Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


tritanngo99

Đăng ký: 06-04-2015
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

Chủ đề của tôi gửi

Có bao nhiêu số có dạng $C_{a}^{b}(0\le b\le n,0...

Hôm qua, 06:05

Cho $n=2019^{2019}$. Có bao nhiêu số có dạng $C_{a}^{b}(0\le a\le n,0\le b\le a)$ chia hết cho $7$. (Trong đó $C_{a}^{b}$ là tổ hợp chập $b$ của $a$).


Một nhà toán học xuất sắc đã ra đi

18-03-2019 - 10:24

Một nhà toán học xuất sắc đã ra đi

18/07/2011 12:17 -

Cộng đồng Toán học Việt Nam vừa đau xót tiễn đưa GS-TSKH Trần Đức Vân, nguyên Viện trưởng Viện Toán học, về nơi an nghỉ cuối cùng.

Giáo sư Trần Đức Vân sinh ngày 27 tháng 4 năm 1951 tại xã Vĩnh Sơn, huyện Vĩnh Linh, Tỉnh Quảng Trị - một vùng quê nghèo đói của Miền Trung. Bản thân xã của ông bị phân đôi bởi đường tạm phân chia, và làng của ông nằm trên đất Bắc – nơi hứng bom đạn của quân thù. 

Lớn lên trong cảnh đất nước bị chia cắt, chiến tranh khốc liệt, ngay từ nhỏ ông đã nuôi trong mình một ý chí mãnh liệt là chiếm lĩnh kiến thức khoa học công nghệ để phục vụ Tổ quốc, xây dựng quê hương giàu đẹp. Được cử đi học tại Đại học tổng hợp Belarus (ở Minsk), ý chí kết hợp với trí thông minh trời cho, ông đã thể hiện là một trong những sinh viên xuất sắc nhất của trường. Bởi vậy, sau khi tốt nghiệp (năm 1974), ông được chuyển tiếp làm nghiên cứu sinh. Chỉ cần một năm rưỡi, vào cuối năm 1977, ông đã hoàn thành và bảo vệ luận án Phó tiến sĩ (tức luận án tiến sĩ ngày nay) với kết quả xuất sắc và nhiều bài báo được công bố. Ông được đề nghị tiếp tục ở lại Liên Xô nghiên cứu tiếp cho luận án Tiến sĩ khoa học. 

Đất Minsk yên tĩnh và mến khách, nhưng có lẽ quá chật chội với tài năng của ông. ông chuyển lên Thủ đô Matxcơva để có tầm nhìn rộng mở hơn. Tại đây, chỉ mất ba năm rưỡi, ông đã hoàn thành luận án và bảo vệ xuất sắc trước một Hội đồng khoa học gồm nhiều nhà toán học nổi tiếng, mà tiêu biểu là Giáo sư Viện sĩ Xôbôlev. Khi đó ông vừa gần 30 tuổi. Như vậy không chỉ lúc đó, mà tính đến nay, ông là một trong rất ít người Việt Nam bảo vệ luận án Tiến sĩ khoa học khi còn trẻ đến như vậy.

Trở về nước mùa Xuân năm 1982, ông đứng trước hai lựa chọn: làm việc cho Trung ương Đoàn (khi đó ông là Uỷ viên BCH TW Đoàn TNCS Hồ Chí Minh) hoặc về Viện Toán học. Không hề đắn đo, ông đã gia nhập Viện Toán học, được trao trọng trách xây dựng Phòng “Phương trình Đạo hàm riêng” – phòng mới thành lập với ông là thành viên đầu tiên. Chỉ trong vòng chưa đến 10 năm, ông đã đưa Phòng và hướng nghiên cứu trở thành một trong những phòng nghiên cứu xuất sắc của Viện. Ông được phong Phó Giáo sư khi 32 tuổi và Giáo sư lúc 40 tuổi. 

Ngoài công tác chuyên môn, ông tích cực cùng với GS Hoàng Tụy, GS Phạm Hữu Sách và các nhà toán học khác xây dựng phát triển Viện về mọi mặt. Nhiệm kì 1990-1995 ông được giao trọng trách làm Phó Viện Trưởng, và nhiệm kì 1995-2000, ông là Viện trưởng. Nhờ công lao của ông, Viện Toán học vượt qua được khó khăn của thời kì đầu của kinh tế thị trường, tiếp tục là ngọn cờ đầu trong các trung tâm nghiên cứu của Việt Nam.

