Nhiều tác giả dùng $\mathbb{R}^{n}$ cho cả không gian Euclide). Cấu trúc Euclide làm cho $\mathbb{E}^{n}$ trở thành một không gian với tích vô hướng (hơn nữa là một không gian Hilbert), một không gian vector định chuẩn, và một không gian mêtric.

Phép quay của không gian Euclidean được định nghĩa như phép biến đổi tuyến tính T bảo toàn góc và độ dài:

$T_x.T_y=x.y$ $|T_x|=|x|$

Theo ngôn ngữ ma trận , phép quay là một ma trận trực giao

 Topo của không gian Euclide

Vì không gian Euclide là một không gian metric nó cũng là một không gian topo với topo tự nhiên sinh bởi metric. Tôpô trên $\mathbb{E}^n$ được gọi là tô pô Euclide. Một tập là tập mở trong tôpô Euclide nếu và chỉ nếu nó chứa một hình cầu mở bao quanh mỗi điểm của nó. Tôpô Euclide tương đương với một tô pô tích trên $\mathbb{R}^{n}$ như là tích của n bản sao của đường đẳng thực R (với tôpô chính tắc).

Nguồn: Wikipedia.

Lý thuyết Galois

  Trong toán học, cụ thể hơn là trong đại số trừu tượng, lý thuyết Galois, đặt tên theo Evariste Galois, tạo ra một liên kết giữa lý thuyết trường và lý thuyết nhóm. Sử dụng lý thuyết Galois, một số vấn đề trong lý thuyết trường có thể được chuyển qua lý thuyết nhóm, mà theo một nghĩa nào đó là đơn giản hơn và được hiểu rõ hơn.

  Khởi đầu Galois sử dụng các nhóm hoán vị để mô tả cách thức các nghiệm số của một đa thức cho trước liên quan đến nhau như thế nào. Cách tiếp cận hiện đại với lý thuyết Galois, được Richard Dedekind, Leopold Kronecker và Emil Artin và nhiều khác phát triển, liên quan đến phép tự đẳng cấu của các mở rộng trường.

  Việc trừu tượng hóa lý thuyết Galois được thực hiện bởi lý thuyết về các kết nối Galois.

Nguồn: Wikipedia.

Nhóm Lie

Trong toán học, một nhóm Lie, được đặt tên theo nhà toán học người Nauy là Sophus Lie, là một nhóm( group) cũng là một đa tạp khả vi( trơn)(differentiable manifold), với tính chất là phép toán nhóm tương thích với cấu trúc khả vi. Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển nhất của các đối xứng liên tục. Điều này đã làm nhóm Lie trở thành một công cụ gần như cho tất cả các ngành toán học hiện đại, và vật lý lý thuyết hiện đại, đặc biệt là trong lý thuyết hạt cơ bản.

 Vì nhóm Lie là một đa tạp khả vi, nó có thể được nghiên cứu bằng cách sử dụng giải tích vi phân (differential calculus), điều này không làm được với các nhóm topo tổng quát hơn. Một trong những ý tưởng chính trong lý thuyết về nhóm Lie, đề xuất bởi Sophus Lie, là thay thế cấu trúc toàn cục, nhóm, bằng một phiên bản mang tính địa phương của nó hay còn gọi là phiên bản đã được làm tuyến tính hóa, mà Lie gọi là một nhóm cực nhỏ. Phiên bản này bây giờ được biết đến như là đại số Lie.

 Nhóm Lie đã cung cấp một phương tiện tự nhiên để phân tích các đối xứng liên tục của các phương trình vi phân (lý thuyết Picard - Vessiot), trong một cách thức như các nhóm hoán vị (permutation group) được sử dụng trong lý thuyết Galois để phân tích các đối xứng rời rạc của các phương trình đại số.

Lịch sử ban đầu:

 Theo Hawkins, một sử gia toán học, Sophus Lie tự cho là mùa đông năm 1873-1874 là năm khai sinh lý thuyết nhóm liên tục của ông. Một số ý tưởng ban đầu của Lie được phát triển khi hợp tác chặt chẽ với Felix Klein. Lie khẳng định rằng các kết quả chính đã được chứng minh vào năm 1884. Tuy nhiên, trong suốt những năm 1870 tất cả các bài báo của ông (ngoại trừ các bài đầu tiên) được xuất bản trong các tạp chí bằng tiếng Na Uy, đã làm chậm đi sự công nhận của các công trình của ông trên toàn bộ châu Âu. Vào năm 1884 một nhà toán học trẻ người Đức, Friedrich Engel, đến làm việc với Lie để viết nên một luận án có hệ thống về lý thuyết nhóm liên tục của ông. Từ cố gắng này đã phát sinh ra bộ sách ba tập Theorie der Transformationsgruppen (Lý thuyết của các nhóm biến đổi), xuất bản năm 1888,1890 và 1893.

  Các ý tưởng của Lie không phải là đứng đơn độc so với phần còn lại của toán học. Thật ra, những nghiên cứu của ông về hình học của các phương trình vi phân được khởi nguồn từ các tác phẩm của Carl Gustav Jacobi, về lý thuyết phương trình vi phân riêng phần bậc 1 và các phương trình của cơ học cổ điển. Đa số các tác phẩm của Jacobi được xuất bản sau khi ông qua đời vào những năm 1860, đã được rất nhiều người chú ý ở Pháp và Đức. Ý tưởng ban đầu của Lie là phát triển một lý thuyết về các đối xứng của các phương trình vi phân để đạt đến những điều mà Evarist Galois đã làm được cho các phương trình đại số: nghĩa là, phân loại chúng theo lý thuyết nhóm. Các nguyên nhân khác để nghiên cứu các nhóm liên tục đến từ các ý tưởng của Bernhard Riemann, trên nền tảng của hình học, và các phát triển thêm của Klein. Do đó ba ý tưởng lớn của toán học trong thế kỷ 19 đã được tổng hợp lại bởi Lie để tạo ra lý thuyết mới của ông: ý tưởng của sự đối xứng, đã được làm mẫu bởi Galois thông qua khái niệm đại số của một nhóm; lý thuyết hình học và các lời giải tường minh (explicit) của các phương trình vi phân của cơ học, được tính ra bởi Poisson và Jacobi; các hiểu biết mới về hình học phát triển lên từ công trình của Plucker, Mobius, Grassmann và những người khác, được dồn lại trong các tầm nhìn mang tính cách mạng của Riemann trong ngành này.

