Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


tritanngo99

Đăng ký: 06-04-2015
Offline Đăng nhập: 13-10-2019 - 17:22
****-

Chủ đề của tôi gửi

Một chút về hình học vi phân - Công cụ cơ bản trong việc nghiên cứu thuyết tương đối tổ...

10-10-2019 - 17:23

Một chút về hình học vi phân - Công cụ cơ bản trong việc nghiên cứu thuyết tương đối tổng quát của Einstein, thấu kính hấp dẫn, lỗ đen.

Hình học vi phân là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ và phương pháp của phép tính vi phân và tích phân cũng như đại số tuyến tính và đại số đa tuyến để nghiên cứu các vấn đề của hình học. Lý thuyết về các đường cong trong mặt phẳng và không gian cũng như về các mặt cong trong không gian Euclid ba chiều đã trở thành cơ sở và cho sự phát triển ban đầu của hình học vi phân vào thế kỷ thứ 18 và 19. Cuối thế kỷ thứ 19, hình học vi phân đã phát triển thành một lĩnh vực nghiên cứu những cấu trúc hình học tổng quát trên các đa tạp khả vi. Nó cũng có liên hệ mật thiết với ngành tôpô vi phân, và là một khía cạnh hình học của lĩnh vực phương trình vi phân. Chứng minh của Grigori Perelman về giả thuyết Poincaré sử dụng kĩ thuật dòng Ricci cho thấy sức mạnh của cách tiếp cận theo phương pháp hình học vi phân trong các câu hỏi và vấn đề của tôpô học và làm nổi bật vai trò quan trọng của các phương pháp giải tích. Hình học vi phân các mặt cong cũng đã thể hiện được nhiều ý tưởng chìa khóa và các đặc trưng kĩ thuật của lĩnh vực hình học vi phân.

Hình học vi phân đã được phát triển từ các nghiên cứu của Gaspard Monge và Carl Friedrich Gauss trong thời gian đầu thế kỷ 19. Trong thời gian này, toán học vẫn còn được nảy sinh mạnh mẽ từ các nhu cầu thực tiễn, và những kết quả quan trọng của toán học đã được đem ứng dụng cho việc đo vẽ bản đồ, định hướng trong hàng hải và khảo sát. Chúng được phát triển từ phương pháp hình chiếu bản đồ, đường trắc địa và độ cong Gauss. Cũng từ đây Gauss đã chú ý tới vấn đề tổng các góc trong một tam giác cầu không bằng 180 độ, và từ đó ông đã có những ý tưởng về hình học phi Euclid, trở thành những nhà tiên phong trong lĩnh vực hình học vi phân. Sau đó những đóng góp quan trọng cho lĩnh vực này đã được các nhà toán học bao gồm Bernhard Riemann,Elwin Bruno Christoffel, và Gregorio Ricci-Curbastro đưa ra vào cuối thế kỷ 19. Những nghiên cứu này đã được tập hợp và hệ thống hóa lại vào cuối thế kỷ 19 bởi các nhà toán học Jean Gaston Darboux và Luigi Bianchi.

+ Trong Vật lý học, có ba ứng dụng chính là:
+ Hình học vi phân là công cụ cơ bản trong việc nghiên cứu thuyết tương đối tổng quát của Einstein[2]. Theo lý thuyết này, vũ trụ là một đa tạp trơn được trang bị cùng với metric giả-Riemann, cho phép miêu tả được độ cong của không thời gian. Áp dụng độ cong không thời gian là một việc không thể thiếu trong việc xác định vị trí của các vệ tinh nhân tạo quay xung quanh Trái Đất như hệ GPS. Hình học vi phân cũng là một công cụ không thể thiếu trong nghiên cứu thấu kính hấp dẫn và lỗ đen.
+ Các dạng vi phân rất có ích trong nghiên cứu điện từ học.
+Hình học vi phân được áp dụng trong cả cơ học Lagrange và cơ học Hamilton. Đặc biệt các đa tạp Symplectic có thể dùng để nghiên cứu những hệ Hamilton.
+Trong kinh tế học, hình học vi phân có ứng dụng trong lĩnh vực kinh tế lượng[3].
+ Áp dụng hình học vi phân vào mô hình hình học (bao gồm đồ họa máy tính) và thiết kế hình học trên máy tính làm đơn giản hóa các đối tượng hình học.
+ Trong kĩ thuật, nó được áp dụng để giải quyết các vấn đề trong xử lý tín hiệu số[4] và trong lý thuyết đàn hồi.
+Trong xác suất, thống kê, và lý thuyết thông tin, chúng ta có thể giải thích nhiều cấu trúc khác nhau bằng các đa tạp Riemann, và nó là công cụ chủ yếu của hình học thông tin (information geometry), đặc biệt thông qua metric thông tin Fisher.
+Trong địa chất cấu tạo, hình học vi phân được sử dụng để phân tích và miêu tả các cấu trúc địa tầng.
+ Trong trực quan máy tính (computer vision), hình học vi phân được sử dụng để phân tích các hình dạng.[5]
Ảnh:Một tam giác nhúng trên mặt yên ngựa (mặt hyperbolic paraboloid), cũng như hai đường thẳng song song trên nó.
Nguồn: Wikipedia