Giữa lúc tài năng đang nở rộ, năm 1996, tức là rất ngắn sau khi được giao trọng trách làm Viện trưởng Viện Toán học, ông bắt đầu bị một căn bệnh quái ác. Thế là từ khi đó, vừa làm nghiên cứu khoa học, vừa làm công tác quản lí, lãnh đạo Viện, ông còn phải làm một việc khác mà không ai phải đương đầu vào cái tuổi ấy: chống chọi với bệnh tật! Với nghị lực phi thường, với sự trợ giúp không hề biết mệt mỏi của gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, ông kiên trì chữa bệnh và tiếp tục nghiên cứu và lãnh đạo cơ quan với cường độ làm việc cao. Ý chí của ông cao đến nỗi không ít lần tưởng như bệnh tật đã phải thua ông. Nhưng điều may đó đã không xảy ra. Đầu năm 2001, do thấy sức khoẻ không bình phục trở lại, ông đã rút lui, không tiếp tục ứng cử Viện trưởng Viện Toán. Thế nhưng ông vẫn kiên trì làm nghiên cứu, viết sách và hướng dẫn nghiên cứu sinh. Chỉ đến năm 2007, khi bệnh tình phát triển sang giai đoạn cuối, ông mới đành chịu thua. Tuy vậy mỗi lần gặp đồng nghiệp, ông vẫn toát lên khát khao tiếp tục được nghiên cứu Toán học. 

Một cuộc đời thật ngắn ngủi lại phải chiến đấu dai dẳng với bệnh tật, nhưng thành quả ông để lại thật đồ sộ: ông đã hướng dẫn chính thành công 10 tiến sĩ, công bố hơn 80 bài báo quốc tế và sáu quyển sách, trong đó có ba quyển bằng tiếng nước ngoài và có quyển ông phải nén đau mổ cò từng chữ một. Ông đã được Nhà nước tặng Huân chương Lao Động hạng Nhì để ghi nhận những thành tích và tinh thần lao động phi thường của ông. Nhưng xứng đáng hơn cả với những gì ông đã cống hiến chính là sự thán phục của những người quen biết ông và toàn thể Cộng đồng Toán học Việt Nam.

Bởi vậy, sự ra đi của ông thật sự là đột ngột. 8h10 phút ngày 16 tháng 7, Trái tim ông đã ngừng đập. Một bộ óc lớn đã đi về cõi vĩnh hằng.

Xin vĩnh biệt ông!
---
* Chủ tịch Hội Toán học Việt Nam

 


Định thức và ma trận

01-03-2019 - 17:12

Phần I: KHÁI NIỆM ĐỊNH THỨC CẤP $n$.

 Định thức cấp bốn tương ứng với bảng các phần tử: $\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}\end{align*}$ được xác định bởi đẳng thức: $\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}\end{align*}$=$a_{11}.\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}\end{align*}$-$a_{12}.\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}\end{align*}$+$a_{13}.\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{44}\end{vmatrix}\end{align*}$-$a_{14}.\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{vmatrix}\end{align*}$.

 Tương tự, nhờ định thức cấp bốn ta có thể định nghĩa định thức cấp năm v.v...

  Các định nghĩa về định thức con và phần phụ đại số của phần tử nào đó và cả hai định lý về các phần phụ đại số đã phát biểu đối với định thức cấp ba vẫn còn có hiệu lực đối với định thức cấp tùy ý.

  Do đó, nếu gọi $M_{jk}$ là định thức con và $A_{jk}$ là phần phụ đại số của phần tử $a_{jk}$ của định thức cấp $n$ (nghĩa là phần tử ở hàng $j$ và cột $k$ của định thức này), thì ta có: $A_{jk}=(-1)^{j+k}M_{jk}$.

  Giả sử $D$ là định thức cấp $n$. Đầu tiên khai triển nó theo các phần tử của hàng $j$ và sau đó theo các phần tử của cột $k$ (theo định lý thứ nhất về các phần phụ đại số) ta được: $D=a_{j1}A_{j1}+a_{j2}A_{j2}+...+a_{jn}A_{jn}$; và $D=a_{1k}A_{1k}+a_{2k}A_{2k}+...+a_{nk}A_{nk}$.

 Mặt khác khi $j\ne i$ và $k\le l$ (theo định lý thứ hai về các phần phụ đại số) ta có: $a_{j1}A_{i1}+a_{j2}A_{i2}+...+a_{jn}A_{in}=0$ và $a_{1k}A_{1l}+a_{2k}A_{2l}+...+A_{nk}A_{nl}=0$.

  Các tính chất của định thức cấp hai và cấp ba đã phát biểu ở Phần 5, chương I cũng đúng đối với các định thức cấp tùy ý.

  Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính: $\left\{\begin{array}{I}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n\end{array}\right.$

với định thức: $D=\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}\end{align*}\ne 0$.

tìm được theo các công thức: $x_1=\frac{D_1}{D};x_2=\frac{D_2}{D};...;x_n=\frac{D_n}{D}$.

 Trong các công thức này $D$ là định thức của hệ còn $D_k(k=1,2,...,n)$ là định thức nhận được từ hệ bằng cách thay cột $k$ (tức là cột các hệ số của ẩn $x_k$) bằng cột các số hạng tự do :

$\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1,k-1}&b_1&a_{1,k+1}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2,k-1}&b_2&a_{2,k+1}&...&a_{2n}\\ ...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{n,k-1}&b_n&a_{n,k+1}&...&a_{nn} \end{vmatrix}\end{align*}$.

Các ví dụ:

383. Tính định thức: $\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&5&7&2\\ 1&2&3&4\\ -2&-3&3&2\\ 1&3&5&4 \end{vmatrix}\end{align*}$.

Giải. 1) Lấy các phần tử của hàng đầu trừ đi ba lần các phần tử tương ứng của hàng hai.

2) Thêm hai lần các phần tử của hàng hai vào các phần tử tương ứng của hàng ba.

3) Lấy các phần tử của hàng bốn trừ đi các phần tử tương ứng của hàng hai.

 Định thức đã cho biến thành dạng: $D=\begin{align*}\begin{vmatrix} 0&-1&-2&-10\\ 1&2&3&4\\ 0&1&9&10\\ 0&1&2&0 \end{vmatrix}\end{align*}$

 Khai triển định thức này theo các phần tử ở cột đầu: $D=-\begin{align*}\begin{vmatrix} -1&-2&-10 \\ 0&7&10\\ 1&2&0 \end{vmatrix}\end{align*}$.

Ta khai triển định thức theo các phần tử của cột đầu: $D=-\begin{align*}\begin{vmatrix} 0&-10\\ 7&10 \end{vmatrix}\end{align*}=-70$.

384. Tính định thức: $\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&2&0&0&0\\ 3&2&3&0&0\\ 0&4&3&4&0\\ 0&0&5&4&5\\ 0&0&0&6&5 \end{vmatrix}\end{align*}$.

Giải. Ta mang các nhân thức chung của cột hai, cột bốn và cột năm ra ngoài dấu định thức:

$D=2.2.5.\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1&0&0&0\\ 3&1&3&0&0\\ 0&2&3&2&0\\ 0&0&5&2&1\\ 0&0&0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$

  Lấy các phần tử ở cột hai trừ đi các phần tử tương ứng ở cột một $D=20.\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&0&0&0&0\\ 3&-2&3&0&0\\ 0&2&3&2&0\\ 0&0&5&2&1\\ 0&0&0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$

  Khai triển định thức theo các phần tử ở hàng đầu: 

$D=20.\begin{align*}\begin{vmatrix} -2&3&0&0\\ 2&3&0&0\\ 0&5&2&1\\ 0&0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$

  Thêm các phần tử của hàng đầu vào các phần tử của hàng hai và mang $-2$ (nhân thức chung của các phần tử ở cột đầu) ra ngoài dấu định thức: $D=-40.\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&3&0&0\\ 0&6&2&0\\ 0&5&2&1\\ 0&0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$

  Khai triển định thức theo các phần tử ở cột đầu: $D=-40.\begin{align*}\begin{vmatrix} 6&2&0\\ 5&2&1\\ 0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$.

 Lấy các phần tử ở hàng hai trừ đi các phần tử ở hàng ba rồi mang $2$ (nhân thức chung của các phần tử ở hàng đầu) ra ngoài dấu định thức: $D=-80\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&1&0\\ 5&-1&0\\ 0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$.

  Khai triển định thức theo các phần tử ở cột ba: $D=-80\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&1\\ 5&-1 \end{vmatrix}\end{align*}=640$.

385. Tìm $y$ từ hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} x+2y+3z=14\\ y+2z+3t=20\\ z+2t+3x=14\\ t+2x+3y=12\end{array}\right.$

Giải. Ta viết hệ này dưới dạng: $\left\{\begin{array}{I} x+2y+3z+0.t=14\\ 0.x+y+2z+3t=20\\ 3x+0.y+z+2t=14\\ 2x+3y+0.z+1.t=12\end{array}\right.$

Ta có: $D=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&2&3&0\\ 0&1&2&3\\ 3&0&1&2\\ 2&3&0&1 \end{vmatrix}\end{align*}$.