   Mặc dù ngày nay Sophus Lie được công nhận một cách đúng đắn là người sáng lập ra lý thuyết về nhóm liên tục, một bước phát triển lớn trong sự phát triển của lý thuyết cấu trúc, mà có nhiều ảnh hưởng lớn đến các phát triển sau này của toán học, được tạo ra bởi Wilhelm Killing, người vào năm 1888 xuất bản bài báo đầu tiên trong chuỗi bài báo nhan đề Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (The composition of continuous finite transformation groups). Các công trình của Killing, say này được tu chỉnh lại và tổng quát hóa bởi Elie Cartan, dẫn đến việc phân loại đại số Lie nửa đơn, lý thuyết của Cartan về các không gian đối xứng, và miêu tả Hermann Weyl về biểu diễn của nhóm Lie compact và nửa đơn sử dụng highest weights.

  Khái niệm về một nhóm Lie, và khả năng phân loại.

  Các nhóm Lie có thể được xem như là họ của các phép đối xứng biến đổi một cách trơn tru. Ví dụ như các phép quay quanh một trục cho trước. Điều cần phải được hiểu là bản chất của các phép biển đổi 'nhỏ' này, ở đây là các phép quay với các góc cực nhỏ, nối kết các phép biến đổi lân cận nhau. Cấu trúc toán học nắm bắt cấu trúc này được gọi là một đại số Lie (mà Lie gọi là "những nhóm cực nhỏ" (infinitesimal groups)). Nó có thể được định nghĩa bởi vì các nhóm Lie là các đa tạp (manifold), và các không gian tiếp tuyến (tangent space) tại từng điểm cũng định nghĩa được.

    Đại số Lie của bất kì một nhóm Lie compact nào (very roughly: one for which the symmetries form a bounded set) cũng có thể được phân tích ra được thành một tổng trực tiếp (direct sum) của một đại số Lie giao hoán và một số nhóm Lie đơn (simple Lie group) khác. Cấu trúc của một đại số Lie abelian là không có gì đáng nói; cái đáng để ý là tổng của các nhóm đơn. Do đó câu hỏi đặt ra là: Các đại số Lie đơn của một nhóm compact là gì? Câu trả lời là hầu hết nó thuộc về 4 gia đình vô hạn, các "đại số Lie cổ điển" $A_n,B_n,C_n$ và $D_n$, và chúng có những mô tả khá đơn giản dưới dạng các phép đối xứng trong không gian Euclide. Nhưng cũng có chỉ 5 "đại số Lie ngoại lệ" không rơi vào bất kì các gia đình này. $E_8$ là gia đình lớn nhất trong các gia đình này.

  Ví dụ: 

Ví dụ, các ma trận khả nghịch $2x2$ định nghĩa trên toàn trường số thực, $\begin{align*}\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\end{align*}$,$ad-bc\ne 0$ tạo thành một nhóm với phép nhân, được ký hiệu bởi $GL_2(\mathbb{R})$,  là một ví dụ cổ điển của một nhóm Lie; nó là một đa tạp trong không gian 4-chiều. Các giới hạn thêm trên các ma trận 2×2 biểu diễn các phép quay cho chúng ta một nhóm con, được ký hiệu là $SO_2(\mathbb{R})$, cũng là một nhóm Lie; mặt đa tạp của đó là 1-chiều, vòng tròn đơn vị, với góc quay là tham số. Trong ví dụ thứ 2 này chúng ta có thể viết một phần tử của nhóm như là $\begin{align*}\begin{pmatrix} cos \lambda&-sin \lambda\\sin \lambda&cos \lambda\end{pmatrix}\end{align*}$, và quan sát rằng phần tử nghịch đảo của phần tử với tham số λ chỉ đơn giản là phần tử với tham số −λ, trong khi phần tử tích của hai phần tử với tham số λ và μ được cho bởi λ+μ; và do đó 2 toán tử của nhóm đều liên tục, như là được yêu cầu.

  Định nghĩa

 Một nhóm Lie thực là một nhóm mà cũng là một đa tạp trơn (smooth manifold) hữu hạn chiều, mà trong đó các phép toán nhân và phép nghịch đảo là các biến đổi trơn.

Có một số khái niệm liên quan khá gần với khái niệm này. Một nhóm Lie phức được định nghĩa một cách tương tự sử dụng đa tạp phức hơn là các đa tạp thực (ví dụ: SL₂(C)), và tương tự người ta có thể định nghĩa được một nhóm Lie p-adic trên các số p-adic. Một nhóm Lie vô hạn chiều được định nghĩa với một cách tương tự với việc cho phép đa tạp ẩn bên dưới định nghĩa được phép vô hạn chiều. Các nhóm ma trận hoặc là nhóm đại số nói một cách nôm na là các nhóm của các ma trận, (ví dụ, nhóm trực giao và nhóm sympletic) đưa ra các ví dụ thường gặp nhất của nhóm Lie.