File gửi kèm  hhvp.png   29.17K   0 Số lần tải


Các bài Div 3 Codeforces

02-10-2019 - 11:28

Bài 1: [590-Div.3 -F]

Bạn được cho một xâu s chỉ chứa các kí tự thuộc 20 kí tự thường đầu tiên của kí tự Latin (‘a’,’b’,…,’t’).

Gọi s[l;r] là một xâu con của xâu s: s(l)s(l+1)...s(r). Ví dụ, xâu con của “codeforces” là “code”,”force”,”f”,”for”, còn “coder” và “top” thì không.

Bạn có thể biểu diễn các phép toán dưới đây không quá 1 lần: Chọn một xâu con bất kỳ s[l;r] và chuyển nó thành xâu nghịch đảo (nghĩa là chuyển xâu s(l)s(l+1)...s(r) thành s(r)s(r-1)...s(l)).

 

Mục tiêu của bạn là tìm ra độ dài lớn nhất của xâu con chỉ chứa các kí tự xuất hiện một lần.

Ví dụ: Các xâu “abcdef”, “arctg”,”minecraft” là những xâu mà các kí tự chỉ chứa 1 lần, trong khi đó “aba”,”aacc” là những xâu mà tồn tại 1 kí tự xuất hiện hai lần.

Đầu vào:

+ Dòng đầu tiên chứa xâu s (length(s)<=10^6) và chỉ gồm các kí tự ‘a’,’b’,…,’t’.

Đầu ra:

In ra kết quả cần tìm.

Ví dụ:

abacaba

Kết quả: 3


BỔ ĐỀ VỀ SỐ MŨ ĐÚNG VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ,BỔ ĐỀ SỐ HỌC

02-10-2019 - 07:39

BỔ ĐỀ VỀ SỐ MŨ ĐÚNG VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ,BỔ ĐỀ SỐ HỌC
 