 Lấy các phần tử của cột hai trừ đi hai lần các phần tử của cột một; lấy các phần tử của cột ba trừ đi ba lần các phần tử của cột một:

$D=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&2&3\\ 3&-6&-8&2\\ 2&-1&-6&1\end{vmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&2&3\\ -6&-8&2\\-1&-6&1\end{vmatrix}\end{align*}=(-2).(-1)$.$\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 3&4&-1\\ 1&6&-1\end{vmatrix}\end{align*}$

  Lấy các phần tử của cột hai trừ đi hai lần các phần tử của cột một ; các phần tử của cột ba trừ đi ba lần các phần tử của cột một:

$D=2\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&0&0\\3&-2&-10\\1&4&-4\end{vmatrix}\end{align*}$=$2\begin{align*}\begin{vmatrix} -2&-10\\ 4^-4\end{vmatrix}\end{align*}=2.(8+40)=96$.

Ta tìm: $D_y=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&14&3&0\\ 0&20&2&3\\ 3&14&1&2\\ 2&-12&0&1\end{vmatrix}\end{align*}$=$2\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&7&3&0\\ 0&10&2&3\\ 3&7&1&2\\ 2&6&0&1\end{vmatrix}\end{align*}$

 Lấy các phần tử của hàng ba trừ đi ba lần các phần tử của hàng một; các phần tử của hàng bốn trừ đi hai lần các phần tử của hàng một:

$D_y=2\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&7&3&0\\ 0&10&2&3\\ 0&-14&-8&2\\ 0&-8&-6&1\end{vmatrix}\end{align*}$=$2\begin{align*}\begin{vmatrix} 10&2&3\\ -14&-8&2\\ -8&-6&1\end{vmatrix}\end{align*}$=$2.2.2.\begin{align*}\begin{vmatrix} 5&1&3\\ -7&-4&2\\ -4&-2&1\end{vmatrix}\end{align*}$

  Lấy các phần tử của hàng đầu trừ đi ba lần các phần tử của hàng ba; các phần tử của hàng hai trừ đi hai lần các phần tử của hàng ba:

$D_y=8\begin{align*}\begin{vmatrix} 17&10&0\\ 1&2&0\\ -4&-3&1\end{vmatrix}\end{align*}$=$8\begin{align*}\begin{vmatrix} 17&10\\ 1&2\end{vmatrix}\end{align*}=192$.

Từ đó $y=\frac{D_y}{D}=\frac{192}{96}=2$.

336. Tính định thức: 

$V=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ a&b&c&d\\ a^2&b^2&c^2&d^2\\ a^3&b^3&c^3&d^3\end{vmatrix}\end{align*}$.

Giải. Lấy hàng hai trừ đi hàng một nhân với $a$, hàng ba trừ đi hàng hai nhân với $a$, hàng bốn trừ đi hàng ba hân với $a$:

$V=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 0&b-a&c-a&d-a\\ 0&b^2-ab&c^2-ac&d^2-ad\\ 0&b^3-ab^2&c^3-ac^2&d^3-ad^2\end{vmatrix}\end{align*}$=$(b-a)(c-a)(d-a)\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1&1\\ b&c&d\\ b^2&c^2&d^2\end{vmatrix}\end{align*}$

 Lấy hàng hai trừ đi hàng một nhân với $b$, hàng ba trừ đi hàng hai nhân với $b$:

$V=(b-a)(c-a)(d-a)\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1&1\\ 0&c-b&d-b\\ 0&c^2-bc&d^2-db\end{vmatrix}\end{align*}$=$(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1\\ c&d\end{vmatrix}\end{align*}$.

Vậy $V=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)$.

  Dễ dàng thấy rằng định thức đang xét bằng không khi và chỉ khi trong các số $a,b,c,d$ có những số bằng nhau.

Tính các định thức: 

387. $\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&-2&3&4\\ 2&1&-4&3\\ 3&-4&-1&-2\\ 4&3&2&-1\end{vmatrix}\end{align*}$

388. $\begin{align*}\begin{vmatrix} -1&-1&-1&-1\\ -1&-2&-4&-8\\ -1&-3&-9&-27\\ -1&-4&-16&-64\end{vmatrix}\end{align*}$

389. $\begin{align*}\begin{vmatrix} 10&2&0&0&0\\ 12&10&2&0&0\\ 0&12&10&2&0\\ 0&0&12&10&2\\ 0&0&0&12&10 \end{vmatrix}\end{align*}$

390. $\begin{align*}\begin{vmatrix} 1+a&1&1&1\\ 1&1-a&1&1\\ 1&1&1+b&1\\ 1&1&1&1-b\end{vmatrix}\end{align*}$