Có thể định nghĩa tương tự nhiều nhóm Lie trên các trường hữu hạn , và những nhóm này đưa ra các ví dụ của các nhóm đơn hữu hạn. Người ta có thể thay đổi định nghĩa bằng cách sử dụng các đa tạp tô pô hay đa tạp giải tích (topological or analytic manifolds) thay vì các đa tạp trơn, nhưng hóa ra là các định nghĩa này không đưa ra thêm điều gì mới: Gleason, Montgomery và Zippin chứng minh trong những năm của thập kỉ 1950 rằng nếu {\displaystyle G}$G$ là một đa tạp topo với các phép toán trên nhóm liên tục, thì tồn tại chính xác một cấu trúc giải tích trên G để biến đổi nó thành một nhóm Lie (xem bài toán thứ 5 của Hilbert và phỏng đoán Hilbert- Smith).

Ngôn ngữ của lý thuyết phạm trù cung cấp định nghĩa rõ ràng cho nhóm Lie: nhóm Lie là một đối tượng nhóm trong phạm trù các đa tạp trơn. Đây là tính chất quan trọng, do nó cho phép các nhà toán học tổng quát hóa khái niệm nhóm Lie thành siêu nhóm Lie.

  Các ví dụ của các nhóm Lie

Sau đây là một ví dụ của các nhóm Lie và mối quan hệ của chúng đến các ngành khác của toán học và vật lý học.

• Không gian Euclide Rⁿ là một nhóm Lie abelian (với phép cộng vectơ như là phép toán trên nhóm đó).
• Nhóm GL_n(R) của các ma trận khả nghịch (dưới phép nhân ma trận) là một nhóm Lie với số chiều là n², được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát. Nó có nhóm con là SL_n(R) của các ma trận với định thức bằng 1 cũng là một nhóm Lie, được gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt.
• Nhóm trực giao O_n(R) là một nhóm Lie được biểu diễn bởi các ma trận trực giao. Nó bao gồm các phép quay và các phép phản xạ của một không gian vectơ n-chiều. Nó có một nhóm con SO_n(R) của các ma trận với định thức 1, được gọi là nhóm trực giao đặc biệt hay là nhóm quay
• Nhóm Unitary U(n) là một nhóm compact với số chiều n² biểu diễn bởi các ma trận unitary. Nó có một nhóm con SU(n) với các phần tử với định thức bằng 1, được gọi là nhóm unitary đặc biệt.
• Nhóm spin là các phủ kép (double cover) của nhóm trực giao đặc biệt (special orthogonal group), sử dụng trong việc nghiên cứu fermion trong lý thuyết trường lượng tử(quantum field theory)
• Nhóm Sp_2n(R) của tất cả các ma trận bảo toàn một dạng symplectic là một nhóm Lie gọi là nhóm sympletic.
• Các mặt cầu S⁰, S¹, và S³ có thể được làm thành nhóm Lie bằng cách xác định chúng với số thực, số phức, hay quaternion với giá trị 1. Không có mặt cầu nào khác là nhóm Lie. Nhóm Lie S¹ đôi khi được gọi là nhóm hình tròn (circle group).
• Nhóm của các ma trận n nhân n tam giác góc trên (upper triangular n by n matrices) là một nhóm Lie giải được với số chiều bằng n(n + 1)/2.
• Nhóm Lorentz và nhóm Poincare, các isometries của không thời gian, là các nhóm Lie 6 và 10 chiều được sử dụng trong thuyết tương đối hẹp.
• Nhóm Heiseinberg là một nhóm Lie 3 chiều, sử dụng trong cơ học lượng tử.
• Nhóm U(1)×SU(2)×SU(3) là một nhóm Lie có 1+3+8=12 chiều là một nhóm chuẩn( gauge group) của mô hình tiêu chuẩn (standard model), với số chiều tương ứng với 1 phôtn+ 3 vector boson + 8 gluon của mô hình tiêu chuẩn (standard model).
• Nhóm metaplectic là một nhóm Lie 3 chiều là phủ kép của $SL_2(R)$ và được sử dụng trong lý thuyết mdular form. Nó không thể được biểu diễn như các ma trận hữu hạn.
• Nhóm Lie ngoại lệ của kiểu $G_2,F_4,E_6,E_7,E_8$ có số chiều 14, 52, 78, 133, và 248. Cũng có nhóm $E_{7\frac{1}{2}}$ với số chiều 190.

• Nhiều ví dụ khác trong bảng các nhóm Lie và danh sách các nhóm Lie đơn và nhóm ma trận.

  Có vài cách tiêu chuẩn để tạo thành các nhóm Lie mới dựa trên các nhóm cũ:

  • Tích của hai nhóm Lie là một nhóm Lie.
  • Any closed subgroup of a Lie group is a Lie group.
  • The quotient of a Lie group by a closed normal subgroup is a Lie group.
  • The universal cover of a connected Lie group is a Lie group. For example, the group R is the universal cover of the circle group S¹.

  Vài ví dụ các nhóm không phải là nhóm Lie:

  • Nhóm vô hạn chiều, ví dụ như là nhóm dưới phép cộng của một không gian vector vô hạn chiều. Chúng không phải là các nhóm Lie bởi vì chúng không phải là các đa tạp hữu hạn chiều.
  • Một số nhóm hoàn toàn rời rạc (totally disconnected), như là nhóm Galois của một mởi rộng vô hạn của các trường, or the additive group of the số p-adic. These are not Lie groups because their underlying spaces are not real manifolds. (Some of these groups are "p-adic Lie groups".)
  • Nguồn: Wikipedia.

Bài 4(1 điểm): Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{1+a^{2}}}{a}+\frac{\sqrt{1+b^{2}}}{b}-\sqrt{1+c^{2}}< 1$

 

Giúp mình nhé!!! Cảm ơn nhiều!

Ta có: $a+b+c=abc\iff a+b=c(ab-1)\iff c=\frac{a+b}{ab-1}=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{1-\frac{1}{ab}}$.

Đặt $(\frac{1}{a};\frac{1}{b})=(x;y)$ với $x,y>0$.

Khi đó ta có: $c=\frac{x+y}{1-xy}$.