Về số mũ đúng : Cho $p$ là số nguyên tố ,$a$ là số nguyên và $\alpha$ là số tự nhiên. Ta nói $p^{\alpha}$ là lũy thừa đúng của $a$ và $\alpha$ là số mũ đúng của $p$ trong khai triển của $\alpha$ nếu $p^{\alpha}|a$ và $p^{\alpha+1} \not | a$
Khi đó ta viết $p^{\alpha} ||a$ hay $v_p(a)=\alpha$
Ví dụ $v_3(63)=2$ vì $63=3^2.7$
Một số tính chất về cái này : Cho $x,y,z$ là các số nguyên khi đó
i) $v_p(xy)=v_p(x)+v_p(y)$
ii) $v_p(x^n)=n.v_p(x)$
iii) $v_p(x+y) \ge min\{v_p(x),v_p(y)\}$ . Xảy ra khi và chỉ khi $v_p(x) \ne v_p(y)$
iv) $v_p(gcd(|x|,|y|,|z|))=min\{v_p(x),v_p(y),v_p(z)\}$
v) $v_p(lcm(|x|,|y|,|z|))=max\{v_p(x),v_p(y),v_p(z)\}$
 Một số bổ đề : Bổ đề 1 : Cho $x,y$ là các số nguyên và $n$ là một số nguyên dương. Cho $p$ là số nguyên tố bất kì sao cho $gcd(n,p)=1,p|x-y,x \not | p ,y \not |p$
Khi đó $v_p(x^n-y^n)=v_p(x-y)$
Bổ đề 2 :Cho $x,y$ là các số nguyên và $n$ là một số nguyên dương lẻ. Cho $p$ là số nguyên tố bất kì sao cho $gcd(n,p)=1,p|x+y,x \not | p ,y \not |p$
Khi đó $v_p(x^n+y^n)=v_p(x+y)$
Bổ đề 3 : Cho $x,y$ là các số nguyên và $n$ là một số nguyên dương . Cho $p$ là số nguyên tố ($p>2$) sao cho $p|x-y,x \not | p ,y \not |p$
Khi đó $v_p(x^n-y^n)=v_p(x-y)+v_p(n)$
Bổ đề 4 : Cho $x,y$ là các số nguyên và $n$ là một số nguyên dương  lẻ . Cho $p$ là số nguyên tố ($p>2$) sao cho $p|x+y,x \not | p ,y \not |p$
Khi đó $v_p(x^n+y^n)=v_p(x+y)+v_p(n)$
Bổ đề 5 : Cho $x,y$ là hai số nguyên lẻ sao cho $4|x-y$ khi đó $v_2(x^n-y^n)=v_2(x-y)+v_2(n)$
Bổ đề 6 : Cho $x,y$ là hai số nguyên lẻ và $n$ là số nguyên dương chẵn . Khi đó
$v_2(x^n-y^n)=v_2(x-y)+v_2(x+y)+v_2(n)-1$
MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ,BỔ ĐỀ SỐ HỌC  (mấy cái Wilson,Fermat mình sẽ không đăng vì đã có nhiều)
Ta định nghĩa 1 : Cho số nguyên dương $n$. Số nguyên $a$ được gọi là thặng dư bình phương mod $n$ hay (số chính phương mod n) nếu tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^2 \equiv a \pmod{n}$
Định nghĩa 2 : Giả sử $p$ là một số nguyên tố lẻ , $a$ là một số nguyên. Kí hiệu La-Grang (Legendre) $(\frac{a}{p})$ được xá định như sau
$(a/p)=1$ nếu $gcd(a,p)=1$ và $a$ là số chính phương mod $p$
$(a/p)-1$ nếu $gcd(a,p)=1$ và $a$ không là số chính phương
$(a/p)=0$ nếu $p|a$
Định lí 1 : Giả sử $p$ là số nguyên tố lẻ . Khi đó phương trình $x^2 \equiv a \pmod{p}$
i) Chỉ có nghiệm khi $x \equiv 0 \pmod{p}$ với $a=0$
ii) Vô nghiệm hoặc đúng hai nghiệm nếu $p \not |a$
Chú ý : Định lí này không đúng với $p=2$
Hệ quả : Giả sử $p$ là số nguyên tố lẻ . Khi đó trong hệ thặng dư đầy đủ $\{1,2,..,p-1\}$ có đúng $\frac{p-1}{2}$ thặng dư bình phương và $\frac{p-1}{2}$ không thặng dư bình phương mod p
Định lí 2 (Euler's criterion) Giả sử $p$ là số nguyên tố lẻ ,$gcd(a,p)=1$ . Khi đó $(a/p) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p}$
Định lí 3 : Cho $p$ là số nguyên tố lẻ và $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $gcd(a,p)=gcd(b,p)=1$ Khi đó
i) Nếu $p|a-b$ thì $(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})$
ii) $(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=(\frac{ab}{p})$
iii) $(\frac{a^2}{p})=1$
iv) $(\frac{-1}{p})=1$ khi $p \equiv 1 \pmod{4}$
$(\frac{-1}{p})=-1$ khi $p \equiv 3 \pmod{4}$
Định lí 4 : Giả sử $gcd(x,y)=1$ , $a,b,c$ là các số nguyên $p$ là ước nguyên tố của $ax^2+bxy+cy^2$ , $p$ không là ước của $abc$ thì $A=b^2-4ac$ là thặng dư bậc hai mod $p$
Đặt biệt nếu $p$ là ước của $x^2-Ay^2$ và $gcd(x,y)=1$ thì $A$ là thặng dư bậc hai mod $p$
Bổ đề Gauss : Giả sử $p$ là số nguyên tố lẻ ,$a$ là số nguyên không chia hết cho $p$
Nếu trong số các thặng dư bé nhất của các số nguyên $a,2a,3a,..,\frac{p-1}{2}$ có $s$ thặng dư lớn hơn $\frac{p}{2}$ thì $(\frac{a}{p})=(-1)^s$
 Luật tương hỗ Gauss : Cho $p,q$ là hai số nguyên tố lẻ phân biệt. Khi đó
i) Nếu có ít nhất một trong hai số có dạng $4k+1$ thì $p$ là số chính phương (mod p) khi và chỉ khi $q$ là số chính phương (mod p)
ii) Nếu cả hai số đều có dạng $4k+3$ thì $p$ là số chính phương (mod $q$) khi và chỉ khi $q$ là số chính phương (mod p)
Kí hiệu Jacobi : Định nghĩa 3 : Cho $n$ là số nguyên dương lẻ với phân tích tiêu chuẩn
$n=p_1.p_2..p_k$ . Với $gcd(a,n)=1$ thì ta định nghĩa các kí hiệu Jacobi như sau
$(\frac{a}{n})=(\frac{a}{p_1})(\frac{a}{p_2})...(\frac{a}{p_k})$
Luật tương hỗ : Nếu $n,m$ là các số nguyên tố lẻ nguyên tố cùng nhau thì
$(\frac{n}{m})(\frac{m}{n})=(-1)^{\frac{(n-1)(m-1)}{4}}$