Giải các hệ phương trình:

391. $\left\{\begin{array}{I} y-3z+4t=-5\\ x-2z+3t=-4\\ 3x+2y-5t=12\\ 4x+3y-5z=5\end{array}\right.$

392. $\left\{\begin{array}{I} x-3y+5z-7t=12\\ 3x-5y+7z-t=0\\ 5x-7y+z-3t=4\\ 7x-y+3z-5t=16\end{array}\right.$

393. $\left\{\begin{array}{I} x+2y=5\\ 3y+4z=18\\ 5z+6u=39\\ 7u+8v=68\\ 9v+10x=55\end{array}\right.$


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH PHÚ YÊN- NĂM HỌC 2018-2019

01-03-2019 - 16:42

                             ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH PHÚ YÊN- NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1: Cho biểu thức $A=\frac{(\sqrt{x+3}-x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{x-1}$.

a) Rút gọn biểu thức $A$.

b) Xác định $x$ để $A\le -1$.

Câu 2: Giải phương trình sau: $2x^2-6x-5(x-2)\sqrt{x+1}+10=0$.

Câu 3: 

a) Tìm hai số nguyên tố $p,q$ sao cho $p^2=8q+1$.

b) Chứng minh rằng $n^5-n$ chia hết cho $30$ với mọi $n\in \mathbb{N}$.

Câu 4: Với $a,b,c$ là $3$ số dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c+ab+bc+ca-6abc=0$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$.

Câu 5: Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và $M$ là một điểm cố định nằm bên trong đường tròn. Qua điểm $M$, vẽ hai dây lưu động $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau.

a) Chứng minh rằng $AC^2+BD^2=AD^2+BC^2$. Chứng minh $AD^2+BC^2$ không đổi.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $OI^2+IM^2=R^2$. Suy ra quỹ tích trung điểm $I$.

Câu 6: Cho hình thang $ABCD(AB\parallel CD)$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $G$ là giao điểm của đường thẳng đi qua $E$ vuông góc với $AD$ với đường thẳng đi qua $F$ vuông góc với $BC$. So sánh $GA$ và $GB$.


Hình học giải tích trong không gian

13-02-2019 - 17:14

Phần I: MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG.

1. Mặt phẳng.

1. Phương trình mặt phẳng dưới dạng vectơ có dạng $\vec{r}.\vec{n}=p$.

 Ở đây $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ là bán kính vectơ của điểm chạy $M(x;y;z)$ trên mặt phẳng; $\vec{n}=\vec{i}cos \alpha+\vec{j}cos \beta+\vec{k} cos \gamma$ là vectơ đơn vị có hướng của đường thẳng góc hạ từ điểm gốc tọa độ lên mặt phẳng, $\alpha,\beta,\gamma$ là các góc tạo nên bởi đường thẳng góc này với các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $p$ là độ dài của đoạn thẳng góc này.

  Khi đưa vào hệ tọa độ phương trình này có dạng $xcos \alpha+ycos \beta+zcos \gamma-p=0(1)$ (phương trình dạng chuẩn của mặt phẳng).

2. Phương trình của mọi mặt phẳng cũng có thể viết dưới dạng $Ax+By+Cz+D=0(2)$ nếu $A^2+B^2+C^2\ne 0$ (phương trình tổng quát). Ở đây $A,B,C$ có thể xem như các tọa độ của vectơ $\vec{N}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}$ nào đó thẳng góc với mặt phẳng. Để đưa phương trình tổng quát của mặt phẳng về dạng chuẩn ta phải nhân tất cả các số hạng của phương trình với nhân thức chuẩn hóa $\mu =\pm \frac{1}{N}=\pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}(3)$. trong đó dấu trước căn trái với dấu của số hạng tự do $D$ trong phương trình tổng quát của mặt phẳng.

3. Các trường hợp đặc biệt của mặt phẳng xác định từ phương trình tổng quát $Ax+By+Cx+D=0$.

$A=0$: mặt phẳng song song với trục $Ox$.

$B=0$: mặt phẳng song song với trục $Oy$.

$C=0$: mặt phẳng song song với trục $Oz$.

$D=0$: mặt phẳng đi qua gốc tọa độ;

$A=B=0$: mặt phẳng thẳng góc với trục $Oz$ (song song với mặt phẳng $xOy$).

$A=C=0$: mặt phẳng thẳng góc với truc $Oy$ (song song với mặt phẳng $xOz$).

$B=C=0$: mặt phẳng thẳng góc với trục $Ox$ (song song với mặt phẳng $yOz$).