Lại có: $\frac{\sqrt{1+a^2}}{a}+\frac{\sqrt{1+b^2}}{b}-\sqrt{1+c^2}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}+\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}-\sqrt{1+c^2}$

$=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+(\frac{x+y}{1-xy})^2}$.

Lúc này ta cần đi chứng minh: $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+(\frac{x+y}{1-xy})^2}<1$

Thật vậy:

$(1)\iff \sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}<1+\sqrt{1+(\frac{x+y}{1-xy})^2}$.

$\iff \sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}<1+\sqrt{\frac{1+x^2+y^2+x^2y^2}{(1-xy)^2}}$.

$\iff \sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}<1+\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{(1-xy)^2}}$

Thật vậy: Do $0<1-xy<1$ nên $1+\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{(1-xy)^2}}>1+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}$.

Mặt khác: $\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}+1>\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\iff (\sqrt{1+x^2}-1)(\sqrt{1+y^2}-1)>0$.

Do đó ta có điều phải chứng minh.

PHẦN 3: ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG VÀ MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC.

Các biểu thức dạng: $a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2$ và $a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz$ gọi là dạng toàn phương ứng với hai và ba biến.

 Các ma trận đối xứng: $A_{2}^{(2)}=\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\end{align*}$, trong đó $a_{12}=a_{21}$ và $A_{3}^{(3)}\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\end{align*}$, trong đó $a_{21}=a_{12},a_{31}=a_{13},a_{32}=a_{23}$ gọi là các ma trận của các dạng này. 

   Nhờ phép biến đổi tuyến tính của các biến ta có thể đưa các dạng toàn phương về các dạng không chứa tích của các biến mới (như người ta nói, đưa về tổng đại số của các bình phương); nói cách khác, dạng toàn phương của hai biến có thể đưa về dạng: $\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2$, còn dạng toàn phương của ba biến có thể đưa về dạng: $\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2$.

  Khi đó các hệ số $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ chín là các số đặc trưng của ma trận của dạng tương ứng.

  Phép biến đổi tuyến tính tương ứng của các biến có thể tìm như sau: ta xác định ba (đối với dạng toàn phương hai biến là hai) vector riêng chuẩn hóa trực giao giao từng cặp, tương ứng với các số đặc trưng $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$: $\left\{\begin{array}{I}\vec{e_1}=\alpha_1\vec{i}+\beta_1\vec{j}+\gamma_1\vec{k}\\ \alpha_2\vec{i}+\beta_2\vec{j}+\gamma_2\vec{k}\\ \alpha_3\vec{i}+\beta_3\vec{j}+\gamma_3\vec{k}\end{array}\right.$

  Do tính chuẩn và trực giao của các vector $\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}$, cần phải thỏa mãn các đồng nhất thức: $\alpha_i^2+\beta_i^2+\gamma_i^2=1,i=1,2,3;\alpha_i\alpha_j+\beta_i\beta_j+\gamma_i\gamma_j=0,i,j=1,2,3,i\ne j$.

Khi đó ma trận của phép biến đổi có dạng: $S=\begin{align*}\begin{pmatrix} \alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \beta_1&\beta_2&\beta_3\\ \gamma_1&\gamma_2&\gamma_3\end{pmatrix}\end{align*}$; nói cách khác, cần phải đặt: $\left\{\begin{array}{I}x=\alpha_1x'+\alpha_2y'+\alpha_3z'\\ y=\beta_1x'+\beta_2y'+\beta_3z'\\ x=\gamma_1x'+\gamma_2y'+\gamma_3z'\end{array}\right.$

  (Đối với trường hợp hai biến tất cả các công thức tương ứng đều được rút gọn). Phép biến đổi tuyến tính như vậy của các biến mang tên là phép biến đổi tuyến tính trực giao: đối với phép biến đổi ấy định thức của ma trận $S$ bằng $\pm 1:D_s=\pm 1$.

  Phép biến đổi tuyến tính trực giao được sử dụng để đưa phương trình tổng quát của đường hay mặt bậc hai về dạng chính tắc, khi đó nếu muốn giữ nguyên cách định hướng trong hỗ của các trục tọa độ mới ta phải đặt thêm điều kiện phụ cho ma trận $S$ của phép biến đổi: $D_s=+1$.

 - Việc đưa phương trình của đường hay mặt bậc hai về dạng chính tắc được tiến hành như sau:

a) tìm phép biến đổi tuyến tính trực giao của các tọa độ để đưa dạng toàn phương của các số hạng bậc cao của phương trình đường hay mặt về tổng các bình phương và thực hiện phép thay biến tương ứng trong phương trình; kết quả của phép biến đổi này là loại khỏi phương trình các số hạng chứa tích của các tọa độ;

b) sau đó thực hiện phép tịnh tiến song song các trục tọa độ mới (trong không gian đôi khi phải thực hiện thêm phép quay hai trục trong một mặt phẳng tọa độ) để đưa phương trình về dạng chính tắc cần thiết.

Các ví dụ: Đưa về dạng chính tắc phương trình đường bậc hai: $5x^2+4xy+8y^2-32x-56y+80=0$.

Giải. Trong trường hợp này ma trận của các số hạng bậc cao có dạng: $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 5&2\\2&8\end{pmatrix}\end{align*}$

  Ta lập phương trình đặc trưng của ma trận: $\begin{align*}\begin{vmatrix} 5-\lambda&2\\ 2&8-\lambda\end{vmatrix}\end{align*}=0$ nghĩa là $\lambda^2-13\lambda+36=0$.