Nguồn: http://numbertheorynmq.blogspot.com


Các bài Div 1 Codeforces

28-09-2019 - 06:34

Bài 1: [588-Div.1-F] Cho $n$ cái cân được xếp theo vòng tròn. Mỗi cái cân liền kề với chính xác hai cái cân khác, với $i\in \left\{1;2;3;...;n-1\right\}$, thì cái cân thứ $i$ và cái cân thứ $i+1$ thì liền kề với nhau. Cái cân thứ $n$ và cái cân thứ $1$ liền kề với nhau.

Cái cân thứ $i$ ban đầu có $a[i]$ đồng xu. Bạn có thể thực hiện các bước như sau - Tại mỗi bước, ta lấy 1 đồng xu từ một chiếc cân, và đặt đồng xu đó sang 1 chiếc cân kề bất kỳ với chiếc cân đó.

Bài toán được giải quyết, khi sau một vài bước di chuyển, số đồng xu tại chiếc cân thứ i thỏa mãn: không lớn hơn $r[i]$ đồng xu và không bé hơn $l[i]$ đồng xu. Bạn hãy in ra số bước ít nhất có thể để có thể giải quyết được bài toán.

Đầu vào:

+ Dòng đầu tiên chứa $N(3\le N\le 35000)$. Với $N$ là số cái cân.

+ $N$ dòng tiếp theo, dòng thứ $i$ chứa 3 số $a[i],l[i],r[i](0\le a[i]\le 35000, 0\le l[i]\le r[i]\le 35000)$.

Đẩu ra: Số bước ít nhất để có thể giải quyết được bài toán.

Ví dụ:

5
0 2 3
1 2 3
4 3 3
4 3 3
4 3 3

Kết quả: 4.


Tam giác Pascal và Nhị thức Newton

27-09-2019 - 17:03

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau học về một cấu trúc số nổi tiếng, đó là tam giác số Pascal.

File gửi kèm  Screenshot from 2019-09-27 16-59-32.png   9.06K   3 Số lần tải

 

Tam giác số này được xây dựng như sau.

  • Ở hàng đầu tiên, chúng ta viết một con số 1.
  • Ở hàng tiếp theo, chúng ta viết hai con số 1.
  • Tiếp tục các hàng tiếp theo,
    • con số đầu tiên và con số cuối cùng bao giờ cũng là 1;
    • còn mỗi con số ở bên trong thì bằng tổng của hai con số đứng ngay ở hàng phía trên.
Ví dụ như: $1 + 1 = 2$, $1 + 2 = 3$, $2 + 1 = 3$, $1 + 3 = 4$, $3 + 3 = 6$, $3 + 1 = 4$, v.v...
 

