tritanngo99

(HMO 2003) Chứng minh rằng: $\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\ge \frac{3}{1+abc}$ với $a,b,c>0$

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng $\sum a^2\left(\frac{b}{c}-1\right)\ge 0$

Tất cả bài này bạn dùng miền giá trị 1 phát xong luôn ko cần suy nghĩ:

MÌnh giải mẫu 1 bài nhé:

1) $B=\frac{4x^2+2x+1}{4x^2+1}=>B(4x^2+1)=4x^2+2x+1\iff (1-B)4x^2+2x+1-B=0$

Đến xét 2 TH:

TH1: B=1=> x=0;

TH2:$B\ne 1$. Đến đấy ta có: $\delta'=1-4(1-B)(1-B)\ge 0\iff B\ge =\frac{1}{2}$.

Vậy $min B=\frac{1}{2}\iff x=\frac{-1}{2}$. 

Còn max thì dễ ,em chia xuống rồi cô si dưới mẫu 1 phát ra luôn

Bài 74: Cho x,y,x là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$\sum \frac{x}{1-x^2}$

Bài 73: Cho a,b,c>0 và abc=1. Chứng minh:

$\sum \frac{2}{a^2(b+c)}\ge 3$

Bài 72: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác với $a+b+c=3$. Tìm Min của:

$P=3a^2+3b^2+3c^2+4abc$

Bài 71:Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2\ge a+b+c$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\sum \frac{a^2}{b+c}$

Bài 70: Cho $0\le c\le b\le a\le 1$. Tìm min của biểu thức:

$P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{(a-c)^2}{3}$

Áp dụng AM-GM ta có:

$\sum \frac{x^{3}}{x^{2}+2yz}\geq \sum \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Ta có: $x^{3}+x^{3}+1\geq 3x^{2}$

Tương tự cộng vế theo vế:

$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3=3(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(xy+yz+zx)\geq 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=1$

Bài này mình vừa nghĩ ra, dùng holder :

Áp dụng BDT holder ta có:

Giải bất phương trình $\sqrt{2(4x^2-x-6)}-\sqrt{2x-3}\le \sqrt{2x^2+x-1}$

Bài 69: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn: $xy+yz+zx=3$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{x^3}{x^2+2yz}\ge 1$

Bài 63:Cho x,y,z thuộc [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của:
$F=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Mở rộng bài 63: Bài 64: Cho a,b,c,d thuộc [1;2]. Chứng minh rằng:
$(a^2+b^2+c^2+d^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2})\le 25$

Bài 65:Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn: $a+b+c\le 2$.Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{a\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}+\frac{b\sqrt{b}}{b+\sqrt{bc}+c}+\frac{c\sqrt{c}}{c+\sqrt{ca}+a}+\frac{1}{27\sqrt{abc}}$

Bài 62: Cho x,y,z thuộc [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$E=\frac{2(xy+yz+zx)}{xyz+2(2x+y+z)}+\frac{8}{2x(y+z)+yz+4}-\frac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}$

Bài 60: Cho a,b,c thuộc [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=abc+(1-a)(1-b)(2-c)+\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{b+a+1}$

Bài 61 Đề thi dự bị THPTQG 2015): Cho các số a,b thuộc $[\frac{1}{2};1]$. Tìm Min của:
$P=a^5b+ab^5+\frac{6}{a^2+b^2}-3(a+b)$

Các đề thi thử THPT Quốc gia của thầy Đặng Thành Nam

 

Bài 56: Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=ab+bc+ca+\left ( a+b+3c \right )\sqrt{1-a^{2}-b^{2}-c^{2}}$

 

Bài 57: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}{abc}-\frac{1}{10}\left ( \frac{a^{2}+c^{2}}{ac} \right )^{3}$

 

Bài 58: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( c+a \right )^{2}}$

Bài 57:
Ta có: $(a-b)(b-c)(c-a)\ge 0\iff \sum ab^2\ge \sum a^2b$
Khi đó: $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{\sum a^2b+\sum ab^2+2abc}{abc}\le \frac{2\sum ab^2+2abc}{abc}$
Mặt khác ta lại có: $(a-b)(b-c)\ge 0\iff ab+bc\ge ac+b^2\iff a(ab+bc)\ge a(ac+b^2)$
$\iff a^2b+abc\ge a^2c+ab^2\iff a^2b+abc+bc^2\ge \sum ab^2\iff \sum ab^2\le b(a^2+c^2+ac) $
Khi đó $P=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
$\le\frac{2\sum ab^2+2abc}{abc}-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
$\le\frac{2b(a^2+c^2+ac)+2abc}{abc}-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
$=2\left(\frac{a^2+c^2}{ac}+2\right)-\frac{1}{10}\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)^3$
Đến đặt $t=\left(\frac{a^2+c^2}{ac}\right)$.
=>$P\le f(t)=2(t+2)-\frac{t^3}{10}$.
Ta đi chứng minh: $t\le \frac{5}{2}\iff a^2+c^2\le\frac{5}{2}ac$
Thật vậy ta có:
$1\le a\le c\le 2$. Nên dễ dàng suy ra được: $2\le\frac{a^2+c^2}{ac}\le\frac{5}{2}. hay. 2\le t\le\frac{5}{2}$
Đến đây kháo sát hàm f(t) trên (2;5/2)
=> $max P=\frac{119}{16}$. Dấu = xảy ra khi a=b=1;c=2.