  Ta được các số đặc trưng $\lambda_1=4,\lambda_2=9$. Đặt $\lambda_1=4$, để xác định vector riêng tương ứng ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} \xi_1+2\xi_2=0\\ 2\xi_1+4\xi_2=0\end{array}\right.$

Từ đó $\xi_1=-2\xi_2$; đặt $\xi_2=-\alpha$ ta được $\xi_2=2\alpha$ và $\vec{r_1}=\alpha(2\vec{i}-\vec{j})$. Chuẩn hóa vector $\vec{r_1}:\vec{e_1}=\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{i}-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{j}$.

Đặt $\lambda_2=9$, để xác định vecto riêng thứ hai ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{I} -4\xi_1+2\xi_2=0\\ 2\xi_1-\xi_2=0\end{array}\right.$

Từ đó $\xi_2=2\xi_1$ và $\vec{r_2}=\beta(\vec{i}+2\vec{j})$. Chuẩn hóa, ta được: $\vec{e_2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{i}+\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{j}$.

Các vector $\vec{e_1}$ và $\vec{e_2}$ trực giao: $\vec{e_1}.\vec{e_2}=0$.

  Ta dùng các vector riêng trực chuẩn để xây dựng ma trận của phép biến đổi tọa độ.

$S=\begin{align*}\begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}}& \frac{1}{\sqrt{5}}\\ \frac{-1}{\sqrt{5}}& \frac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}\end{align*};D_s=+1$.

Từ đó $x=\frac{2}{\sqrt{5}}x'+\frac{1}{\sqrt{5}}y',y=\frac{-1}{\sqrt{5}}x'+\frac{2}{\sqrt{5}}y'$.

Thay các giá trị của $x$ và $y$ vào phương trình của đường:

$5(\frac{2}{\sqrt{5}}x'+\frac{1}{\sqrt{5}}y')^2+4(\frac{2}{\sqrt{5}}x+\frac{1}{\sqrt{5}}y').(\frac{-1}{\sqrt{5}}x'+\frac{2}{\sqrt{5}}y')+8(\frac{-1}{\sqrt{5}}x'+\frac{2}{\sqrt{5}}y')^2-32(\frac{2}{\sqrt{5}}x'+\frac{1}{\sqrt{5}}y')-56(\frac{-1}{\sqrt{5}}x'+\frac{2}{\sqrt{5}}y')+80=0$, sau khi phá ngoặc và rút gọn các số hạng đồng dạng ta được: $4x'^2+9y'^2-\frac{8}{\sqrt{5}}x'-\frac{144}{\sqrt{5}}y'+80=0$.

  Bạn đọc lưu ý rằng trong phương trình đã được biến đổi các hệ số của $x'^2+y'^2$ chính là các số đặc trưng $\lambda_1$ và $\lambda_2$. Ta viết phương trình dưới dạng $4(x'^2-\frac{2}{\sqrt{5}}x')+9(y'^2-\frac{16}{\sqrt{5}}y')+80=0$.

  Bổ sung các biểu thức trong ngoặc thành những chính phương: $4(x'^2-\frac{2}{\sqrt{5}}x'+\frac{1}{5}-\frac{1}{5})+9(y'^2-\frac{16}{\sqrt{5}}y'+\frac{64}{5}-\frac{64}{5})+80=0$.

hay $4(x'-\frac{1}{\sqrt{5}})^2-\frac{4}{5}+9(y'-\frac{8}{\sqrt{5}})^2-\frac{576}{5}+80=0$, cuối cùng ta được $4(x'-\frac{1}{\sqrt{5}})^2+9(y'-\frac{8}{\sqrt{5}})^2=36$.

 Thực hiện phép tịnh tiến song song các trục tọa độ bằng cách đặt $x''=x'-\frac{1}{\sqrt{5}},y''=y'-\frac{8}{\sqrt{5}}$

ta được: $4x''^2+9y''^2=36$ hay $\frac{x''^2}{9}+\frac{y''^2}{4}=1$.

 (phương trình chính tắc của elip).

Các ví dụ:

394. Tìm tổng của các ma trận.

$A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&5&7\\ 2&-1&0\\ 4&3&2\end{pmatrix}\end{align*}$ và $B=\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&2&4\\2&3&-2\\-1&0&1\end{pmatrix}\end{align*}$.

Giải. Ta có: $A+B=\begin{align*}\begin{pmatrix} 3+1&5+2&7+4\\ 2+2&-1+3&0-2\\4-1&3+0&2+1\end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix} 4&7&11\\ 4&2&-2\\ 3&3&3\end{pmatrix}\end{align*}$.

395. Tìm ma trận $2A+5B$ nếu $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&5\\4&1\end{pmatrix}\end{align*}$, $B=\begin{align*}\begin{pmatrix} 2&3\\1&-2\end{pmatrix}\end{align*}$

Giải. Ta có:

$2A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 6&10\\8&2\end{pmatrix}\end{align*}$,$5B=\begin{align*}\begin{pmatrix} 10&15\\5&-10\end{pmatrix}\end{align*}$,$2A+5B=\begin{align*}\begin{pmatrix} 16&25\\13&-8\end{pmatrix}\end{align*}$

396. Tìm tích $AB$ và $BA$ nếu: $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&3&1\\2&0&4\\1&2&3\end{pmatrix}\end{align*}$ và $B=\begin{align*}\begin{pmatrix} 2&1&0\\1&-1&2\\3&2&1\end{pmatrix}\end{align*}$

Giải. Ta có:

$AB=\begin{align*}\begin{pmatrix} 1.2+3.1+1.3&1.1+3(-1)+1.2&1.0+3.2+1.1\\2.2+0.1+4.3&2.1+0(-1)+4.2&2.0+0.2+4.1 \\1.2+2.1+3.3&1.1+2(-1)+3.2&1.0+2.2+3.1 \end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix} 8&0&7\\16&10&4\\13&5&7\end{pmatrix}\end{align*}$

Tương tự ta có: $BA=\begin{align*}\begin{pmatrix} 4&6&6\\1&7&3\\8&11&14\end{pmatrix}\end{align*}$

397. Tìm $A^3$ nếu $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&2\\1&4\end{pmatrix}\end{align*}$

Giải. 