$A=D=0$: mặt phẳng đi qua trục $Ox$.

$B=D=0$: mặt phẳng đi qua trục $Oy$.

$C=D=0$: mặt phẳng đi qua trục $Oz$.

$A=B=D=0$: mặt phẳng trùng với mặt $xOy(z=0)$.

$A=C=D=0$: mặt phẳng trùng với mặt $xOz(y=0)$.

$B=C=D=0$: mặt phẳng trùng với mặt $yOz(x=0)$.

  Nếu trong phương trình tổng quát của mặt phẳng hệ số $D\ne 0$ thì bằng cách chia tất cả các số hạng của phương trình cho $-D$ ta có thể đưa phương trình mặt phẳng về dạng: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1(4)$.

(ở đây $a=-\frac{D}{A},b=-\frac{D}{B},c=-\frac{D}{C}$). Phương trình này của mặt phẳng gọi là phương trình theo các đoạn chắn: trong đó $a,b$ và $c$ tương ứng là hoành độ, tung độ và cao độ của các giao điểm của mặt phẳng với các trục $Ox,Oy$ và $Oz$.

4. Góc $\phi$ giữa các mặt phẳng $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ và $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ xác định theo công thức: $cos \phi=\frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2+D_1^2} \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}(5)$.

Điều kiện song song của các mặt phẳng: $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}(6)$.

 Điều kiện thẳng góc của các mặt phẳng: $A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0(7)$.

5. Khoảng cách từ điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng $Ax+By+Cz+D=0$ tìm được theo công thức: $d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}(8)$.

  Nó bằng giá trị tuyệt đối của đại lượng nhận được bằng cách thay các tọa độ của điểm $M_0$ vào phương trình dạng chuẩn của mặt phẳng; dấu của đại lượng này đặc trưng cho vị trí tương đối của điểm $M_0$ và gốc tọa độ đối với mặt phẳng đã cho: <<cộng>> nếu điểm $M_0$ và gốc tọa độ nằm ở hai phía khác nhau của mặt phẳng và <<>trừ>> nếu chúng nằm cùng một phía của mặt phẳng.

6. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và thẳng góc với vectơ $\vec{N}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}$ có dạng: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0(9)$ với $A,B$ và $C$ tùy ý phương trình này xác định một mặt phẳng nào đó thuộc bó mặt phẳng đi qua điểm $M_0$. Vì vậy nó thường được gọi là phương trình của bó mặt phẳng.

7. Phương trình $A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0(10)$ với $\lambda$ tùy ý xác định một mặt phẳng nào đó đi qua giao tuyến của các mặt phẳng $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0(I)$ và $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0(II)$,

 nghĩa là một mặt phẳng nào đó thuộc chùm mặt phẳng đi qua đường thẳng này (do đó phương trình này thường được gọi là phương trình của chùm mặt phẳng). Nếu các mặt phẳng xác định bởi các phương trình $(I)$ và $(II)$ song song thì chùm mặt phẳng trở thành họ các mặt phẳng song song với các mặt phẳng này.

8. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước $M_1(\vec{r_1}),M_2(\vec{r_2}),M_3(\vec{r_3})$ (ở đây $\vec{r_1}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}+z_1\vec{k};\vec{r_2}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}+z_2\vec{k};\vec{r_3}=x_3\vec{i}+y_3\vec{j}+z_3\vec{k}$) tìm được một cách đơn giản từ điều kiện đồng phẳng của các vectơ $\vec{r}-\vec{r_1},\vec{r_2}-\vec{r_1},\vec{r_3}-\vec{r_1}$, trong đó $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ là bán kính vectơ của điểm chạy $M$ của mặt phẳng cần tìm:File gửi kèm  vbda.jpg   13.75K   1 Số lần tải hình (11).

286. Đưa phương trình mặt phẳng $2x+3y-6z+21=0$ về dạng chuẩn.

Giải. Ta tìm nhân thức chuẩn hóa (nó có dấu <<trừ>> vì $D=21>0$): $\mu=-\frac{1}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}=-\frac{1}{7}$

 Vậy, phương trình dạng chuẩn của mặt phẳng đã cho có dạng $-\frac{2}{7}x-\frac{3}{7}y+\frac{6}{7}z-3=0$.

287. Xác định khoảng cách từ điểm $M_0(3;5;-8)$ đến mặt phẳng $6x-3y+2z-28=0$.

Giải. Dùng công thức $(8)$ tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta được.

$d=\frac{|6.3-3.5+2.(-8)-28|}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}}=\frac{41}{7}$.