File gửi kèm  Screenshot from 2019-09-27 17-00-46.png   10.92K   2 Số lần tải
Chúng ta dùng tam giác số Pascal để khai triển các biểu thức $(x+y)^n$ và $(x-y)^n$ như hình sau đây.
 

File gửi kèm  Screenshot from 2019-09-27 17-00-53.png   34.3K   3 Số lần tải

File gửi kèm  Screenshot from 2019-09-27 17-01-01.png   33.34K   3 Số lần tải

 
 



Chúng ta đánh số mỗi hàng của tam giác Pascal theo thứ tự bắt đầu là hàng số 0, tiếp đến là hàng số 1, hàng số 2, v.v... Còn trên mỗi hàng, chúng ta sắp xếp thứ tự các con số bắt đầu là con số thứ 0, tiếp đến là con số thứ 1, rồi con số thứ 2, v.v...
 
Chúng ta sẽ gọi con số thứ $k$ ở hàng thứ $n$ là $p_{n,k}$. Từ đó suy ra công thức để xây dựng tam giác Pascal là $$p_{n-1,k-1} + p_{n-1,k} = p_{n,k}.$$
 
File gửi kèm  Screenshot from 2019-09-27 17-01-12.png   28.14K   3 Số lần tải
 




Công thức tổng quát của $p_{n,k}$ là như sau
$$p_{n,k} = {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$$

Ví dụ,
$$p_{5,2} = {5 \choose 2} = \frac{5!}{2! 3!} = \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5}{1 \times 2 \times 1 \times 2 \times 3} = 10.$$


 
Cuối cùng, xin lưu ý rằng, thông thường thì chúng ta hay đánh số thứ tự từ số 1. Nhưng với tam giác Pascal thì chúng ta đánh số thứ tự khởi đầu từ số 0. Cách đánh số khởi đầu bằng số 0 này hơi đặc biệt. Do đó để giúp các bạn ghi nhớ cách đánh số này, tôi xin kể cho các bạn một câu chuyện vui về nhà toán học Sierpinski.
 
Waclaw Sierpinski là một nhà toán học nổi tiếng người Ba Lan. Người ta kể lại rằng ông là người khá lơ đãng. Một hôm, ông và vợ ông phải chuyển nhà. Hai ông bà mang đồ đạc xuống để bên vệ đường rồi bà Sierpinski mới nói với chồng rằng "Bây giờ anh đứng đây coi chừng mười thùng đồ này cho em để em đi gọi taxi". Vài phút sau bà quay lại thì ông nheo mắt nói với bà "Anh tưởng em nói với anh coi chừng mười thùng đồ, nhưng sao anh đếm chỉ thấy có chín thùng." Bà vợ hốt hoảng tưởng là ông chồng mình lơ đãng để người ta trộm mất một thùng đồ, "Không, em chắc chắn là mười thùng mà!", "Không, em đếm lại đi, anh vừa đếm xong, đúng là chín thùng. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9!"

 
Sierpinski có viết một quyển sách rất hay về số học, đã được dịch ra tiếng Việt cách đây khá lâu, tôi không nhớ rõ tựa đề, hình như là "Tuyển tập các bài toán chọn lọc về số học". Nếu các bạn yêu thích số học thì nên tìm đọc quyển sách này.

 
Xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.



 
Bài tập về nhà.
 
1. Dùng quy tắc xây dựng tam giác Pascal để giải thích vì sao tổng các số trên hàng $n$ của tam giác Pascal bằng $2^n$.
 
2. Chứng minh rằng số thứ $k$ trên dòng thứ $n$ của tam giác Pascal là $$p_{n,k} = {n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}.$$

3. Chứng minh hằng đẳng thức 

$$(x+y)^n = x^n + {n \choose 1} x^{n-1} y + {n \choose 2} x^{n-2} y^2 + \dots + {n \choose {n-2}} x^{2} y^{n-2} + {n \choose 1} x  y^{n-1} + y^n$$