Ta được: $A^2=\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&2\\1&4\end{pmatrix}\end{align*}$.$\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&2\\1&4\end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix} 11&14\\7&18\end{pmatrix}\end{align*}$

$A^3=\begin{align*}\begin{pmatrix} 11&14\\7&8\end{pmatrix}\end{align*}$.$\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&2\\1&4\end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix} 47&78\\39&86\end{pmatrix}\end{align*}$

398. Cho phép biến đổi tuyến tính: $\left\{\begin{array}{I} x=x'+y'+z'\\y=x'+y'\\z=x'\end{array}\right.$ và cho các điểm trong hệ tọa độ $\left\{x',y',z'\right\}$:$(1;-1;1),(3;-2;-1),(-1;-2;-3)$. Xác định tọa độ các điểm này trong hệ $\left\{x,y,z\right\}$.

Giải. Thay tọa độ các điểm vào các đẳng thức xác định phép biến đổi tuyến tính đã cho ta được: nếu $x'=1,y'=-1,z'=1$ thì $x=1,y=0,z=1$, tức là $(1;0;1)$; nếu $x'=3,y'=-2,z'=-1$ thì $x=0,y=1,z=3$, tức là $(0;1;3)$; nếu $x'=-1,y'=-2,z'=-3$ thì $x=-6,y=-3,z=-1$ tức là $(-6;-3;-1)$.

399. Viết phép biến đổi tuyến tính ở ví dụ trên để đưa từ tọa độ $\left\{x,y,z\right\}$ về tọa độ $\left\{x',y',z'\right\}$.

Giải. Ta có: $x'=z$ (từ đẳng thức thứ ba); $y'=y-z$(trừ đẳng thức thứ hai cho đẳng thức thứ ba); $z'=x-y$(trừ đẳng thức thứ nhất cho đẳng thức thứ hai).

400. Cho phép biến đổi tuyến tính: $x=x'+2y';y=3x'+4y'$. Những điểm nào có tọa độ không đổi qua phép biến đổi này?

Giải. Cần tìm $x$ và $y$ sao cho $x=x',y=y'$ hay $x=x+2y,y=3x+4y$. Do đó $x=x'=0,y=y'=0$.

401. Những điểm nào có tọa độ không đổi qua phép biến đổi tuyến tính $x=3x'-2y',y=5x'-4y'?$

Giải. Ta có: $x=3x-2y,y=5x-4y$. Do đó $x=y=x'=y'$, nghĩa là phép biến đổi tuyến tính không làm thay đổi tọa độ của các điểm $(t;t)$ có các tọa độ giống nhau.

402. Tìm giá trị của đa thức ma trận $2A^2+3A+5E$ với $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&1&2\\ 1&3&1\\ 4&1&1\end{pmatrix}\end{align*}$ và $E$ là ma trận đơn vị cấp ba.

Giải. Ta có: $A^2=\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&1&2\\ 1&3&1\\ 4&1&1\end{pmatrix}\end{align*}$.$\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&1&2\\ 1&3&1\\ 4&1&1\end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix} 10&6&5\\ 8&11&6\\ 9&8&10\end{pmatrix}\end{align*}$

$2A^2=\begin{align*}\begin{pmatrix} 20&12&10\\ 16&22&12\\ 18&16&20\end{pmatrix}\end{align*}$,$3A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&3&6\\ 3&9&3\\ 12&3&3\end{pmatrix}\end{align*}$

$5E=5.\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix} 5&0&0\\ 0&5&0\\ 0&0&5\end{pmatrix}\end{align*}$

$2A^2+3A+5E=\begin{align*}\begin{pmatrix} 28&15&16\\ 19&36&15\\ 30&19&28\end{pmatrix}\end{align*}$

403. Cho hai phép biến đổi tuyến tính.

$\left\{\begin{array}{I} x=a_{11}x'+a_{12}y'\\y=a_{21}x'+a_{22}y' \end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{I} x'=b_{11}x''+b_{12}y''\\y'=b_{21}x''+b_{22}y'' \end{array}\right.$

 Thay $x'$ và $y'$ từ phép biến đổi thứ hai vào phép biến đổi thứ nhất, ta nhận được phép biến đổi tuyến tính biểu diễn $x$ và $y$ qua $x''$ và $y''$. Chứng minh rằng ma trận của phép biến đổi nhận được bằng tích các ma trận của phép biến đổi thứ nhất và phép biến đổi thứ hai.

Giải. Ta có:

$\left\{\begin{array}{I} x=a_{11}(b_{11}x''+b_{12}y'')+a_{12}(b_{21}x''+b_{22}y'')=(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})x''+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})y''\\ y=a_{21}(b_{11}x''+b_{12}y'')+a_{22}(b_{21}x''+b_{22}y'')=(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})x''+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})y'' \end{array}\right.$

  Ma trận của phép biến đổi tuyến tính nhận được có dạng: $\begin{align*}\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{pmatrix}\end{align*}$

nhưng ma trận này là tích các ma trận: $\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\end{align*}$ và $\begin{align*}\begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}\end{align*}$

404. Cho ma trận $\begin{align*}\begin{pmatrix} 5&2\\4&3\end{pmatrix}\end{align*}$. Tìm các số đặc trưng vector riêng của nó.