 Vì kết quả thay tọa độ của điểm $M_0$ vào phương trình chuẩn của mặt phẳng có giá trị âm, nên điểm $M_0$ và gốc tọa độ nằm về cùng một phía của mặt đã cho.

288. Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(2;3;5)$ và thẳng góc với vectơ $\vec{N}=4\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{k}$.

Giải. Chỉ cần sử dụng phương trình $(9)$ của mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và thẳng góc với vectơ cho trước: $4(x-2)+3(y-3)+2(z-5)=0$, nghĩa là $4x+3y+2z-27=0$.

289. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(2;3;-1)$ và song song với mặt phẳng $5x-3y+2z-10=0$.

Giải. Ta viết phương trình bó mặt phẳng $(9)$ đi qua điểm đã cho $A(x-2)+B(y-3)+C(z+1)=0$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm trùng với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=[5;-3;2]$ của mặt phẳng cho trước; do đó $A=5,B=-3,C=2$ và phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: $5(x-2)-3(y-3)+2(z+1)=0$, hay $5x-3y+2z+1=0$.

290. Từ điểm $P(2;3;-5)$ hạ các đường thẳng góc xuống các mặt phẳng tọa độ. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua chân của chúng.

Giải. Chân của các đường thẳng góc hạ xuống các mặt phẳng tọa độ là các điểm sau: $M_1(2;3;0),M_2(2;0;-5),M_3(0;3;-5)$. Ta viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $M_1,M_2,M_3$; muốn vậy dùng phương trình $(11)$:

$\begin{align*}\begin{vmatrix} x-2&y-3&z\\0&-3&-5\\-2&0&-5\end{vmatrix}\end{align*}$ hay $15x+10y-6z-60=0$.

291. Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(5;4;3)$ và chắn những đoạn bằng nhau trên các trục tọa độ.

Giải. Ta viết phương trình $(4)$ của mặt phẳng theo các đoạn chắn, trong đó $a=b=c:\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1$.

Các tọa độ của điểm $A$ phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng cần tìm, vì vậy phải có đẳng thức: $\frac{5}{a}+\frac{4}{a}+\frac{3}{a}=1$, từ đó $a=12$

292. Lập phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của các mặt phẳng: $x+y+5z-1=0,2x+3y-z+2=0$ và qua điểm $M(3;2;1)$.

Giải. Ta dùng phương trình $(10)$ của chùm mặt phẳng: $x+y+5z-1+\lambda (2x+3y-z+2)=0$.

Giá trị $\lambda$ được xác định từ điều kiện là các tọa độ của điểm $M$ phải thỏa mãn phương trình này:

$3+2+5-1+\lambda (6+6-1+2)=9+13\lambda=0\implies \lambda=\frac{-9}{13}$.

Ta được phương trình cần tìm dưới dạng: $x+y+5z-1-\frac{9}{13}(2x+3y-z+2)=0$ hay $5x+14y-74z+31=0$.

293. Lập phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của các mặt phẳng $x+3y+5z-4=0,x-y-2z+7=0$ và song song với trục $Oy$.

Giải. Ta dùng phương trình của chùm $x+3y+5z-4+\lambda (x-y-2z+7)=0$; hay $(1+\lambda)x+(3-\lambda)y+(5-2\lambda)z+(7\lambda-4)=0$.

  Vì mặt phẳng cần tìm song song với trục $Oy$, nên hệ số của $y$ phải bằng $0$, nghĩa là $3-\lambda=0;\lambda=3$. Thay giá trị của $\lambda$ và phương trình chùm ta được: $4x-z+17=0$.

294. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $A(2;-1;4),B(3;2;-1)$ và thẳng góc với mặt phẳng $x+y+2z-3=0$.

Giải. Để lấy làm vectơ pháp tuyến $N$ của mặt phẳng cần tìm ta chọn vectơ trực giao với vectơ $\vec{AB}=\left\{1;3;-5\right\}$ và với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\left\{1;1;2\right\}$  của mặt phẳng đã cho. Vì vậy lấy $\vec{N}$ là tích vectơ của $\vec{AB}$ và $\vec{n}$

$\vec{N}=\vec{AB}x\vec{n}=\begin{align*}\begin{vmatrix} i&j&k\\ 1&3&-5\\ 1&1&2 \end{vmatrix}\end{align*}=11i-7j-2k$.