Giải. Ta lập phương trình đặc trưng $\begin{align*}\begin{vmatrix} 5-\lambda&2\\4&3-\lambda\end{vmatrix}\end{align*}=0$ hay $(5-\lambda)(3-\lambda)-8=0$ nghĩa là $\lambda^2-8\lambda+7=0$. Các số đặc trưng là $\lambda_1=1,\lambda_2=7$. Vector riêng tương ứng với số đặc trưng $\lambda_1$ tìm được từ hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} (5-\lambda_1)\xi_1+2\xi_2=0\\ 4\xi_1+(3-\lambda_1)\xi_2=0\end{array}\right.$

vì $\lambda_1=1$ nên $\xi_1$ và $\xi_2$ liên hệ với nhau bởi hệ thức $2\xi_1+\xi_2=0$. Đặt $\xi_1=\alpha$ ($a$ là số tùy ý) ta được $\xi=-2\alpha$ và vector riêng tương ứng với số đặc trưng $\lambda_1=1$ là vector $\vec{r_1}=\alpha\vec{i}-2\alpha\vec{j}$.

  Để tìm vector riêng thứ hai, ta có: $\left\{\begin{array}{I} (5-\lambda_2)\xi_1+2\xi_2=0\\ 4\xi_1+(3-\lambda_2)\xi_2=0\end{array}\right.$

 Thay giá trị $\lambda_2=7$ ta được hệ thức $\xi_1-\xi_2=0$, nghĩa là $\xi_1=\xi_2=\beta$. Vector riêng ứng với số đặc trưng $\lambda_2$ là $\vec{r_2}=\beta\vec{i}+\beta\vec{j}$.

405. Tìm các số đặc trưng và các vector riêng của ma trận $\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&-1&1\\ -1&5&-1\\ 1&-1&3\end{pmatrix}\end{align*}$

Giải. Ta lập phương trình đặc trưng: $\begin{align*}\begin{vmatrix} 3-\lambda&-1&1\\ -1&5-\lambda&-1\\ 1&-1&3-\lambda\end{vmatrix}\end{align*}=0$

hay $ơ(3-\lambda)(5-\lambda)(3-\lambda)-1]+(-3+\lambda+1)+(1-5+\lambda)=0$

  Sau các biến đổi đơn giản phương trình đưa về dạng: $(3-\lambda)(\lambda^2-8\lambda+12)=0$ từ đó $\lambda_1=2,\lambda_2=3,\lambda_3=6$.

  Ta tìm vector riêng tương ứng với số đặc trưng $\lambda_1=2$.

Từ hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} \xi_1-\xi_2+\xi_3=0\\ -\xi_1+3\xi_2-\xi_3=0\\ \xi_1-\xi_2+\xi_3=0\end{array}\right.$.

( một trong các phương trình của hệ này là hệ quả của hai phương trình kia và có thể bỏ đi) ta thấy rằng $\xi_2=0,\xi_3=-\xi_1$. Đặt $\xi_1=\alpha$, khi đó $\xi_2=0,\xi_3=-\alpha$ và $\vec{r_1}=\alpha\vec{i}-\alpha\vec{k}$.

  Để tìm vector riêng tương ứng với giá trị $\lambda_2=3$, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} -\xi_2+\xi_3=0\\ -\xi_1+2\xi_2-\xi_3=0\\ \xi_1-\xi_2=0\end{array}\right.$.

(một trong các phương trình này là hệ quả của hai phương trình kia). Từ đó ta được: $\xi_1=\xi_2=\xi_3=\beta$ và $\vec{r_2}=\beta\vec{i}+\beta\vec{j}+\beta\vec{k}$

  Để tìm vector riêng tương ứng với $\lambda_3=6$, ta lập hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} -3\xi_1-\xi_2+\xi_3=0\\ -\xi_1-\xi_2-\xi_3=0\\\xi_1-\xi_2-3\xi_3=0\end{array}\right.$

(một trong các phương trình là hệ quả của hai phương trình kia). Giải hệ ta được: $\xi_1=\gamma,\xi_2=-2\gamma,\xi_3=\gamma$ và $\vec{r_3}=\gamma \vec{i}-2\gamma\vec{j}+\gamma\vec{k}$.

Vậy, các vector riêng của ma trận đã cho là: $\vec{r_1}=\alpha(\vec{i}-\vec{k}),\vec{r_2}=\beta(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k});\vec{r_3}=\gamma(\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k})$, trong đó $\alpha,\beta,\gamma$ là các số tùy ý khác không.

406. Cho ma trận $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&2&2\\1&3&1\\5&3&4 \end{pmatrix}\end{align*}$. Tìm ma trận nghịch đảo.

Giải. Ta tính định thức ma trận $A:D_A=\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&2&2\\1&3&1\\5&3&4\end{vmatrix}\end{align*}$=$27+2-24=5$.

Tìm các phần phụ đại số của các phần tử của thức này: 

$A_{11}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&1\\3&4 \end{vmatrix}\end{align*}=9$,$A_{21}=-\begin{align*}\begin{vmatrix} 2&2\\3&4 \end{vmatrix}\end{align*}=-2$,$A_{31}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 2&2\\3&1 \end{vmatrix}\end{align*}=-4$,$A_{12}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1\\5&4 \end{vmatrix}\end{align*}=1$,$A_{22}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&2\\5&4 \end{vmatrix}\end{align*}=2$,$A_{32}=-\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&2\\1&1\end{vmatrix}\end{align*}=-1$,$A_{13}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&3\\5&3 \end{vmatrix}\end{align*}=-12$,$A_{23}=-\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&2\\5&3 \end{vmatrix}\end{align*}=1$,$A_{33}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&2\\1&3 \end{vmatrix}\end{align*}=7$.

Do đó: $A^{-1}=\begin{align*}\begin{pmatrix} \frac{9}{5}&\frac{-2}{5}&\frac{-4}{5}\\ \frac{1}{5}&\frac{2}{5}&\frac{-1}{5}\\\frac{-12}{5}&\frac{1}{5}&\frac{7}{5} \end{pmatrix}\end{align*}$

407. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} 2x+3y+2z=9\\x+2y-3z=14\\ 3x+4y+z=16 \end{array}\right.$

bằng cách biểu diễn nó dưới dạng phương trình ma trận.

Giải. Ta viết hệ phương trình dưới dạng $A.X=B$, trong đó: $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 2&3&2\\1&2&-3\\3&3&1 \end{pmatrix}\end{align*}$,$x=\begin{align*}\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\end{align*}$,$B=\begin{align*}\begin{pmatrix} 9\\14\\16 \end{pmatrix}\end{align*}$

 Nghiệm của phương trình ma trận có dạng $X=A^{-1}B$. Ta tìm $A^{-1}$. Ta có: 

$D_A=\begin{align*}\begin{vmatrix} 2&3&2\\1&2&-3\\3&4&1 \end{vmatrix}\end{align*}=28-30-4=-6$.

Ta tính các phần phụ đại số của các phần tử của định thức này $A_{11}=\begin{align*}\begin{vmatrix}2&-3\\4&1\end{vmatrix}\end{align*}=14$,$A_{21}=-\begin{align*}\begin{vmatrix}3&2\\4&1\end{vmatrix}\end{align*}=5$,$A_{31}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&2\\2&-3\end{vmatrix}\end{align*}=-13$,$A_{12}=-\begin{align*}\begin{vmatrix}1&-3\\3&1\end{vmatrix}\end{align*}=-10$,$A_{22}=\begin{align*}\begin{vmatrix}2&2\\3&1\end{vmatrix}\end{align*}=-4$,$A_{32}=-\begin{align*}\begin{vmatrix}2&2\\1&-3\end{vmatrix}\end{align*}=8$,$A_{13}=\begin{align*}\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\end{align*}=-2$,$A_{23}=-\begin{align*}\begin{vmatrix}2&3\\3&4\end{vmatrix}\end{align*}=1$,$A_{33}=\begin{align*}\begin{vmatrix}2&3\\1&2\end{vmatrix}\end{align*}=1$.

Do đó: $A^{-1}=\frac{-1}{6}\begin{align*}\begin{pmatrix}14&5&-13\\-10&-4&8\\-2&1&1\end{pmatrix}\end{align*}$

từ đó: $X=\frac{-1}{6}\begin{align*}\begin{pmatrix}14&5&-13\\-10&-4&8\\-2&1&1\end{pmatrix}\end{align*}$.$\begin{align*}\begin{pmatrix} 9\\14\\16\end{pmatrix}\end{align*}$=$\frac{-1}{6}\begin{align*}\begin{pmatrix}126+70-208\\-90-56+128\\-18+14+16\end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}\end{align*}$

Do đó $x=2,y=3,z=-2$.

408. Chuẩn hòa vector $\vec{x}=3\vec{i}+4\vec{j}+12\vec{k}$.

Giải. Chuẩn hóa vector $\vec{x}=\xi_1\vec{i}+\xi_2\vec{j}+\xi_3\vec{k}$ có nghĩa là tìm vector đơn vị cùng hướng. Vector như thế sẽ là: $\vec{x_0}=\frac{\xi_1\vec{i}+\xi_2\vec{j}+\xi_3\vec{k}}{\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2+\xi_3^2}}$

Trong trường hợp đã cho: $\vec{x_0}=\frac{3}{13}\vec{i}+\frac{4}{13}\vec{j}+\frac{12}{13}\vec{k}$.

Cho x,y,z là ba số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

$[(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3].[\frac{1}{(x-y)^3)}+\frac{1}{(y-z)^3}+\frac{1}{(z-x)^3}]\leqslant \frac{-45}{4}$

Lời giải: Đặt $(a;b;c)=(x-y;y-z;z-x)$. Khi đó ta có: $a+b+c=0$ và $abc\ne 0$.

Lúc này điều cần chứng minh tương đương: $(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3})\le \frac{-45}{4}$.

Ta có: $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$.

Do $a+b+c=0\implies a^3+b^3+c^3=3abc$.

Tương tự ta có: $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3-3a^2b^2c^2=(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc(a+b+c))=(ab+bc+ca)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=(ab+bc+ca)[(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)]=(ab+bc+ca)^3$.

$\implies a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2+(ab+bc+ca)^3=3a^2b^2c^2-\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{8}$. (do $a+b+c=0$).

Lúc này ta có: $(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3})\le \frac{-45}{4}$

$\iff 3abc. \frac{1}{a^3b^3c^3}.(3a^2b^2c^2-\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{8})\le \frac{-45}{4}$.

$\iff 9-\frac{3(a^2+b^2+c^2)^3}{8a^2b^2c^2}\le \frac{-45}{4}\iff 54a^2b^2c^2\le (a^2+b^2+c^2)^3(*)$.

Trong ba số $a,b,c$, theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất hai số cùng dấu.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử đó là $b$ và $c$. Khi đó $bc\ge 0$.

Và do $a+b+c=0\implies a=-b-c$.

Khi đó bất đẳng thức $(*)$ tương đương $4(b^2+bc+c^2)\ge 27b^2c^2(b+c)^2$.

Bất đẳng thức này luôn đúng do $b^2+bc+c^2\ge \frac{3}{4}(b+c)^2\ge 3bc\ge 0$.

Dấu $=$ xảy ra tại $(a,b,c)=(-2t,t,t)$ với $t\ne 0$ và các hoán vị.

Ps: Bạn có thể tham khảo tại đây: https://www.dropbox....4_Beta.pdf?dl=0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = l2x-2l + l2x-2013l với x là số nguyên

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau: $|a|+|b|\ge |a+b|$ (Dấu "=" xảy ra khi $ab\ge 0$).

Ta có: $A=|2x-2|+|2x-2013|=|2x-2|+|2013-2x|\ge |2x-2+2013-2x|=2011$.

Dấu $=$ xảy ra  khi và chỉ khi $(2x-2)(2013-2x)\ge 0\iff 2\le 2x\le 2013\iff 1\le x\le \frac{2013}{2}$.