  Dùng phương trình mặt phẳng đi qua điểm cho trước (chẳng hạn $A$) và trực giao với vectơ $\vec{N}=\left\{11;-7;-2\right\}$, ta được: $11(x-2)-7(y+1)-2(z-4)=0$, hay $11x-7y-2z-21=0$

295. Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(3;-1;-5)$ và trực giao với các mặt phẳng $3x-2y+2z+7=0$ và $5x-4y+3z+1=0$.

Giải. Rõ ràng rằng có thể lấy tích vectơ của các vectơ pháp tuyến $\vec{n_1}=\left\{3;-2;2\right\}$ và $\vec{n_2}=\left\{5;-4;3\right\}$ của các mặt phẳng đã cho làm vectơ pháp tuyến $\vec{N}$ của mặt phẳng cần tìm:

$\vec{N}=\vec{n_1}x\vec{n_2}=\begin{align*}\begin{vmatrix} i&j&k\\ 3&-2&2\\ 5&-4&3 \end{vmatrix}\end{align*}=2\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}$

  Bây giờ dùng phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(3;-1;-5)$ cho trước và trực giao với vectơ $\vec{N}=\left\{2;1;-2\right\}$ ta được $2(x-3)+(y+1)-2(z+5)=0$ hay $2x+y-2z-15=0$.

296. Đưa phương trình các mặt phẳng sau đây về dạng chuẩn: 

1) $x+y-z-2=0$

2) $3x+5y-4z+7=0$

297. Tìm khoảng cách từ điểm $M_0(1;3;-2)$ đến mặt phẳng $2x-3y-4z+12=0$. Xác định vị trí của điểm $M_0$ đối với mặt phẳng.

298. Tìm độ dài của đường thẳng góc hạ từ điểm $M_0(2;3;-5)$ đến mặt phẳng $4x-2y+5z-12=0$.

299. Tìm phương trình mặt phẳng:

1) đi qua điểm $M(-2;3;4)$ và chắn trên các trục tọa độ các đoạn bằng nhau;

2) đi qua điểm $N(2;-1;4)$ và chắn trên trục $Oz$ một đoạn dài gấp đôi các đoạn chắn trên các trục $Ox$ và $Oy$.

300. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $P(2;0;-1),Q(1;-1;3)$ và thẳng góc với mặt phẳng $3x+2y-z+5=0$.

301. Tìm điểm $M$ trên mặt phẳng $2x-5y+2z+5=0$, sao cho đường thẳng $OM$ lập với các trục tọa độ những góc bằng nhau.

302. Tìm phương trình của mặt phẳng, biết rằng điểm $P(4;-3;12)$ là chân đường thẳng góc hạ từ gốc tọa độ xuống mặt phẳng đó.

303. Tìm phương trình các mặt phẳng đi qua các trục tọa độ và thẳng góc với mặt phẳng $3x-4y+5z-12=0$.

304. Tìm phương trình mặt phẳng, mà các điểm của nó cách đều hai điểm $P(1;-4;2)$ và $Q(7;1;-5)$.

305. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $P(0;2;0),Q(2;0;0)$ và tạo với mặt phẳng $x=0$ góc $60^0$.

306. Tính góc giữa các mặt phẳng đi qua điểm $M(1;-1;-1)$, trong đó một mặt chứa trục $Ox$, mặt kia chứa trục $Oz$.

307. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và các điểm $P(4;-2;1),Q(2;4;-3)$.

308. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của ba mặt phẳng $2x+2y+z-7=0,2x-y+3z-3=0,4x+5y-2z-12=0$ và các điểm $M(0;3;0),N(1;1;1)$.

309. Lập phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của các mặt phẳng $x+5y+9z-13=0,3x-y-5z+1=0$ và qua điểm $M(0;2;1)$.

310. Lập phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của các mặt phẳng $x+2y+3z-5=0,3x-2y-z+1=0$ và chắn trên các trục $Ox,Oz$ những đoạn bằng nhau.

311. Lập phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của các mặt phẳng $(1+\sqrt{2})x+2y+2z-4=0,x+y+z+1=0$ và tạo với mặt phẳng tọa độ $xOy$ góc $60^0$.

312. Lập phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của các mặt phẳng $2x-y-12z-3=0,3x+y-7z-2=0$ và thẳng góc với mặt phẳng $x+2y+5z-1=0$.

313. Lập phương trình mặt phẳng đi qua gioa tuyến của các mặt phẳng $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ và qua gốc tọa độ.

314. Lập phương trình mặt phẳng đi qua đi qua điểm $M(0;2;1)$ và song song với các vectơ $\vec{a}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k},\vec{b}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}$.

315. Vectơ $\vec{a}=\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$ lập với mặt phẳng $x+y+2z-4=0$ một góc bằng bao nhiêu ?